Empoisonnement au xénon

• Liminaire : On néglige la présence du tellure 135 dont la période est faible devant celle de l'iode 135 et qui n'est pas capturant des neutrons et on fait l'hypothèse simplificatrice que l'iode 135 est produite directement par les fissions avec le rendement de fission du tellure 135 soit : 0,064

• Variation de la concentration en iode 135 = dI/dt

${\displaystyle {\mathrm {d} I \over \mathrm {d} t}={\text{[Production par fission] - [Disparition par décroissance radioactive] - [Disparition par capture d'un neutron]}}}$ 

${\displaystyle {\mathrm {d} I \over \mathrm {d} t}=\gamma _{i}\times \Sigma _{f}\times \Phi (t)-\lambda _{i}\times I-\sigma _{i}\times I\times \Phi (t)}$ 

• La concentration en iode à l'équilibre ${\displaystyle \left({\mathrm {d} I \over \mathrm {d} t}=0\right)}$  est solution de l'équation :

${\displaystyle 0=\gamma _{i}\times \Sigma _{f}\times \Phi _{o}-\lambda _{i}\times I-\sigma _{i}\times I\times \Phi _{o}}$ 

${\displaystyle I_{o}={\gamma _{i}\times \Sigma _{f} \over \lambda _{i}+\sigma _{i}\times \Phi _{o}}\times \Phi _{o}}$ 

• On simplifie l'équation différentielle en remarquant que le terme σ_i × Φ est négligeable devant λ_i, ce qui revient à dire que l'iode n'est pas un poison, en effet :

${\displaystyle \sigma _{i}\times \Phi _{o}=7\times 10^{-24}\times 3{,}2\times 10^{13}=2{,}24\times 10^{-10}}$  captures par seconde à comparer à :

${\displaystyle \lambda _{i}=2{,}926\times 10^{-05}}$  désintégrations par seconde

d'où l'équation simplifiée :

${\displaystyle {\mathrm {d} I \over \mathrm {d} t}=\gamma _{i}\times \Sigma _{f}\times \Phi -\lambda _{i}\times I}$ 

et la valeur à l'équilibre approximée :

${\displaystyle {\gamma _{i}\times \Sigma _{f} \over \lambda _{i}}\times \Phi _{o}={0{,}064\times 0{,}098\,40\times 3{,}2\times 10^{13} \over 2{,}926\times 10^{-5}}=6{,}886\times 10^{15}}$  at/cm^{3 [Note 6]}

• L'équation générale est résolue en multipliant l'équation différentielle par ${\displaystyle e^{\lambda _{i}\times t}}$ 

${\displaystyle {\mathrm {d} I \over \mathrm {d} t}\times e^{\lambda _{i}\times t}+\lambda _{i}\times I\times e^{\lambda _{i}\times t}=\gamma _{i}\times \Sigma _{f}\times \Phi (t)\times e^{\lambda _{i}\times t}}$ 

${\displaystyle {\mathrm {d} (I\times e^{\lambda _{i}\times t}) \over \mathrm {d} t}=\gamma _{i}\times \Sigma _{f}\times \Phi (t)\times e^{\lambda _{i}\times t}}$ 

${\displaystyle I(t)=I(o)+\left(\gamma _{i}\times \Sigma _{f}\times \int _{o}^{t}\Phi (u)\times e^{\lambda _{i}\times u}\times \mathrm {d} u\right)\times e^{-\lambda _{i}\times t}}$ 

• On fait l'hypothèse d'un démarrage du réacteur vierge (sans iodes ni xénon), d'où I(o) = 0, et d'une croissance du flux pour atteindre la valeur Φ_o en quelques dizaines de minutes durée faible devant le rythme d'évolution de l'iode. On peut alors simplifier la fonction donnant I(t) en remplaçant Φ (t) par la valeur à terme du flux Φ_o ^{[Note 7]}

${\displaystyle I(t)=\gamma _{i}\times \Sigma _{f}\times \Phi _{o}\times \left[\int _{o}^{t}e^{\lambda _{i}\times u}\times \mathrm {d} u\right]\times e^{-\lambda _{i}\times t}}$ 

${\displaystyle I(t)=\gamma _{i}\times \Sigma _{f}\times \Phi _{o}\times {e^{\lambda _{i}\times t}-1 \over \lambda _{i}}\times e^{-\lambda _{i}\times t}}$ 

${\displaystyle I(t)={\gamma _{i}\times \Sigma _{f} \over \lambda _{i}}\times \Phi _{o}\times (1-e^{-\lambda _{i}\times t})=I_{o}\times (1-e^{-\lambda _{i}\times t})}$ 

Variation de la concentration en xénon 135 = ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} X}{\mathrm {d} t}}}$ 

