הצגת המקור של הדף "העתקת מביוס"

→ העתקת מביוס

ניתן לבטל את העריכה. נא לבדוק את השוואת הגרסאות שלהלן כדי לוודא שזה אכן מה שאתם רוצים לעשות, ולאחר מכן לפרסם את השינויים למטה כדי לסיים את ביטול העריכה.

אין באפשרותך לערוך את הדף הזה, מהסיבה הבאה:

שם המשתמש או כתובת ה־IP שלכם נחסמו לעריכה.

החסימה בוצעה על ידי ‪RonaldB‬.
הסיבה שניתנה לכך היא: פרוקסי פתוח - מידע נוסף.
(ראו את מדיניות החסימה)

מידע נוסף:

תחילת החסימה: 16:31, 14 ביולי 2011
פקיעת החסימה: ללא הגבלת זמן
החסימה שבוצעה: 65.254.224.0/19

החסימה מונעת מכם לערוך דפים (מלבד דף השיחה של עצמכם, לרוב). היא אינה מונעת מכם לקרוא אותם. חסימה היא פעולה הגנתית שמפעילי מערכת נוקטים בה כדי למנוע ממשתמשים לגרום נזק לוויקיפדיה. ניתן לחסום עקב סיבות אחדות, המפורטות בדף המדיניות הזה, אולם לרוב מתבצעת חסימה בעקבות השחתה, כלומר כתיבת שטויות וגרימת נזק לערכים.

ביקור בדף השיחה שלכם עשוי לסייע בהבנת הסיבה לחסימה, מכיוון שייתכן שקיבלתם אזהרות קודמות.

אם לדעתכם חסימתכם הייתה בלתי מוצדקת, תוכלו להשאיר הודעה בדף השיחה שלכם, כאן. שימו לב: כדי לאפשר את הטיפול בשחרור החסימה עליכם להוסיף לדף השיחה את הקוד {{בקשת שחרור חסימה|סיבה=סיבה לשחרור המבוקש}}.

כמו־כן, אם יש לכם חשבון משתמש בוויקיפדיה ואם האפשרות הזאת לא נחסמה, באפשרותכם לשלוח דואר אלקטרוני למשתמש ‪RonaldB‬ או לאחד ממפעילי המערכת האחרים באמצעות כניסה לדף המשתמש שלהם ולחיצה על הקישור „שליחת דוא״ל למשתמש” המופיע בתיבת הכלים שבצד ימין. כתובת ה־IP שלכם כרגע היא 65.254.225.175 ומספר החסימה שלכם הוא #118363. אנא ציינו את הפרטים האלה בכל פניית דוא״ל למפעילי המערכת.
רק אם לא הצלחתם להציג בקשת שחרור באחת מבין האפשרויות הקודמות, כתבו לדוא״ל info-he@wikimedia.org. לתשומת לבכם, כתיבה לדוא״ל זה לא תסייע במקרים שבהם בקשתכם כבר הוצגה ונדחתה.

באפשרותך לצפות בקוד המקור של הדף הזה ולהעתיקו.

{{פירוש נוסף|נוכחי=פונקציה מרוכבת המוגדרת על ספירת רימן|אחר=פונקציה אריתמטית של המספרים הטבעיים|ראו=פונקציית מביוס}}

ב[[אנליזה מרוכבת]], '''העתקת מביוס''' או '''טרנספורמציית מביוס''' היא [[פונקציה מרוכבת]] מהצורה <math>T(z)=\frac{az+b}{cz+d}</math> כאשר <math> \ a,b,c,d </math> הם מקדמים [[מספר מרוכב|מרוכבים]] כך ש <math> \ ad-bc \ne 0</math>.

העתקות מביוס קרויות על שם המתמטיקאי הגרמני [[אוגוסט פרדיננד מביוס]].

