Matrice de Pascal

La matrice de Pascal triangulaire supérieure T est la matrice infinie à coefficients entiers indexée sur ${\displaystyle \mathbb {N} ^{2}}$  définie par ${\displaystyle T(i,j)={\binom {j}{i}}=C_{j}^{i}}$  , avec la convention ${\displaystyle {\binom {i}{j}}=0}$  si ${\displaystyle i>j}$ .

Tronquée à l'ordre n on obtient une matrice ${\displaystyle T_{n}}$  à n+1 lignes et n+1 colonnes ; par exemple : $${\displaystyle T_{4}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\0&1&2&3&4\\0&0&1&3&6\\0&0&0&1&4\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}}$$ .

La transposée U de la matrice T est la matrice de Pascal triangulaire inférieure définie par ${\displaystyle U(i,j)={\binom {i}{j}}}$  . Elle présente la forme habituelle du triangle de Pascal. Par exemple : $${\displaystyle U_{4}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\1&1&0&0&0\\1&2&1&0&0\\1&3&3&1&0\\1&4&6&4&1\end{pmatrix}}}$$ .

Le produit UT donne une matrice symétrique S définie par ${\displaystyle S(i,j)={\binom {i+j}{i}}}$ ^[1]. Elle présente le triangle de Pascal habituel tourné de 45° ; par exemple $${\displaystyle S_{4}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&3&4&5\\1&3&6&10&15\\1&4&10&20&35\\1&5&15&35&70\end{pmatrix}}.}$$ 

Ceci vient de la formule de convolution pour les coefficients binomiaux, en effet :

${\displaystyle S(i,j)=\sum _{k}T(i,k)U(k,j)=\sum _{k}{\binom {i}{k}}{\binom {j}{k}}=\sum _{k}{\binom {i}{i-k}}{\binom {j}{k}}={\binom {i+j}{i}}}$ .

La matrice T est la matrice relative à la base canonique ${\displaystyle (1,X,X^{2},...)}$  de l'endomorphisme ${\displaystyle \varphi }$  de ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$  qui à P associe P(X + 1).

Ceci vient de la formule du binôme. En effet

${\displaystyle (X+1)^{j}=\sum _{i}{\binom {j}{i}}X^{i}=\sum _{i}T(i,j)X^{i}}$ .

La formule de Taylor appliquée aux polynômes permet d'écrire ${\displaystyle P(X+1)=\sum _{k}{\frac {P^{(k)}(X)}{k!}}}$ ; on peut donc écrire l'endomorphisme ${\displaystyle \varphi }$  sous la forme ${\displaystyle \varphi =\sum _{k}{\frac {\delta ^{k}}{k!}}}$  où ${\displaystyle \delta }$  est l'endomorphisme de dérivation. Si on appelle D la matrice canonique de ${\displaystyle \delta }$ , on obtient ${\displaystyle T=\sum _{k}{\frac {D^{k}}{k!}}}$  qui n'est autre que l'exponentielle de la matrice D.

Cette matrice D, définie par ${\displaystyle D(i,j)=j}$  si ${\displaystyle i=j-1}$ , ${\displaystyle D(i,j)=0}$  sinon, est la matrice triangulaire supérieure stricte dont la sur-diagonale contient ${\displaystyle 1,2,3,...}$ .

Sa transposée est la matrice triangulaire inférieure stricte dont la sous-diagonale contient ${\displaystyle 1,2,3,...}$ .

En passant aux matrices tronquées, on obtient ${\displaystyle \exp(D_{n})=T_{n}}$  et ${\displaystyle \exp(D_{n}^{T})=U_{n}}$ .

Par exemple pour n = 4, on obtient : $${\displaystyle D_{4}^{T}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&2&0&0&0\\0&0&3&0&0\\0&0&0&4&0\end{pmatrix}}}$$  donc^[1] $${\displaystyle U_{4}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\1&1&0&0&0\\1&2&1&0&0\\1&3&3&1&0\\1&4&6&4&1\end{pmatrix}}=\exp {\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&2&0&0&0\\0&0&3&0&0\\0&0&0&4&0\end{pmatrix}}}$$ .

Comme ${\displaystyle \varphi (P(X))=P(X+1)}$ , on a ${\displaystyle \varphi ^{m}(P(X))=P(X+m)}$  pour tout entier m. On en déduit directement ${\displaystyle T^{m}(i,j)=m^{j-i}T(i,j)}$  et ${\displaystyle U^{m}(i,j)=m^{i-j}U(i,j)}$ .

Par exemple : $${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\0&1&2&3&4\\0&0&1&3&6\\0&0&0&1&4\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}^{m}={\begin{pmatrix}1&m&m^{2}&m^{3}&m^{4}\\0&1&2m&3m^{2}&4m^{3}\\0&0&1&3m&6m^{2}\\0&0&0&1&4m\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}}$$ .

Les trois matrices ${\displaystyle T,U,S}$  ont pour inverses des matrices où les coefficients de la matrice de départ ont été changés de signe "en damier".

Plus précisément ${\displaystyle T^{-1}(i,j)=(-1)^{i+j}T(i,j)}$  et de même pour ${\displaystyle U,S}$ .

Par exemple : $${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&3&4&5\\1&3&6&10&15\\1&4&10&20&35\\1&5&15&35&70\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}1&-1&1&-1&1\\-1&2&-3&4&-5\\1&-3&6&-10&15\\-1&4&-10&20&-35\\1&-5&15&-35&70\end{pmatrix}}.}$$ 

Les deux matrices triangulaires ${\displaystyle T_{n},U_{n}}$  sont évidemment de déterminant 1, et comme ${\displaystyle S_{n}=U_{n}T_{n}}$ , la matrice ${\displaystyle S_{n}}$  est aussi de déterminant 1.

Par exemple, ${\displaystyle {\begin{vmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&3&4&5\\1&3&6&10&15\\1&4&10&20&35\\1&5&15&35&70\end{vmatrix}}=1}$ 

• Triangle de Pascal
• Coefficient binomial

(en) Eric W. Weisstein, « Pascal Matrix », sur MathWorld

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