${\displaystyle {\mathrm {d} X \over \mathrm {d} t}=\scriptstyle +[{\mathsf {Production~par~decroissance~de~l'iode}}]+[{\mathsf {Production~par~fission}}]-[{\mathsf {Disparition~par~decroissance~radioactive}}]-[{\mathsf {Disparition~par~capture~d'~un~neutron}}]}$ 

${\displaystyle {\mathrm {d} X \over \mathrm {d} t}=\gamma _{x}\times \Sigma _{f}\times \Phi (t)+\lambda _{i}\times I-\lambda _{x}\times X-\sigma _{x}\times X\times \Phi (t)}$ 

• La concentration en xénon à l'équilibre ${\displaystyle \left({\mathrm {d} X \over \mathrm {d} t}=0\right)}$  est solution de l'équation :

${\displaystyle 0=\gamma _{x}\times \Sigma _{f}\times \Phi _{o}+\lambda _{i}\times I_{o}-\sigma _{x}\times X_{o}\times \Phi _{o}-\lambda _{x}\times X_{o}}$ 

${\displaystyle X_{o}={\gamma _{x}\times \Sigma _{f}\times \Phi _{o}+\lambda _{i}\times I_{o} \over \lambda _{x}+\sigma _{x}\times \Phi _{o}}}$ 

${\displaystyle I_{o}={\gamma _{i} \over \lambda _{i}}\times \Sigma _{f}\times \Phi _{o}}$ 

${\displaystyle X_{o}={\gamma _{x}\times \Sigma _{f}\times \Phi _{o}+\lambda _{i}\times ({\gamma _{i} \over \lambda _{i}}\times \Sigma _{f}\times \Phi _{o}) \over \lambda _{x}+\sigma _{x}\times \Phi _{o}}={(\gamma _{x}+\gamma _{i})\times \Sigma _{f}\times \Phi _{o} \over \lambda _{x}+\sigma _{x}\times \Phi _{o}}}$ 

${\displaystyle X_{o}={(0{,}004+0{,}064)\times 0{,}098\,40\times 3{,}2\times 10^{13} \over \ 2{,}0997\times 10^{-5}+2{,}65\times 10^{-18}\times 3{,}2\times 10^{13}}=2{,}024\times 10^{15}}$  at/cm³

• La concentration en xénon à l'équilibre ne dépasse pas la valeur limite : ${\displaystyle Xomax={(\gamma _{x}+\gamma _{i})\times \Sigma _{f} \over \sigma _{x}}}$ 

${\displaystyle Xomax={(0{,}064+0{,}004)\times 0{,}098\,40 \over 2{,}65\times 10^{-18}}\;{\rm {at/cm^{3}=2{,}525\times 10^{15}}}}$ 

La valeur limite X_omax ne dépend pas du flux.

• À remarquer que, dans la situation d'équilibre, l'essentiel de la production de xénon vient de la désintégration de l'iode en effet :

Production de xénon par désintégration de l'iode = ${\displaystyle \lambda _{i}\times I_{o}=2{,}926\times 10^{-5}\times 6{,}886\times 10^{15}=2{,}0148\times 10^{11}}$  at/cm³/s ; soit 94,1 % du total produit

Production de xénon directement par fission = ${\displaystyle \gamma _{x}\times \Sigma _{f}\times \Phi _{o}=0{,}04\times 0{,}098\,40\times 3{,}2\times 10^{13}=1{,}2593\times 10^{10}}$  at/cm³/s ; soit 5,9 % du total produit ^{[Note 8]}

• L'équation différentielle générale est résolue en multipliant l'équation par ${\displaystyle e^{\int _{o}^{t}\psi (u)\times \mathrm {d} u}}$ 

avec

${\displaystyle \psi (u)=\lambda _{x}+\sigma _{x}\times \Phi (u)}$ 

Il vient :

${\displaystyle {\mathrm {d} X \over \mathrm {d} t}\times e^{\int _{o}^{t}\psi (u)\times \mathrm {d} u}+\psi (t)\times X(t)\times e^{\int _{o}^{t}\psi (u)\times \mathrm {d} u}=\left[\lambda _{i}\times I(t)+\gamma _{x}\times \Sigma _{f}\times \Phi (t)\right]\times e^{\int _{o}^{t}\psi (u)\times \mathrm {d} u}}$ 

${\displaystyle {\mathrm {d} (X\times e^{\int _{o}^{t}\psi (u)\times \mathrm {d} u}) \over \mathrm {d} t}=\left[\lambda _{i}\times I(t)+\gamma _{x}\times \Sigma _{f}\times \Phi (t)\right]\times e^{\int _{o}^{t}\psi (u)\times \mathrm {d} u}}$ 