==סקירה כללית ותכונות==
כל העתקת מביוס היא [[פונקציה|העתקה]] [[רציפות|רציפה]], [[חד חד ערכית]] ו[[התאמה על|על]] מהמישור המרוכב המורחב לעצמו. הרחבת [[המישור המרוכב]] נעשית על ידי הוספת נקודה ב[[אינסוף]] (המישור המורחב נקרא [[הספירה של רימן|ספירת רימן]] ומסומן
<math>\widehat {\mathbb{C}} = \mathbb{C} \cup\{ \infty\}</math>; הטופולוגיה שלו מתקבלת מן ה[[קומפקטיפיקציה]] של אלכסנדרוף).
העתקות מביוס הן [[פונקציה מרומורפית|העתקות מרומורפיות]] בכל <math>\mathbb{C}</math>, ו[[פונקציה הולומורפית|הולומורפיות]] בכל ספירת רימן. הרציפות והאנליטיות באינסוף מושגות על ידי הגדרת הפונקציה בצורה האינטואיטיבית
<math> T \left ( \frac{-d}{c} \right ) = \infty, T(\infty)=\frac{a}{c}</math>.
במקרה שבו <math> \ c = 0 </math> הפונקציה היא פשוט ליניארית ומוגדרת על כל <math> \widehat {\mathbb{C}}</math> כאשר <math>  \ T(\infty)=\infty</math>.

* הרכבה של העתקות מביוס היא גם העתקת מביוס, ולכן העתקות מביוס מהוות [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]], וחבורת העתקות מביוס מהוות את [[חבורת אוטומורפיזמים|חבורת האוטומורפיזמים]] של ספירת רימן, ומסומנת לעיתים <math>\mbox{Aut}(\widehat {\mathbb{C}})</math>. במינוח של [[גאומטריה דיפרנציאלית]], נאמר כי העתקות מביוס הן כל ה[[דיפאומורפיזם|דיפאומורפיזמים]] של ספירת רימן לעצמה. ישנן תתי חבורות של העתקות מביוס המהוות את האוטומורפיזמים של [[משטח רימן|משטחי רימן]] אחרים, כמו המישור המרוכב או ה[[גאומטריה היפרבולית|מישור ההיפרבולי]], ועל כן העתקות מביוס מהוות חלק חשוב בתאוריה של משטחי רימן.

* כל העתקת מביוס היא [[פונקציה הולומורפית|הולומורפית]], ולכן [[העתקה קונפורמית|קונפורמית]], כלומר שומרת [[זווית|זוויות]]. 

* העתקת מביוס מעתיקה מעגלים וישרים ב <math>\mathbb{C}</math> למעגלים וישרים, אך לא בהכרח מעתיקה [[מעגל]] למעגל וישר לישר. ניתן לנסח תכונה זו בצורה פשוטה ואלגנטית יותר, אם מרחיבים את הדיון לספירת רימן כולה(<math>\widehat {\mathbb{C}}</math>). נשים לב כי גם מעגלים וגם ישרים ב <math>\mathbb{C}</math> מתאימים למעגלים ב <math>\widehat {\mathbb{C}}</math>, כאשר ישרים ב <math>\mathbb{C}</math> מתאימים למעגלים העוברים דרך [[הקוטב הצפוני]]. לכן, מעל ספירת רימן ניתן לומר בפשטות כי העתקת מביוס מעתיקה מעגלים למעגלים. 

* העתקת מביוס שומרת על [[יחס כפול|היחס הכפול]]. היחס הכפול של 4 נקודות (שונות) ב <math>\mathbb{C}</math> מוגדר כך <math>\ [z_1, z_2, z_3, z_4] = \frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_1-z_4)(z_2-z_3)}</math>, ולכל העתקת מביוס מתקיים <math>\ [z_1, z_2, z_3, z_4] =[T (z_1), T(z_2), T(z_3), T(z_4)] </math>.

* כל העתקת מביוס נקבעת על ידי ערכיה על שלוש נקודות. בפרט העתקת מביוס שיש לה שלוש נקודות שבת חייבת להיות העתקת הזהות. לכל העתקת מביוס שאינה הזהות יש לפחות נקודת שבת אחת, ולכל היותר שתיים.

== נקודות שבת ==
לכל העתקת מביוס השונה מהעתקת הזהות יש בדיוק שתי [[נקודת שבת|נקודות שבת]]  <math>\gamma_1, \gamma_2</math> במישור המרוכב המורחב. נקודות שבת אלו נספרות בהתאם ל[[ריבוי אלגברי|ריבוי האלגברי]] שלהן, ומבחינה גאומטרית הן יכולות להתלכד לכדי נקודת שבת אחת; העתקות כאלו נקראות '''העתקות פרבוליות'''. כל אחת מהנקודות הללו, ולעיתים אף שתיהן, עשויה להיות הנקודה באינסוף.
=== קביעת נקודות השבת === 
נקודות השבת של הטרנספורמציה 
:<math>f(z) = \frac{az + b}{cz + d}</math>

