Conjecture d'Elliott-Halberstam

Énoncer la conjecture nécessite quelques notations. On désigne usuellement par ${\displaystyle \pi (x)}$  le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à ${\displaystyle x}$ . Si ${\displaystyle q}$  est un entier positif et a est premier avec ${\displaystyle q}$ , notons ${\displaystyle \pi (x;q,a)}$  le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à ${\displaystyle x}$  qui sont congrus à ${\displaystyle a}$  modulo ${\displaystyle q}$ . D'après le théorème de la progression arithmétique, lorsque ${\displaystyle a}$  est premier avec ${\displaystyle q}$ , on a :

${\displaystyle \pi (x;q,a)\approx {\frac {\pi (x)}{\varphi (q)}}.}$ 

On définit alors la fonction d'erreur

${\displaystyle E(x;q)=\max _{(a,q)=1}\left|\pi (x;q,a)-{\frac {\pi (x)}{\varphi (q)}}\right|}$ 

où le max est pris sur tous les ${\displaystyle a}$  premiers avec ${\displaystyle q}$ .

La conjecture d'Elliott-Halberstam est l'assertion que pour tout ${\displaystyle \theta <1}$  et tout ${\displaystyle A>0}$ , il existe une constante ${\displaystyle C}$  telle que pour tout x ≥ 2,

${\displaystyle \sum _{1\leq q\leq x^{\theta }}E(x;q)\leq C{\frac {x}{(\ln x)^{A}}}.}$ 

Pour le cas limite ${\displaystyle \theta =1}$ , on sait que cette assertion est fausse.

Pour les θ < ¹⁄₂, la conjecture a été démontrée par Enrico Bombieri et Askold Ivanovich VinogradovAskold Ivanovich Vinogradov : c'est le théorème de Bombieri-Vinogradov ; ce résultat est déjà tout à fait utile, étant une forme moyennée de l'hypothèse de Riemann généralisée.

La conjecture d'Elliott-Halberstam aurait, si elle était démontrée, plusieurs conséquences frappantes. L'une d'elles est le résultat récent de Dan Goldston (en), János PintzJános Pintz et Cem YıldırımCem Yıldırım^[1],[2],[3], qui montre qu'il existerait alors une infinité de paires de nombres premiers qui diffèrent d'au plus 16.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Elliott–Halberstam conjecture » (voir la liste des auteurs).
• (en) E. Bombieri, On the large sieve, Mathematika 12 (1965), 201-225.
• (en) P. D. T. A. Elliot et H. Halberstam, A conjecture in prime number theory, Symp. Math. 4 (1968-1969), 59-72.
• (en)/(ru) A. I. Vinogradov, The density hypothesis for Dirichlet L-series, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 29 (1965), 903-934.

• Conjecture des nombres premiers jumeaux
• Théorème de Barban-Davenport-Halberstam
• Théorème de Barban-Montgomery

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