Tanxente

En matemáticas, a palabra tanxente fai referencia a dous significados diferentes, pero etimoloxicamente relacionados: recta tanxente e tanxente dun ángulo.

• En xeometría, unha recta tanxente é aquela que só ten un punto en común cunha curva, é dicir, que se tocan nun so punto, ese punto chámase punto de tanxencia. A recta tanxente indica a pendente da curva no punto de tanxencia.
• En trigonometría, a tanxente dun ángulo é a relación entre os catetos dun triángulo rectángulo: é o valor numérico resultante de dividir a lonxitude do cateto oposto entre a do cateto adxacente a dito ángulo.

A tanxente é a posición límite da recta ou o límite do cono métrico (M) (chamada corda da curva), cando A é un punto de C que se aproxima indefinidamente ó punto M (A desprázase sucesivamente por M₁, M₂, M₃, M₄ ...)

Se C representa unha función f ou ben h que representa a cotanxente de A. (non é o caso no gráfico precedente), entón a recta (AM) terá como coeficiente director (ou pendente)

${\displaystyle {\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}}$, onde a é a abscisa de A e x a de M.

Polo tanto, a pendente da tanxente T_A será:

${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}}$

É, por definición: f '(a), o número derivado de f en a.

A ecuación da tanxente é T_a: y = f '(a)·(x - a) + f(a)

A recta ortogonal á tanxente T_A que pasa polo punto (a, f(a)) denomínase recta normal e a súa pendente, nun sistema de coordenadas cartesianas, vén dada por ${\displaystyle {\frac {-1}{f'(a)}}}$.

A súa ecuación é : y = - (x - a)/f '(a) + f(a), sempre que f'(a) ≠ 0. Esta recta non intervén no estudo xeral das funcións pero si nos problemas xeométricos relacionados coas seccións cónicas, como por exemplo: para determinar o foco dunha parábola.

En xeometría diferencial, espazo tanxente é o conxunto asociado a cada punto dunha variedade diferenciable formado por tódolos vectores tanxentes a ese punto. É un espazo vectorial da mesma dimensión que a dimensión da variedade.

Hai varias formas de entender este concepto. Primeiro explicarémolo usando a gráfica do lado. Empezamos supoñendo que temos unha curva ${\displaystyle \scriptstyle \gamma }$ na variedade M que pasa por algunha posición elixida calquera: ${\displaystyle \scriptstyle x\in M}$.É dicir un mapeo ${\displaystyle \scriptstyle \gamma \ :\ ]-\varepsilon ,\varepsilon [\to M}$ diferenciable que satisfai ${\displaystyle \scriptstyle \gamma (0)=x}$ y ${\displaystyle \scriptstyle \gamma '(0)=v}$. Resulta que o conxunto de todos estes vectores forman o espazo tanxente ${\displaystyle \scriptstyle T_{x}M}$ de x en M.

En trigonometría a tanxente dun ángulo nun triángulo rectángulo defínese como a razón entre o cateto oposto e o adxacente:

${\displaystyle \tan(\alpha )={\frac {a}{b}}}$

sendo a o cateto oposto, e b o cateto adxacente. Equivale tamén ó valor:

${\displaystyle \tan(\alpha )={\frac {\,\operatorname {sen} (\alpha )}{\,\cos(\alpha )}}}$

• Arcotanxente.
• Seno.
• Coseno.
• Sinusoide.
• Trigonometría.
• Función matemática.