נקבעות על ידי פתרון משוואת נקודת השבת  f(γ) = γ. בעבור ''c'' ≠ 0, למשוואה זו יש שני שורשים המתקבלים מפתרון [[משוואה ריבועית|המשוואה הריבועית]]
:<math>c \gamma^2 - (a - d) \gamma - b = 0 \ ,</math>

השורשים הם:

:<math>\gamma_{1,2} = \frac{(a - d) \pm \sqrt{(a-d)^2 + 4bc}}{2c} = \frac{(a - d) \pm \sqrt{\Delta}}{2c}</math>

ולמשוואה הריבועית יש [[דיסקרימיננטה]]
:<math> \Delta =(\operatorname{tr}\mathfrak{H})^2 - 4\operatorname{det}\mathfrak{H}=(a+d)^2 - 4(ad-bc)</math>.

להעתקות פרבוליות יש נקודות שבת מתלכדות אודות לדיסקרימיננטה אפס. בעבור ''c'' שונה מאפס ודיסקרימיננטה שונה מאפס ההעתקה תיקרא אליפטית או היפרבולית.

כאשר ''c'' = 0 המשוואה הריבועית מתנוונת לכדי [[משוואה ליניארית]] וההעתקה היא ליניארית. זה תואם למצב שבו אחת מנקודות השבת היא הנקודה באינסוף. כאשר ''a'' ≠ ''d'' נקודת השבת השנייה היא סופית וניתנת בנוסחה 

:<math>\gamma=-\frac{b}{a-d}.</math>

במקרה זה ההעתקה פועלת במסגרת המישור המרוכב כהרכבה של הזזה (translation), סיבוב (כאשר ל-<math>\alpha = a/d</math> יש חלק מדומה) ומתיחה/כיווץ (dilation):

:<math>z \mapsto \alpha z + \beta.\,</math>

אם ''c'' = 0 ו-''a'' = ''d'', אז שתי נקודות השבת הן באינסוף, והעתקת מביוס תואמת להזזה טהורה:

:<math>z \mapsto z + \beta.</math>

== העתקות מביוס כתנועות של הספירה של רימן ==
[[File:Riemann sphere1.svg|thumb|300px|left|המישור המרוכב וספירת רימן שמעליו.]]
את המישור המרוכב המורחב ניתן לזהות כ[[הטלה סטריאוגרפית|הטלה הסטריאוגרפית]] של הספירה של רימן; הנקודה "באינסוף" היא למעשה ההטלה של הנקודה דרכה מתבצעת ההטלה הסטריאוגרפית, על המישור המרוכב. תחת נקודת המבט הזו, העתקות מביוס ניתנות לזיהוי כתנועות של הספירה של רימן. המקרה של העתקת מביוס המייצג הזזה תואם לתנועה קווית (הזזה גם כן) של ספירת רימן. בנוסף, הספירה של רימן עשויה להסתובב ולשנות את האוריינטציה שלה במרחב; אחד המשפטים המרכזיים{{הערה|תוצאה זאת הופיעה לראשונה אצל [[קרל פרידריך גאוס]], בכתב יד לא מפורסם שמתוארך לשנת 1819; זהו ככל הנראה האזכור המוקדם ביותר בספרות המתמטית לקשר העמוק בין העתקות מביוס במישור המרוכב לסיבובים של [[ספירה (גאומטריה)|ספירה]] דו-ממדית (ספירת רימן).}} בנוגע לסיווג העתקות מביוס קובע שכל העתקות מביוס התואמות לסיבוב טהור של ספירת רימן הן מהצורה:

: <math>f(z) = \frac{\alpha z +\beta}{-\bar{\beta}z+\bar{\alpha}} = \frac{(a+bi) z +(c+di)}{-(c-di)z+(a-bi)}</math>

כאשר <math>|\alpha|^2+|\beta|^2 = a^2+b^2+c^2+d^2 = 1</math>. זוהי למעשה העתקת מביוס [[אוניטריות|אוניטרית]]. על פי [[משפט הסיבובים של אוילר]], הרכבה של שני סיבובים תלת-ממדיים היא בעצמה סיבוב תלת-ממדי, ולכן האוסף של העתקות מביוס אוניטריות מהווה [[תת-חבורה]] של החבורה הכללית של העתקות מביוס.

