Ecuación alxébrica

En matemáticas, unha ecuación alxébrica ou ecuación alxebraica,^[1][2] tamén coñecida como ecuación polinómica cando está definida sobre un corpo dado, é un tipo de ecuación da forma

${\displaystyle P=Q}$

onde P e Q son polinomios sobre ese corpo, cunha (univariable) ou máis de unha (multivariable) variabeis.^[3]

Por exemplo:

${\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}}$

é unha ecuación alxébrica sobre os números racionais.

Dúas ecuacións considéranse equivalentes se teñen o mesmo conxunto de solucións alxébricas. Isto significa que todas as solucións da segunda ecuación tamén deben ser solucións da primeira e viceversa. A ecuación ${\displaystyle P=Q}$ é equivalente con ${\displaystyle P-Q=0}$. Polo tanto, o estudo das ecuacións alxébricas é equivalente ao estudo dos polinomios.^[3][4]

Unha ecuación polinómica é unha ecuación alxébrica onde tanto P como Q son exclusivamente polinomios. Estas ecuacións adoitan presentarse na forma:

${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0}$

onde cada a_i é un coeficiente e n indica o grao do polinomio. Os valores de x que satisfán a ecuación chámanse raíces do polinomio.

As solucións destas ecuacións poden atoparse en diversos conxuntos numéricos, dependendo do corpo sobre o que se definan. As ecuacións sobre os racionais poden sempre converterse noutras equivalentes onde todos os coeficientes son enteiros, multiplicando ambos os membros da ecuación por un denominador común.

Os matemáticos antigos buscaban solucións para ecuacións univariables en forma de expresións radicais, como por exemplo:

${\displaystyle x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$

para a solución positiva de ${\displaystyle x^{2}+x-1=0}$.

No Renacemento, Gerolamo Cardano resolveu a ecuación de grao 3 e Lodovico Ferrari a ecuación de grao 4. Finalmente, Niels Henrik Abel demostrou en 1824 que as ecuacións de grao 5 e as de grao superior non sempre poden resolverse usando radicais. A teoría de Galois, nomeada así por Évariste Galois, foi introducida para dar criterios que determinan se unha ecuación pode resolverse mediante radicais.^[5][6]

• Álxebra
• Teoría de números
• Teoría de Galois
• Historia das matemáticas

• Weisstein, Eric W. "Algebraic Equation". MathWorld. 

Este artigo sobre matemáticas é, polo de agora, só un bosquexo. Traballa nel para axudar a contribuír a que a Galipedia mellore e medre.  Existen igualmente outros artigos relacionados con este tema nos que tamén podes contribuír.