Groupe spécial unitaire

Un cas particulier est le groupe spécial unitaire de degré n qui est le groupe des matrices unitaires à coefficients complexes de dimensions n×n et de déterminant 1, et que l’on note SU(n).

SU(n) est un groupe de Lie réel compact simplement connexe de dimension n² – 1. Pour n ≥ 2, c'est un groupe de Lie simple.

Son algèbre de Lie, notée ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$ , est l'algèbre de Lie réelle des matrices complexes n×n antihermitiennes (en) de trace nulle, le commutateur standard servant de crochet de Lie.

Le groupe SU(2) est explicitement :

${\displaystyle {\text{SU}}(2)=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\ \ \alpha ,\beta \in \mathbb {C} ,|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1\right\}}$ .

Il est difféomorphe à la 3-sphère par l'application suivante :

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\varphi :S^{3}\subset \mathbb {R} ^{4}&\to &{\text{SU}}(2)\\(a,b,c,d)&\mapsto &{\begin{pmatrix}a+\mathrm {i} b&-c+\mathrm {i} d\\c+\mathrm {i} d&a-\mathrm {i} b\end{pmatrix}}.\end{array}}}$ 

Le difféomorphisme φ transmet la multiplication de SU(2) à S³ : cela donne la multiplication des quaternions. SU(2) est donc isomorphe au groupe des quaternions unitaires. Comme les quaternions représentent les rotations dans l’espace à 3 dimensions, il existe un homomorphisme surjectif de groupes de Lie SU(2) → SO(3) de noyau {+I, –I}.

Les matrices suivantes forment une base de ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$  :

${\displaystyle \mathrm {i} \,\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&\mathrm {i} \\\mathrm {i} &0\end{pmatrix}}}$ 

${\displaystyle \mathrm {i} \,\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$ 

${\displaystyle \mathrm {i} \,\sigma _{z}={\begin{pmatrix}\mathrm {i} &0\\0&-\mathrm {i} \end{pmatrix}}}$ 

(où i est « l’unité imaginaire »)

Les matrices ${\displaystyle \sigma }$  (dites « matrices de Pauli ») sont souvent utilisées en mécanique quantique pour représenter le spin des particules.

Le groupe spécial unitaire possède une importance particulière en physique des particules :

• le groupe unitaire U(1) est le groupe de jauge de l'électromagnétisme ;
• SU(2) est le groupe associé à l'interaction faible ainsi qu'au spin et à l'isospin ;
• SU(3) est celui de l'interaction forte (chromodynamique quantique). C'est par exemple grâce à la structure des représentations de SU(3) que Gell-Mann a conjecturé l'existence des quarks ;
• SU(5) est l'un des groupes proposés pour structurer la grande unification^[1].

• (en) Eric W. Weisstein, « Special Unitary Group », sur MathWorld

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