העתקות מביוס מסוג מתיחה/כיווץ (דהיינו <math>f(z) = kz</math> כאשר ''k'' ממשי ושונה מ-1) ניתנות לפירוש כהגדלה או כיווץ של ספירת רימן - כך שהמרחק מהראשית של ההיטלים של נקודות עליה מוגדל באותו יחס - ולא כתנועות שלה, ולפיכך אינן רלוונטיות לחלק זה.

=== זיהוי הסיבוב המתאים להעתקת מביוס אוניטרית נתונה ===
נקודת המבט הגאומטרית מאפשרת לתת הסבר אינטואיטיבי לנקודות השבת של העתקת מביוס, במקרה של סיבוב טהור; אלו הן בדיוק התמונות של [[קוטב|קטבי]] הסיבוב המתאים של ספירת רימן (הנקודות בהן חותך ציר הסיבוב את הספירה), תחת פעולת ההטלה הסטריאוגרפית. בנוסף, שורש אחד של המשוואה הריבועית (משוואת נקודת השבת) מתקבל מאחר על ידי הנגדה של ה[[אינוורסיה (גאומטריה)|אינוורסיה]] של השורש השני; הווה אומר:

:  <math>\gamma_2 = -\frac{1}{\bar{\gamma_1}}</math>,

והקדם-תמונה של  <math>\gamma_2</math> היא ה[[נקודות אנטיפודיות|נקודה האנטיפודית]] של הקדם-תמונה של <math>\gamma_1</math> על ספירת רימן.

את הסיבוב המתאים להעתקת מביוס אוניטרית נתונה ניתן לתאר באמצעות הצגה [[קווטרניון|קווטרניונית]]:

: <math>q = \cos(\epsilon/2) + (\eta_1 i + \eta_2 j +\eta_3 k)\sin(\epsilon/2)</math>,

כאשר <math>\hat{\eta} = (\eta_1,\eta_2,\eta_3)</math> הוא [[וקטור יחידה]] המייצג את ציר הסיבוב של ספירת רימן (ראו גם [[קווטרניונים וסיבובים מרחביים]]), ו-<math>\epsilon</math> היא זווית הסיבוב מסביב לציר הזה. כדי למצוא את <math>\epsilon</math>, נעזר במשפט החשוב הבא:

'''טענה:''' ה[[נגזרת]] המרוכבת של העתקת מביוס אוניטרית <math>f(z)</math> באחת מנקודות השבת מקיימת:

: <math>f'(\gamma_1) = e^{i\epsilon}</math>.

'''הוכחה''': נסמן את הפונקציה ההפוכה להטלה הסטריאוגרפית ב-<math>P(z) =S^{-1}(z)</math>, ונוכיח תחילה ש-<math>|f'(\gamma_1)| = 1</math>. בסביבה כדורית אינפיניטסימלית של 
<math>P(\gamma_1)</math> שתי הקדם-תמונות של <math>z_1+dz</math> ו-<math>f(z_1+dz)</math> נמצאות במרחק שווה מאותו קוטב (הן באותו "[[קו רוחב]]") - ומכיוון שהן כמעט באותה נקודה (המרחק ביניהן שואף לאפס) פעולת ההטלה הסטריאוגרפית תמתח מרחקים זהים אלו באותה מידה - ולכן גודל השינוי האינפיניטסימלי ב-<math>z</math> מתורגם לשינוי בעל גודל זהה של <math>f(z)</math>, או במילים אחרות [[ערך מוחלט|הערך המוחלט]] של הנגזרת המרוכבת בנקודת השבת הוא 1. כעת נוכיח ש-<math>f'(\gamma_1) = e^{i\epsilon}</math>. ההסבר לעובדה זו נעוץ בכך שההטלה הסטריאוגרפית, כמו העתקת מביוס, היא [[העתקה קונפורמית|קונפורמית]] (משמרת זוויות בין עקומים). נסתכל על שני הקטעים הבאים במישור המרוכב: <math>[\gamma_1,\gamma_1+dz]</math> ו-<math>[\gamma_1,f(\gamma_1+dz)]</math>. שני קטעים אלו יוצרים ביניהם זווית <math>\epsilon</math>, וזאת משום שהם מהווים הטלה של משולש כדורי אשר [[קודקוד]] אחד שלו נמצא בקוטב של הסיבוב המגדיר את העתקת מביוס, קודקוד שני ב-<math>P(\gamma_1+dz)</math> וקודקוד שלישי ב-<math>P(f(\gamma_1+dz))</math>. הזווית הפולרית (הזווית בקודקוד הקוטבי) של המשולש הכדורי הזה היא לפי הגדרה <math>\epsilon</math>, ולכן מתכונת הקונפורמיות נובע שגם הזווית בין הקטעים היא <math>\epsilon</math>, ופירוש הדבר הוא ש-<math>f'(\gamma_1) = e^{i\epsilon}</math>. '''מ.ש.ל'''

