Théorème de Jordan-Hölder

Soient G un groupe et e son élément neutre.

• Rappelons qu'on appelle suite de composition^[1] de G toute suite finie (G₀, G₁, …, G_r) de sous-groupes de G telle que
  ${\displaystyle G=G_{0}\supseteq G_{1}\supseteq \ldots \supseteq G_{r}=\{e\}}$ 
  et que, pour tout i ∈ {0, 1, …, r – 1}, G_i+1 soit sous-groupe normal de G_i.
  Les quotients G_i/G_i+1 sont appelés les quotients de la suite^[2].
• Soient Σ₁ = (G₀, G₁, …, G_r) et Σ₂ = (H₀, H₁, …, H_s) deux suites de composition de G. Rappelons qu'on dit que
  • Σ₂ est un raffinement^[3] de Σ₁, ou encore que Σ₂ est plus fine^[4] que Σ₁, si Σ₁ est extraite de Σ₂, c'est-à-dire s'il existe des indices 0 = j(0) < j(1) … < j(r) = s tels que G_i = H_j(i) pour tout i ∈ {1, …, r – 1}.
  • Σ₁ et Σ₂ sont équivalentes^[4],[5] si r = s et s'il existe une permutation σ de l'ensemble {0, 1, …, r – 1} telle que pour tout i dans cet ensemble, le quotient G_i/G_i+1 soit isomorphe au quotient H_σ(i)/H_σ(i)+1.
• Soit Σ = (G₀, G₁, …, G_r) une suite de composition de G. Les trois conditions suivantes sont équivalentes :
  a) Σ est strictement décroissante et n'admet pas d'autre raffinement strictement décroissant qu'elle-même ;
  b) les quotients de Σ sont tous des groupes simples ;
  c) pour tout i ∈ [0, r – 1], G_i+1 est un sous-groupe distingué maximal^[6] de G_i (c'est-à-dire un élément maximal, relativement à l'inclusion, de l'ensemble des sous-groupes propres distingués de G_i).
  On appelle suite de Jordan-Hölder^[7] une suite de composition possédant les propriétés équivalentes a) à c).

Tout groupe fini admet au moins une suite de Jordan-Hölder. Plus généralement^[8], un groupe G admet une suite de Jordan-Hölder si et seulement s'il satisfait aux conditions de chaîne ascendante et descendante pour les sous-groupes sous-normaux, c'est-à-dire si toute suite croissante et toute suite décroissante de sous-groupes sous-normaux de G est stationnaire. (Cela revient encore à dire que tout ensemble non vide E de sous-groupes sous-normaux de G a un élément maximal dans E pour l'inclusion et un élément minimal dans E pour l'inclusion; soit finalement, que le treillis des sous-groupes sous-normaux de G est complet.) En particulier, si un groupe satisfait aux conditions de chaîne ascendante et descendante pour les sous-groupes quelconques, il admet une suite de Jordan-Hölder.

Le théorème de Jordan-Hölder dit que deux suites de Jordan-Hölder d'un même groupe sont toujours équivalentes. Ce théorème peut se démontrer à l'aide du théorème de raffinement de Schreier, lequel peut lui-même se démontrer à l'aide du lemme de Zassenhaus^[9].

Pour le groupe des nombres modulo 6, on a les deux suites de Jordan-Hölder suivantes :

• ${\displaystyle \mathbb {Z} /6\mathbb {Z} \supset \{0,2,4\}\supset \{0\}}$ 
• ${\displaystyle \mathbb {Z} /6\mathbb {Z} \supset \{0,3\}\supset \{0\}}$ 

dont les quotients sont (à isomorphisme près) ℤ/2ℤ puis ℤ/3ℤ pour la première et ℤ/3ℤ puis ℤ/2ℤ pour la seconde.

Le thèorème de Jordan se généralise utilement aux groupes à opérateurs.

Tout d'abord, on étend la notion de suite de Jordan-Hölder d'un groupe aux groupes à opérateurs : on appelle suite de Jordan-Hölder d'un Ω-groupe G toute suite finie (G₀, G₁, … , G_r) de Ω-sous-groupes de G telle que

${\displaystyle G=G_{0}\supseteq G_{1}\supseteq \ldots \supseteq G_{r}=\{e\}}$ ,

que, pour tout i∈{0, 1, … , r – 1}, G_{i + 1} soit sous-groupe normal (et donc Ω-sous-groupe normal) de G_i et que, pour tout i∈{0, 1, … , r – 1}, le Ω-groupe quotient G_i/G_{i + 1} soit Ω-simple^[10].

