Matriz invertíbel

Dada unha matriz de tamaño 2 x 2 con determinante non nulo, temos

${\displaystyle A^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}}$ 

e esta está definida a condición de que ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$  con${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {R} }$ . Así por exemplo a inversa da matriz

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&1\\5&3\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}2&1\\5&3\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}3&-1\\-5&2\end{bmatrix}},}$ 

xa que

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&1\\5&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3&-1\\-5&2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$ 

Dada unha matriz ${\displaystyle A}$  de tamaño ${\displaystyle 3\times 3}$  con determinante non nulo:

${\displaystyle A^{-1}={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}{\begin{bmatrix}\,A&\,B&\,C\\\,D&\,E&\,F\\\,G&\,H&\,I\\\end{bmatrix}}^{T}={\frac {1}{\det(A)}}{\begin{bmatrix}\,A&\,D&\,G\\\,B&\,E&\,H\\\,C&\,F&\,I\\\end{bmatrix}}}$ 

onde se definen

${\displaystyle {\begin{matrix}A=(ei-fh)&D=-(bi-ch)&G=(bf-ce)\\B=-(di-fg)&E=(ai-cg)&H=-(af-cd)\\C=(dh-eg)&F=-(ah-bg)&I=(ae-bd)\\\end{matrix}}}$ 

Sexa ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$  unha matriz de rango máximo

• A matriz inversa de ${\displaystyle A}$  é única.
• Se ${\displaystyle B\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$  e ${\displaystyle C\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$  daquela a matriz inversa do produto ${\displaystyle BC}$  é

${\displaystyle \left(BC\right)^{-1}={C}^{-1}{B}^{-1}}$ 

• Se a matriz ${\displaystyle A}$  é invertíbel, tamén o é a súa transposta, e a inversa da súa transposta é a transposta da súa inversa, é dicir

${\displaystyle \left(A^{T}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{T}}$ 

• E, evidentemente:

${\displaystyle \left((A^{-1})^{-1}\right)=A}$ 

• Unha matriz con coeficientes nos reais é invertíbel se e só se o determinante de ${\displaystyle A}$  é distinto de cero. A maiores, a inversa satisfai a igualdade:

${\displaystyle {A^{-1}}={1 \over {\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}\operatorname {adj} (A)\ }$ 

onde ${\displaystyle {\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}$  é o determinante de ${\displaystyle A}$  e ${\displaystyle \operatorname {adj} {(A)}\ }$ é a matriz de adxuntos de ${\displaystyle A}$ , entendida como á matriz de cofactores transposta. (adj do inglés adjugate).

• O conxunto de matrices ${\displaystyle n\times n}$  con compoñentes sobre o corpo ${\displaystyle \mathbf {K} }$  que admiten inversa, co produto de matrices, ten unha estrutura isomorfa ao grupo linear ${\displaystyle {\text{GL}}(n,\mathbf {K} )}$  de orde. Neste grupo a operación de inversa é un automorfismo ${\displaystyle (\cdot )^{-1}:{\text{GL}}(n,\mathbf {K} )\to {\text{GL}}(n,\mathbf {K} )}$ .

Supoñamos que ${\displaystyle B}$  e ${\displaystyle C}$  son inversas de ${\displaystyle A}$ 

${\displaystyle AB=BA=I,\quad {\text{e}}\quad AC=CA=I}$ 

Multiplicando ambas as relacións por ${\displaystyle C}$ 

${\displaystyle (BA)C=IC=C,\quad {\text{e}}\quad (BA)C=B(AC)=BI=B}$ 

De modo que ${\displaystyle B=C}$  e próbase que a inversa é única.

Probarase a dupla implicación.

Supoñamos que existe ${\displaystyle B}$  tal que ${\displaystyle AB=BA=I}$ . Entón ao aplicar a función determinante obtense

${\displaystyle \det \left(AB\right)=\det \left(BA\right)=\det \left(I\right).}$ 

Utilizando a propiedade multiplicativa do determinante e sabendo que ${\displaystyle \det(I)=1}$  temos

${\displaystyle \det \left(A\right)\det \left(B\right)=1,}$ 

polo que deducimos que ${\displaystyle \det(A)}$  é distinto de cero.