• Finalement : ${\displaystyle X(t)=e^{-\int _{o}^{t}\psi (u)\times \mathrm {d} u}\times \left[\int _{o}^{t}e^{\int _{o}^{u}\psi (v)\times \mathrm {d} v}\times (\lambda _{i}\times I(u)+\gamma _{x}\times \Sigma _{f}\times \Phi (u))\times \mathrm {d} u+X(o)\right]}$ 

• Dans l'hypothèse d'un démarrage du réacteur vierge (sans iode ni xénon), d'où I(o) = X(o) = 0, et d'une croissance du flux pour atteindre la valeur Φ_o en quelques dizaines de minutes durée faible devant l'évolution de l'iode et du xénon, on peut simplifier la fonction donnant X(t) en remplaçant Φ (t) par la valeur à terme Φ_o ;

Par ailleurs, on a vu que :

${\displaystyle I(t)={\gamma _{i}\times \Sigma _{f} \over \lambda _{i}}\times \Phi _{o}\times (1-e^{-\lambda _{i}\times t})}$  ${\displaystyle X(t)=X_{o}\times \left[1+{1 \over \gamma _{i}+\gamma _{x}}\times \left({\gamma _{i}\times \lambda _{i} \over \lambda _{x}-\lambda _{i}+\sigma _{x}\times \Phi _{o}}-\gamma _{x}\right)\times e^{-(\lambda _{x}+\sigma _{x}\times \Phi _{o})\times t}-{\gamma _{i} \over \gamma _{i}+\gamma _{x}}\times \left({\lambda _{x}+\sigma _{x}\times \Phi _{o} \over \lambda _{x}-\lambda _{i}+\sigma _{x}\times \Phi _{o}}\right)\times e^{-\lambda _{i}\times t}\right]}$ 

avec X_o = valeur à l'équilibre

• Dans le cas d'un arrêt rapide du réacteur à partir d'un régime permanent initial établi les équations s'allègent un peu :

${\displaystyle I(t)={\gamma _{i}\times \Sigma _{f} \over \lambda _{i}}\times \Phi _{o}\times e^{-\lambda _{i}\times t}}$ 

${\displaystyle X(t)=\Sigma _{f}\times \Phi _{o}\times \left[{\gamma _{i} \over \lambda _{x}-\lambda _{i}}\times e^{-\lambda _{i}\times t}+\left({\gamma _{i}+\gamma _{x} \over \lambda _{x}+\sigma _{x}\times \Phi _{o}}-{\gamma _{i} \over \lambda _{x}-\lambda _{i}}\right)\times e^{-\lambda _{x}\times t}\right]}$ 

La fonction donnant X(t) est aisément dérivable :

${\displaystyle X'(t)\div -\lambda _{i}\times {\gamma _{i} \over \lambda _{x}-\lambda _{i}}\times e^{-\lambda _{i}\times t}+\lambda _{x}\times \left({\gamma _{i} \over \lambda _{x}-\lambda _{i}}-{\gamma _{i}+\gamma _{x} \over \lambda _{x}+\sigma _{x}\times \Phi _{o}}\right)\times e^{-\lambda _{x}\times t}}$ 

L'instant du "pic xénon" est évaluable analytiquement.

${\displaystyle \lambda _{i}\times {\gamma _{i} \over \lambda _{x}-\lambda _{i}}\times e^{(\lambda _{x}-\lambda _{i})\times t_{pic}}=\lambda _{x}\times \left({\gamma _{i} \over \lambda _{x}-\lambda _{i}}-{\gamma _{i}+\gamma _{x} \over \lambda _{x}+\sigma _{x}\times \Phi _{o}}\right)}$ 

Pour finir :

${\displaystyle t_{pic}={1 \over \lambda _{x}-\lambda _{i}}\times \ln \left[{\lambda _{x}\times (\lambda _{x}-\lambda _{i}) \over \lambda _{i}\times \gamma _{i}}\times \left({\gamma _{i} \over \lambda _{x}-\lambda _{i}}-{\gamma _{i}+\gamma _{x} \over \lambda _{x}+\sigma _{x}\times \Phi _{o}}\right)\right]}$ 

Dans l'exemple type choisi du REP 900 MWe on trouve t_pic = 3,051 × 10⁴ s = 8,47 h post arrêt. Plus le flux est élevé plus le pic est tardif et ample.

