Théorème d'Erdős-Kac

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Le théorème d'Erdős-Kac en théorie des nombres est un exemple d'étude de la convergence faible de fréquences des fonctions additives, et est considéré comme fondamental en théorie probabiliste des nombres. Ce résultat est lié à la fonction ω(n) qui désigne le nombre de facteurs premiers distincts dans la décomposition en produit de facteurs premiers de n (comptés sans leurs multiplicités). Il a été obtenu par Paul Erdős et Mark Kac en 1939^[1]. En 1958, Alfréd Rényi et Pál Turán ont donné une version explicite du terme d'erreur.

L'énoncé est le suivant^[2]. Pour tout réel λ, on a :

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x}}\left|\left\{n\leq x~|~\omega (n)\leq \ln \ln x+\lambda {\sqrt {\ln \ln x}}\right\}\right|={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\lambda }e^{-t^{2}/2}~\mathrm {d} t.}$