Supoña que o determinante de ${\displaystyle A}$  é diferente de cero. Sexa ${\displaystyle a_{ij}}$  o elemento ij da matriz ${\displaystyle A}$  e sexa ${\displaystyle A_{ij}}$  a matriz ${\displaystyle A}$  sen a liña ${\displaystyle i}$  e a columna ${\displaystyle j}$  (comunmente coñecido como ${\displaystyle j}$ -ésimo menor de A). Entón temos que

${\displaystyle \det(A)=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det(A_{ij}).}$ 

A maiores, se ${\displaystyle k\neq j}$ , entón podemos deducir que

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ik}\det(A_{ij})=0,}$ 

xa que a parte esquerda da relación é o determinante de ${\displaystyle A}$  coa columna ${\displaystyle j}$  substituída pola columna ${\displaystyle k}$  e, de novo debido ás propiedades do determinante, sabemos que unha matriz con dúas filas iguais ten determinante cero.

Das dúas ecuacións anteriores podemos obter

${\displaystyle \delta _{jk}\det \left(A\right)=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}\det \left(A_{ij}\right)a_{ik}.}$ 

onde ${\displaystyle \delta _{jk}}$  é o delta de Kronecker.

Polo tanto, sabendo qie ${\displaystyle (I)_{ij}=\delta _{ij}}$  temos que

${\displaystyle \det \left(A\right)I=\left({\mbox{adj}}(A)\right)A,}$ 

é dicir, que ${\displaystyle A}$  ten inversa pola esquerda

${\displaystyle {\frac {\left({\text{adj}}(A)\right)^{T}}{\det \left(A\right)}}.}$ 

Como ${\displaystyle \left({\text{adj}}(A)\right)^{T}={\text{adj}}\left(A^{T}\right)}$ , así ${\displaystyle A^{T}}$  tamén ten unha inversa pola esquerda que é

${\displaystyle {\frac {\left({\text{adj}}(A^{T})\right)^{T}}{\det \left(A^{T}\right)}}={\frac {{\text{adj}}(A)}{\det \left(A\right)}}.}$ 

Daquela

${\displaystyle {\frac {{\text{adj}}(A)}{\det \left(A\right)}}A^{T}=I,}$ 

logo, aplicando a transposta

${\displaystyle A{\frac {\left({\text{adj}}(A)\right)^{T}}{\det \left(A\right)}}=I,}$ 

que é o que se quería demostrar.

Pódese facer do seguinte xeito: ^[1]

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}}$ 

Isto é posíbel sempre que ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$ , é dicir, o determinante da matriz non é cero.

Exemplo numérico:

${\displaystyle C={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}},\ C^{-1}={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{-2}}{\begin{bmatrix}\,\,\,\,\,4&-2\\-3&\,\,\,\,\,1\end{bmatrix}}}$ 

Para matrices de orde superior pódese utilizar a seguinte fórmula:

${\displaystyle {A^{-1}}={1 \over {\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}\ \operatorname {adj} (A)\ }$ 

Onde ${\displaystyle {\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}$  é o determinante de ${\displaystyle A}$  e ${\displaystyle \ \operatorname {adj} {(A)}\ }$  é a matriz adxunta de ${\displaystyle A}$ .

Cando a matriz ten máis de tres filas, esta fórmula é moi ineficiente e leva a longos cálculos. Existen métodos alternativos para calcular a matriz inversa que son moito máis eficientes.

O método de eliminación de Gauss-Jordan pódese usar para determinar se unha matriz dada é invertíbel e para atopar a súa inversa. Unha alternativa é a descomposición LU, que descompón unha matriz dada como produto de dúas matrices triangulares, unha inferior e outra superior, moito máis fácil de inverter. Usando o método de Gauss-Jordan, a matriz dada colócase á esquerda e a matriz de identidade á dereita. Despois, mediante o uso de pivotes, inténtase formar a matriz de identidade da esquerda e a matriz que resulte á dereita será a matriz inversa da dada.

O conxunto de todas as matrices ${\displaystyle n\times n}$  que admite inverso é unha representación linear do grupo linear de orde n, denotado como ${\displaystyle {\textrm {GL}}(n)}$ . Este grupo ten importantes aplicacións en álxebra e física. A maiores ${\displaystyle {\textrm {GL}}(n)\subset M_{n\times n}}$  é un conxunto aberto (coa topoloxía inducida de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n^{2}}}$ ).

• "Inversion of a matrix". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994]. 

• Bernstein, Dennis S. (2009). Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas (2nd ed.). Princeton University Press. ISBN 978-0691140391 – vía Google Books. 
• Petersen, Kaare Brandt; Pedersen, Michael Syskind (15 de novembro de 2012). "The Matrix Cookbook" (PDF). pp. 17–23. 

• Matriz (matemáticas).

• Exercicios resolvidos de matrices inversas
• "Inversion of a matrix". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994].