• L'empoisonnement par le xénon affecte le facteur f de la formule des 4 facteurs

f avant empoisonnement = ${\displaystyle f={\Sigma _{u} \over \Sigma _{u}+\Sigma _{m}}}$ 

f' après empoisonnement = ${\displaystyle f'={\Sigma _{u} \over \Sigma _{u}+\Sigma _{m}+\Sigma _{x}}}$ 

Le rapport ${\displaystyle {\frac {f}{f'}}}$  exprime la variation de k_eff

${\displaystyle {f \over f'}=1+{\Sigma _{x} \over \Sigma _{u}+\Sigma _{m}}}$ 

• Évaluation de ${\displaystyle \Sigma _{u}=\sigma _{5}\times U_{5}+\sigma _{8}\times U_{8}+\sigma _{o}\times O_{u}+\sigma _{z}\times Zr}$ 

${\displaystyle \Sigma _{u}=(679{,}9\times U_{5}+2{,}72\times U_{8}+0{,}267\times 10^{-3}\times O_{u}+0{,}182\times Zr)\times 10^{-24}}$  cm⁻¹

Concentration des atomes d'uranium 235 = ${\displaystyle U_{5}=1760{,}93/0{,}235\,044\times N_{A}/26{,}571\times 10^{6}=1{,}6980\times 10^{20}}$  at/cm³

Concentration des atomes d'uranium 238 = ${\displaystyle U_{8}={\frac {72\,367-1760{,}93)}{0{,}238\,051\times N_{A}/26{,}571\times 10^{6}}}=6{,}722\times 10^{21}}$  at/cm³

Concentration des atomes d'oxygène du combustible = ${\displaystyle O_{u}=2\times (U_{5}+U_{8})=1{,}3784\times 10^{22}}$  at/cm³

Concentration des atomes de zirconium = ${\displaystyle Zr=19\,096/0{,}091\,224\times N_{A}/26{,}571\times 10^{6}=4{,}744\times 10^{21}}$  at/cm³

D'où : ${\displaystyle \Sigma _{u}=0{,}134\,60}$  cm⁻¹

• Évaluation de ${\displaystyle \Sigma _{m}=\sigma _{h}\times H+\sigma _{o}\times O_{m}}$ 

${\displaystyle \Sigma _{m}=\sigma _{h}\times H+\sigma _{o}\times O_{m}}$ 

${\displaystyle \Sigma _{m}=(0{,}332\times H+0{,}267\times 10^{-3}\times O_{m})\times 10^{-24}}$  cm⁻¹

Nombre de moles d'eau dans le cœur = ${\displaystyle {\frac {11\,073{,}8\times 1000}{15{,}9994+2\times 1{,}007\,94}}=614\,690}$ 

Concentration des atomes d'hydrogène = ${\displaystyle {\frac {614\,690\times 2\times N_{A}}{26{,}571\times 10^{6}}}=2{,}786\times 10^{22}}$  at/cm³

Concentration des atomes d'oxygène du modérateur =${\displaystyle 2{,}786\times 10^{22}/2=1{,}3932\times 10^{22}}$  at/cm³

${\displaystyle \Sigma _{m}=2{,}786\times 10^{22}\times 0{,}332+1{,}3932\times 10^{22}\times 0{,}267\times 10^{-3}\times 10^{-24}=0{,}009\,2543}$  cm⁻¹

• Évaluation de Σ_x à l'équilibre = ${\displaystyle \Sigma _{x}=\sigma _{x}\times X_{o}=2{,}65\times 10^{-18}\times 2{,}024\times 10^{15}=0{,}005\,3630}$  cm⁻¹
• ${\displaystyle {f \over f'}=1+{\Sigma _{x} \over \Sigma _{u}+\Sigma _{m}}}$ 

${\displaystyle {f \over f'}=1+{0{,}005\,3630 \over 0{,}134\,60+0{,}009\,2543}=1{,}037\,28}$ 

La variation relative de k_eff, si le cœur était juste critique avant empoisonnement, s'écrit:

${\displaystyle {k_{eff}' \over k_{eff}}={f' \over f}={\frac {1}{1{,}037\,28}}=0{,}964\,06}$ 

L'effet en réactivité correspondant vaut : ${\displaystyle {k_{eff}' \over k_{eff}}={e^{\rho '} \over e^{\rho }}=e^{\rho '-\rho }}$ 

exprimé en pcm

${\displaystyle \rho '-\rho =100\,000\times \ln(0{,}964\,06)=}$  -3 660 pcm

• En fonction du flux :

${\displaystyle {f \over f'}=1+{\sigma _{x}\times {(\gamma _{i}+\gamma _{x})\times \Sigma _{f}\times \Phi (t) \over \lambda _{x}+\sigma _{x}\times \Phi (t)} \over \Sigma _{u}+\Sigma _{m}}}$ 

${\displaystyle {f \over f'}=1+{1{,}2326\times 10^{-19}\times \Phi (t) \over 2{,}0997\times 10^{-5}+2{,}65\times 10^{-18}\times \Phi (t)}}$