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« Majorant ou minorant » : différence entre les versions

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En [[mathématiques]], soient (''E'' , ≤) un [[Relation d'ordre|ensemble ordonné]] et ''F'' une [[Sous-ensemble|partie]] de ''E'' ; un élément ''x'' de ''E'' est :
==Définition==
Soit ''E''* un [[Relation d'ordre|ensemble ordonné]] et ''Fmajorant''' une partie de ''EF'', un s'''majorant'''il (''resp.''est '''minorant''')supérieur deou ''F''égal, estpar unla élémentrelation ''x''binaire dedéfinie ''E''au telpréalable, queà tous les éléments de ''F'' sont:<center><math>\forall inférieursy\in (''resp.''F,\quad supérieurs)x\ge ày</math> ''x''.;</center>
* un '''minorant''' de ''F'' s'il est inférieur ou égal, par la relation binaire définie au préalable, à tous les éléments de ''F'' :<center><math>\forall y\in F,\quad x\le y</math>.</center>
 
* Si &nbsp;''F'' possède un majorant ''x'' &nbsp;alors on dit que &nbsp;''F'' est une '''''partie majorée'''''.▼
Soit <math>\ (E , \leq)</math> un ensemble ordonné et <math>F \subseteq E</math>, <math>\ x</math> est :
* Si &nbsp;''F'' possède un minorant ''x'' &nbsp;alors on dit que &nbsp;''F'' est une '''''partie minorée'''''.▼
* un minorant de <math>\ F</math> si <math> \forall y \in E, x \leq y </math> ;
* un majorant de <math>\ F</math> si <math> \forall y \in E, y \leq x </math>.
<br />
Vocabulaire
<br />
▲*Si &nbsp;''F'' possède un majorant ''x'' &nbsp;alors on dit que &nbsp;''F'' est une ''partie majorée''
▲*Si &nbsp;''F'' possède un minorant ''x'' &nbsp;alors on dit que &nbsp;''F'' est une ''partie minorée''
 
== Exemples ==
* pourPour l'[[intervalle (mathématiques)|intervalle]] ''<math>]0 ; ,10]''[</math>, partie de l'ensemble <math>\mathbb R</math> des [[Nombre réel|nombres réels]] ordonnésordonné par l'ordre usuel ≤ : ''10'' et ''11'' sont des ''majorants'' alors que ''0'' et ''-7''1 sont des ''minorants'',.
* <math>[0,+\infty[</math> n'a pas de majorant dans <math>\mathbb{ R}</math>.
 
== Notions connexes ==
* [[borneBorne supérieure et borne inférieure]]
* [[élémentÉlément maximal]]
* [[plusPlus grand élément]]
 
{{Portail|Mathématiques}}
[[Catégorie:Théorie des ordres]]▼
 
▲[[Catégorie:Théorie des ordres]]
[[en:Upper bound]]
[[es:Mayorante]]
[[he:חסם (מתמטיקה)]]
[[zh:上界]]
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