Comme dans le cas des groupes ordinaires, tout groupe à opérateurs fini admet au moins une suite de Jordan-Hölder et, plus généralement^[8], un groupe à opérateurs G admet une suite de Jordan-Hölder si et seulement s'il satisfait aux conditions de chaîne ascendante et descendante pour les sous-groupes stables sous-normaux, c'est-à-dire si toute suite croissante et toute suite décroissante de sous-groupes stables sous-normaux de G est stationnaire. (Cela revient encore à dire que tout ensemble non vide E de sous-groupes stables sous-normaux de G a un élément maximal dans E pour l'inclusion et un élément minimal dans E pour l'inclusion.)

Soit G un Ω-groupe, soient Σ₁ = (G₀, G₁, … , G_r) et Σ₂ = (H₀, H₁, … , H_s) deux suites de Jordan-Hölder de G. On dit que Σ₁ et Σ₂ sont équivalentes si r = s et s'il existe une permutation σ de l'ensemble {0, 1, … , r – 1} telle que pour tout i dans cet ensemble, le Ω-groupe quotient G_i/G_{i + 1} soit Ω-isomorphe au Ω-groupe quotient H_σ(i)/H_{σ(i) + 1}.

La démonstration du théorème de Jordan-Hölder s'étend alors immédiatement aux groupes à opérateurs : deux suites de Jordan-Hölder d'un même groupe à opérateurs sont toujours équivalentes^[11].

Soient A un anneau et M un A-module à gauche ou à droite sur A. L'addition des vecteurs de M est une loi de groupe et la loi externe de M est une opération

${\displaystyle \ A\times M\rightarrow M:(\lambda ,v)\mapsto \lambda v}$ 

qui fait de M un groupe à opérateurs dans A (en raison de la distributivité de la loi externe par rapport à l'addition des vecteurs).

Tout ceci est vrai en particulier dans le cas d'un espace vectoriel à gauche ou à droite V sur un corps (non forcément commutatif) K (le lecteur qui n'est pas familier avec les corps non commutatifs et les espaces vectoriels à gauche et à droite peut supposer que K est un corps commutatif et que V est un espace vectoriel sur K) : l'addition des vecteurs de V est une loi de groupe et la loi externe de V est une opération

${\displaystyle \ K\times V\rightarrow V:(\lambda ,v)\mapsto \lambda v}$ 

qui fait de V un groupe à opérateurs dans K (en raison de la distributivité de la loi externe par rapport à l'addition des vecteurs).

Un espace vectoriel à gauche ou à droite sur un corps K est donc un cas particulier de groupe à opérateurs dans K. Les sous-groupes stables de ce groupe à opérateurs sont les sous-espaces vectoriels de V. Comme le groupe à opérateurs V est commutatif, tous ses sous-groupes stables sont normaux. Si W est un sous-espace vectoriel de V, l'espace vectoriel quotient de l'espace V par l'espace W est le groupe à opérateurs quotient du groupe à opérateurs V par son sous-groupe stable W. Le groupe à opérateurs V est simple si et seulement si l'espace vectoriel V est de dimension 1.

Nous allons tirer de ce qui précède que deux bases finies d'un même espace vectoriel ont toujours le même nombre d'éléments. Soient (a₁, … , a_r) et (b₁, … , b_s) deux bases d'un même espace vectoriel V. Il s'agit de prouver que r = s. Pour chaque i (0 ≤ i ≤ r), désignons par V_i le sous-espace vectoriel de V engendré par les a_j avec j ≤ i (on a donc V₀ = 0). De même, pour chaque k (0 ≤ k ≤ s), désignons par W_k le sous-espace vectoriel de V engendré par les b_l avec l ≤ k. Alors (V_r, … , V₀) et (W_s, … , W₀) sont deux suites de Jordan-Hölder du groupe à opérateurs V. D'après le théorème de Jordan-Hölder étendu aux groupes à opérateurs, ces deux suites sont équivalentes. En particulier, elles ont la même longueur, donc r = s, comme annoncé^[12].

Remarque. La démonstration qui précède montre qu'un espace vectoriel est de dimension finie si et seulement s'il est de longueur finie comme groupe à opérateurs et que sa longueur est alors égale à sa dimension. En revanche, si V est de dimension infinie, la longueur de V (qui est alors infinie elle aussi) n'est pas forcément égale à la dimension de V, car la longueur de V, comme la longueur de tout groupe à opérateurs de longueur infinie, est alors égale au plus petit cardinal infini, ce qui n'est pas forcément le cas de la dimension de V.

C. Jordan énonça^[13] en 1869 et démontra^[14] en 1870 que dans deux suites de Jordan-Hölder d'un même groupe fini, la suite des ordres (nombres d'éléments) des quotients est la même, à une permutation près. En 1889, O. Hölder renforça ce résultat en prouvant le théorème appelé depuis théorème de Jordan-Hölder^[15].

Groupe polycyclique (en)

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