Advection

L'opérateur advection correspond au produit scalaire du vecteur vitesse ${\displaystyle {\overrightarrow {v}}}$  par le vecteur gradient (Nabla) ${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}}$ , en coordonnées cartésiennes.

${\displaystyle {\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}=u{\frac {\partial }{\partial x}}+v{\frac {\partial }{\partial y}}+w{\frac {\partial }{\partial z}}}$ 

où ${\displaystyle (u,v,w)}$  sont les composantes de la vitesse ${\displaystyle {\overrightarrow {v}}}$  selon les coordonnées ${\displaystyle (x,y,z)}$ .

Cet opérateur est ensuite appliqué à la propriété considérée.

Par exemple, l'advection du vecteur vitesse ${\displaystyle {\overrightarrow {v}}={\begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix}}}$  est exprimée par :

${\displaystyle \left({\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}\right){\overrightarrow {v}}={\begin{pmatrix}{\left({\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}\right)u}\\\\{\left({\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}\right)v}\\\\{\left({\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}\right)w}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}+w{\frac {\partial u}{\partial z}}}\\\\{u{\frac {\partial v}{\partial x}}+v{\frac {\partial v}{\partial y}}+w{\frac {\partial v}{\partial z}}}\\\\{u{\frac {\partial w}{\partial x}}+v{\frac {\partial w}{\partial y}}+w{\frac {\partial w}{\partial z}}}\end{pmatrix}}}$ 

L'advection d'une quantité vectorielle équivaut donc à appliquer l'opérateur advection sur chacune des trois composantes du vecteur, dans le cas de la vitesse :

• advection de la composante ${\displaystyle u}$   : ${\displaystyle {\left({\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}\right)u}=u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}+w{\frac {\partial u}{\partial z}}}$ 
• advection de la composante ${\displaystyle v}$   : ${\displaystyle {\left({\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}\right)v}=u{\frac {\partial v}{\partial x}}+v{\frac {\partial v}{\partial y}}+w{\frac {\partial v}{\partial z}}}$ 
• advection de la composante ${\displaystyle w}$   : ${\displaystyle {\left({\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}\right)w}=u{\frac {\partial w}{\partial x}}+v{\frac {\partial w}{\partial y}}+w{\frac {\partial w}{\partial z}}}$ 

Si on considère que la répartition verticale des pressions est hydrostatique, c'est-à-dire que :

$${\displaystyle \partial p=-\rho g\partial z}$$ 

alors, on peut remplacer la coordonnée ${\displaystyle z}$  par la pression :

${\displaystyle {\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}=u{\frac {\partial }{\partial x}}+v{\frac {\partial }{\partial y}}+\Omega {\frac {\partial }{\partial p}}}$ 

où

• ${\displaystyle \Omega =-v_{p}\rho g}$  est le déplacement vertical en coordonnées de pression ;
• ${\displaystyle p}$  est la pression ;
• ${\displaystyle \rho }$  est la masse volumique du fluide ;
• ${\displaystyle g}$  est l'accélération terrestre.
• et avec ${\displaystyle v_{p}(\cdot ,\cdot ,p)=v_{z}(\cdot ,\cdot ,z)}$ , autrement dit, on a effectué le changement de variable ${\displaystyle z=-{\frac {1}{\rho g}}\left(p-p(z=0)\right)}$ , c'est-à-dire poser ${\displaystyle v_{p}}$  telle que ${\displaystyle v_{z}(\cdot ,\cdot ,z)=v_{z}\left(\cdot ,\cdot ,{\frac {p(z=0)-p}{\rho g}}\right)=v_{p}(\cdot ,\cdot ,p)}$ .

L'advection appliquée à la vitesse peut se décomposer sous la forme dite « de Lamb » :

${\displaystyle \left({\overrightarrow {v}}\,\cdot \,{\overrightarrow {\operatorname {grad} }}\right)\,{\overrightarrow {v}}={\overrightarrow {\operatorname {grad} }}\,{\frac {|v|^{2}}{2\,\,}}+\left({\overrightarrow {\operatorname {rot} }}\,{\overrightarrow {v}}\right)\wedge {\overrightarrow {v}}}$ 

Cela se vérifie par le calcul.

On peut alors définir :

• le vecteur ${\displaystyle {\overrightarrow {w}}={\overrightarrow {\operatorname {rot} }}\,{\overrightarrow {v}}}$ , dénommé vecteur vorticité.
• le vecteur ${\displaystyle {\overrightarrow {l}}=\left({\overrightarrow {\operatorname {rot} }}\,{\overrightarrow {v}}\right)\wedge {\overrightarrow {v}}={\overrightarrow {w}}\wedge {\overrightarrow {v}}}$ , dénommé vecteur « de Lamb »

Ces définitions sont très utiles pour l'étude de la turbulence dans les fluides.

En appliquant quelques hypothèses simplificatrices (${\displaystyle c_{p}}$  constant, ${\displaystyle \rho }$  constant) la quantité de chaleur s'écrit :

${\displaystyle q=\rho c_{p}T}$ 

L'équation d'advection de la chaleur, c'est-à-dire l'équation qui décrit la quantité de chaleur transportée par un fluide en mouvement, s'écrit :

${\displaystyle \rho c_{p}\left({\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\text{grad}}}\right)T=\rho c_{p}\left(u{\frac {\partial T}{\partial x}}+v{\frac {\partial T}{\partial y}}+w{\frac {\partial T}{\partial z}}\right)}$ 

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