כדי להמשיך בפיתוח, תחילה נמצא את <math>\gamma_1</math>:

: <math> -(c-di)\gamma^2-2bi\gamma-(c+di)=0\implies \gamma_{1,2} = \frac{-d + ci}{c^2+d^2} (-b\pm \sqrt{1-a^2}) </math>

הנגזרת של העתקת מביוס בנקודת השבת נותנת:

:  <math>e^{i\epsilon} = f'(\gamma_1) = \frac{2a+\sqrt{(2bi)^2-4(c^2+d^2)}}{2a-\sqrt{(2bi)^2-4(c^2+d^2)}} = \frac{2a+2i\sqrt{1-a^2}}{2a-2i\sqrt{1-a^2}} = \frac{a+i\sqrt{1-a^2}}{a-i\sqrt{1-a^2}}</math>

ולפי [[זהויות טריגונומטריות]] של חצי-זווית פירוש הדבר הוא ש-:  <math>\cos(\epsilon/2) = a</math>, ולכן החלק הממשי של הקווטרניון המייצג של הסיבוב הוא  <math>a</math>. בנוסף לכך, הנורמה של <math>\gamma_1</math> שווה לפי תכונות ההטלה הסטריאוגרפית ל-<math>\cot(\theta/2)</math> כאשר <math>\theta</math> היא זווית הזנית של הקדם-תמונה של <math>\gamma_1</math> על ספירת רימן (זווית הזנית היא [[קואורדינטות כדוריות|קואורדינטה כדורית]]). לפיכך נקבל:

: <math>\cot(\theta/2) =|\gamma_1| = \frac{-b+\sqrt{1-a^2}}{\sqrt{c^2+d^2}} \implies \cos\theta = \frac{\cot^2(\theta/2)-1}{\cot^2(\theta/2)+1} = -\frac{b}{\sqrt{1-a^2}}</math>

הגודל <math>\cos\theta</math> הוא לא אחר מאשר <math>\eta_z</math>, ונזהה את ציר ''z'' עם הקווטרניון היסודי ''k''. בדומה לכך נקבל, שמכיוון שמתקיים 
<math>\frac{\eta_{y}}{\eta_{x}} = -\frac{d}{c}</math>, וכמו כן <math>\eta_x^2 + \eta_y^2 + \eta_z^2 = 1</math>, ש-:

: <math>\hat{\eta} = (\frac{c}{\sqrt{1-a^2}},\frac{-d}{\sqrt{1-a^2}},\frac{-b}{\sqrt{1-a^2}})</math>

וזה משלים את מציאת החלק הווקטורי של הקווטרניון המייצג. לסיכום, בהצגה קווטרניונית נקבל:

: <math> q =  \cos(\epsilon/2)+(\eta_{x}i+\eta_{y}j+\eta_{z}k)\sin(\epsilon/2) = a+(\eta_{x}i+\eta_{y}j+\eta_{z}k)\sqrt{1-a^2} = a + ci - dj - bk</math>

כאשר במעבר האחרון זיהינו את ציר ''j'' עם [[הישר הממשי]] ואת ציר ''i'' עם הישר המדומה.

==העתקות מביוס כמטריצות==
אם נרכיב את ההעתקה <math>T_1(z)=\frac{az+b}{cz+d}</math> עם ההעתקה <math>T_2(z)=\frac{a'z+b'}{c'z+d'}</math>, תתקבל העתקה 
<math>T_3(z)=T_1 \circ T_2=\frac{(a'a+c'b)z+(b'a+d'b)}{(a'c+c'd)z+(b'c+d'd)}</math>. 
ניתן לזהות קשר הדוק עם [[כפל מטריצות|כפל המטריצות]] 
<math>\begin{pmatrix} 
a & b\\
c & d 
\end{pmatrix} 
\begin{pmatrix} 
a' & b'
\\
c' & d' 
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 
a'a+c'b &  b'a+d'b\\
a'c+c'd  &  b'c+d'd
 \end{pmatrix}</math>. 

