Argument d'un nombre complexe

 

Étant donné un nombre complexe z non nul, un argument de z est une mesure (en radians, donc modulo 2π) de l’angle :

${\displaystyle ({\overrightarrow {Ox}},\;{\overrightarrow {OM}})}$ 

où M est l'image de z dans le plan complexe, c'est-à-dire le point d'affixe z.

De manière équivalente, un argument de ${\displaystyle z=x+iy}$  est un nombre réel ${\displaystyle \theta }$  tel que :

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\Re (z)}{|z|}}={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\quad {\text{et}}\quad \sin \theta ={\frac {\Im (z)}{|z|}}={\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}$ ,

 

où ${\displaystyle \Re (z)=x}$ , ${\displaystyle \Im (z)=y}$  et ${\displaystyle \left|z\right|}$  sont respectivement les parties réelle et imaginaire et le module de z.

Souvent, on note un argument du nombre complexe z de façon simplifiée par :

${\displaystyle \arg z=\theta }$ 

ou plus précisément :

${\displaystyle \arg z\equiv \theta {\bmod {2\pi }}}$ .

Remarque : en anglais, on parle parfois de la phase^[1] ou de l'amplitude^[2] d'un nombre complexe : ${\displaystyle \mathrm {ph} (z)}$ .

L'argument principal de z, noté ${\displaystyle {\text{Arg }}z}$ , est la mesure principale de l'angle ${\displaystyle ({\overrightarrow {Ox}},\;{\overrightarrow {OM}})}$ , soit celle qui appartient à l'intervalle ${\displaystyle ]-\pi ,\pi ]}$  ; on a donc : ${\displaystyle \arg z\equiv {\text{Arg }}z{\bmod {2\pi }}}$ .

• Si z n'est pas un imaginaire pur, ${\displaystyle \tan(\arg z)={\frac {y}{x}}={\frac {z-{\bar {z}}}{\mathrm {i} \left(z+{\bar {z}}\right)}}}$ , où ${\displaystyle {\bar {z}}}$  est le conjugué de z et donc :

  si ${\displaystyle x=\Re (z)>0}$ , ${\displaystyle {\text{Arg }}z={\text{Arctan}}{\frac {y}{x}}={\text{Arctan}}{\frac {z-{\bar {z}}}{\mathrm {i} \left(z+{\bar {z}}\right)}}}$ .

• De manière plus générale, l'argument principal d'un nombre complexe z non nul est entièrement déterminé de la façon suivante :

  ${\displaystyle {\text{Arg }}z={\begin{cases}2{\text{ Arctan}}{\frac {y}{x+{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\text{si }}z\notin \mathbb {R} _{-}\\\pi &{\text{si }}z\in \mathbb {R} _{-}^{*}{\text{.}}\end{cases}}}$ 

Cette expression se déduit d'une des formules de l'arc moitié, ${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}}$ .

Soient z, z₁ et z₂ des complexes non nuls. On a, ${\displaystyle {\bmod {2\pi }}}$  :

${\displaystyle \arg(z_{1}z_{2})\equiv \arg z_{1}+\arg z_{2}}$ .

En particulier :

• pour tout réel a non nul : ${\displaystyle \arg(az)\equiv {\begin{cases}\arg z&{\text{si }}a>0\\(\arg z)+\pi &{\text{si }}a<0{\text{ ;}}\end{cases}}}$ 
• pour tout entier relatif n : ${\displaystyle \arg(z^{n})\equiv n\arg z}$ .

Si A, B, C et D sont quatre points deux à deux distincts du plan complexe d'affixes respectives a, b, c et d, alors :

${\displaystyle ({\overrightarrow {AB}},\;{\overrightarrow {CD}})\equiv \arg {\frac {d-c}{b-a}}{\bmod {2\pi }}}$ .

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