Serie de Fourier

En matemáticas, chámase serie de Fourier, a aquela da forma:

${\displaystyle y(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos(nx)+b_{n}\operatorname {sen} (nx)\right],}$ onde ${\displaystyle a_{n}}$ e ${\displaystyle b_{n}}$ denomínanse coeficientes de Fourier da serie de Fourier da función y(x).

Fourier foi o primeiro que estudou tales series sistematicamente, aplicándoas á solución da ecuación da calor e publicando os seus resultados iniciais en 1807 e 1811. Esta área de investigación chámase algunhas veces Análise harmónica.

Se f(x) é unha función periódica de período 2π e ${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx}$, e ${\displaystyle b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\operatorname {sen} nxdx}$ daquela a serie converxe a f(x).

Pola identidade de Euler(${\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\operatorname {sen} (x)}$), e operando adecuadamente, se

${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\,e^{-inx}\,dx.}$

a serie de Fourier pódese expresar coma a suma de dúas series:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }C_{-n}\,e^{-inx}+\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}\,e^{inx}.}$

En forma máis compacta:

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }C_{n}\,e^{inx}}$

A ecuación a resolver

É común substituír a variábel x por ωt, resultando as compoñentes:

${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}f(t)\,e^{-in\omega \,t}\,dt.}$

Polo tanto:

${\displaystyle f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }C_{n}\,e^{in\omega \,t}}$

Debido a que as "funcións base" e^ikx son homomorfismos da liña real (máis concretamente, do "grupo do círculo") temos certas identidades útiles:

1. Se ${\displaystyle g(x)=f(x-y)}$ daquela ${\displaystyle {\hat {g}}(k)=e^{-iky}{\hat {f}}(k)}$
2. A transformada de Fourier é un morfismo: ${\displaystyle (f*g){\hat {}}(k)={\hat {f}}(k){\hat {g}}(k)}$—isto é, a transformada de Fourier dunha convolución é o produto das transformadas de Fourier.

As útiles propiedades das series de Fourier son debidas principalmente á ortogonalidade e á propiedade de homomorfismo das funcións e^{i n x}.

Outras sucesións de funcións ortogonais teñen propiedades similares, aínda que algunhas identidades útiles, concernendo por exemplo ás convolucións, non seguirán cumpríndose se se perde a "propiedade de homomorfismo".

Algúns exemplos son as secuencias de funcións de Bessel e os polinomios ortogonais. Tales sucesións obtéñense normalmente como solucións dunha ecuación diferencial; unha gran clase de tales sucesións útiles son solucións dos chamados problemas de Sturm-Liouville.

• Transformada de Fourier.
• Análise harmónica.
• Fenómeno de Gibbs.

Este artigo sobre matemáticas é, polo de agora, só un bosquexo. Traballa nel para axudar a contribuír a que a Galipedia mellore e medre.  Existen igualmente outros artigos relacionados con este tema nos que tamén podes contribuír.