נשים לב גם כי [[כפל בסקלר]] של כל המקדמים אינו משנה את ההעתקה - <math>\frac{az+b}{cz+d}=\frac{\lambda az+\lambda b}{\lambda cz+\lambda d}</math>. בנוסף, הדרישה <math> \ ad-bc \ne 0</math> היא בדיוק הדרישה שהמטריצה תהיה [[מטריצה הפיכה|הפיכה]]. לכן, ניתן לזהות העתקות עם [[העתקה ליניארית|העתקות ליניאריות]] מ <math>\mathbb{C}^2</math> ל <math>\mathbb{C}^2</math>, עד כדי כפל במטריצה סקלרית. כלומר, <math>\ \mbox{Aut}(\widehat {\mathbb{C}}) \cong \operatorname{PGL}_2(\mathbb{C})</math>, (כאשר
<math>\ \operatorname{PGL_2}</math> היא [[חבורת מטריצות|חבורת המטריצות]] ההפיכות, [[חבורת מנה|מודולו]] המטריצות הסקלריות).

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים}}
{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:אנליזה מרוכבת]]
[[קטגוריה:פונקציות ממשיות ומרוכבות]]
[[קטגוריה:גאומטריה פרויקטיבית]]
[[קטגוריה:משטחי רימן]]

תבניות המופיעות בדף זה:

תבנית:MathWorld (הצגת מקור) (מוגנת חלקית)
תבנית:אנגלית (הצגת מקור) (הגנה מוגברת)
תבנית:בלי הסוגריים (הצגת מקור) (הגנת תבניות)
תבנית:בקרת זהויות (הצגת מקור) (הגנה מוגברת)
תבנית:הודעת פרמטר לא מולא (הצגת מקור) (הגנה מוגברת)
תבנית:הערה (הצגת מקור) (הגנת תבניות)
תבנית:הערה/קוד (הצגת מקור) (הגנת תבניות)
תבנית:הערות שוליים (הצגת מקור) (הגנה מוגברת)
תבנית:ויקינתונים (הצגת מקור) (הגנת תבניות)
תבנית:ויקישיתוף בשורה (הצגת מקור) (הגנת תבניות)
תבנית:מילה ראשונה (הצגת מקור) (מוגנת חלקית)
תבנית:פירוש נוסף (הצגת מקור) (מוגנת חלקית)
תבנית:פירושון (הצגת מקור) (מוגנת חלקית)
תבנית:קידוד תווים מיוחדים (הצגת מקור) (הגנה מוגברת)
תבנית:קישור אם קיים (הצגת מקור) (הגנה מוגברת)
תבנית:שם הדף בלי הסוגריים (הצגת מקור) (הגנת תבניות)
תבנית:שפת קישור (הצגת מקור) (מוגנת חלקית)
יחידה:Arguments (הצגת מקור) (הגנה מוגברת)
יחידה:Navbar (הצגת מקור) (הגנה מוגברת)
יחידה:Navbox (הצגת מקור) (הגנה מוגברת)
יחידה:No globals (הצגת מקור) (הגנה מוגברת)
יחידה:PV-options (הצגת מקור) (הגנת תבניות)
יחידה:ParamValidator (הצגת מקור) (הגנת תבניות)
יחידה:String (הצגת מקור) (הגנה מוגברת)
יחידה:WikidataCrossValidation (הצגת מקור) (הגנת תבניות)
יחידה:בקרת זהויות (הצגת מקור) (הגנה מוגברת)
יחידה:הערה (הצגת מקור) (הגנת תבניות)
יחידה:סוגריים (הצגת מקור) (הגנה מוגברת)
יחידה:פרמטרים (הצגת מקור) (הגנה מוגברת)
יחידה:קידוד תווים מיוחדים (הצגת מקור) (הגנה מוגברת)
יחידה:קישור (הצגת מקור) (הגנת תבניות)
יחידה:שפת קישור (הצגת מקור) (הגנת תבניות)
יחידה:שפת קישור/styles.css (הצגת מקור) (הגנת תבניות)
יחידה:תאריך (הצגת מקור) (הגנת תבניות)

חזרה לדף העתקת מביוס.

אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/העתקת_מביוס"