Variable statistique discrète

En statistique descriptive, une variable statistique est dite discrète lorsqu'elle prend un nombre fini raisonnable de valeurs numériques (note, nombre d’enfants, nombre de pièces…).

L'étude des variables statistiques discrète est un premier pas vers l'étude des statistiques dans le domaine des mathématiques élémentaires

Le caractère statistique étudié est alors appelé caractère discret.

Un enquête statistique consiste à prendre une population d'individus, ces individus peuvent des êtres humains (comme les élèves d'une classe) mais aussi des choses (comme les appartements d'une cité, ou des années écoulées)^[1] et à s’intéresser à une propriété particulière de ces individus, appelée caractère statistique^[2] : pour les élèves d'une classe, on peut s'intéresser à leur note, leur mention au bac, leur taille, ou leur marque de chaussure, pour les appartements, on peut s'intéresser à leur superficie, leur nombre de pièces et leur classe énergétique.

Lorsque ces propriétés sont numériques, le caractère étudié est dit quantitatif (taille, surface, note)^[3] , dans le cas contraire, on le dit qualitatif (marque de chaussure, mention au bac, classe énergétique)^[4]. Lorsque les valeurs numériques sont peu nombreuses (note, nombre de pièces d'un logement) on dit que le caractère est quantitatif discret^[3]. L'étude des variables statistiques discrètes est l'étude des résultats d'une étude statistique portant sur un caractère quantitatif discret.

Les résultats d’une enquête se présentent en données brutes sous forme d'une liste désordonnée d’informations.

Exemple : Lors d'une épreuve écrite, on a relevé les notes obtenues par les élèves de la classe X : 10, 9, 12, 11, 10, 8, 14, 11, 9, 16, 5, 12, 10, 11, 10, 13

Il faut alors les trier, par ordre croissant.

Notes triées : 5, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 12, 12, 13, 14, 16

Cette présentation sous forme de liste est peu exploitable, on décide alors de présenter les résultats de l’enquête sous forme d’un tableau d’effectifs. Chaque valeur différente de note est appelée une modalité^[4].

L’effectif d’une valeur (ou d'une modalité) est le nombre de fois où cette valeur apparaît. On obtient alors le tableau suivant, appelé tableau d'effectifs

Exemple 1 : note des élèves

notes ${\displaystyle x_{i}}$	5	8	9	10	11	12	13	14	16	Total
Effectifs	1	1	2	4	3	2	1	1	1	16

Lorsque la population étudiée est trop grande, ou bien lorsque l’on cherche à faire la comparaison entre deux populations de tailles différentes, on préfère se ramener à une population de 100, donc travailler en pourcentages, appelés ici fréquences.

Exemple 1 : note des élèves

notes ${\displaystyle x_{i}}$	5	8	9	10	11	12	13	14	16	Total
fréquences ${\displaystyle f_{i}}$ en %	6,25	6,25	12,50	25,00	18,75	12,50	6,25	6,25	6,25	100

Les tableaux peuvent se présenter sous forme verticale ou horizontale. Ainsi les deux tableaux précédents auraient tout aussi bien pu être représentés sous la forme suivante^[5]:

notes ${\displaystyle x_{i}}$	effectifs ${\displaystyle n_{i}}$	fréquences ${\displaystyle f_{i}}$ en pourcentages
5	1	6,25
8	1	6,25
9	2	12,50
10	4	25
11	3	18,75
12	2	12,5
13	1	6,25
14	1	6,25
16	1	6,25
Total	16	100

Dans l'exemple ci-dessus, il peut être intéressant de connaitre le nombre d'élèves dont la note est inférieure ou égale à 10 ou dont la note est inférieure ou égale à 8. C'est ce qu'on appelle les effectifs cumulés.

L'effectif cumulé associé à la valeur ${\displaystyle x_{i}}$ est le nombre d'individus dont le valeur du caractère statistique (ici la note) est inférieure ou égale à ${\displaystyle x_{i}}$^[6]. Il s'obtient en additionnant tous les effectifs des modalités inférieures à ${\displaystyle x_{i}}$

Le tableau des effectifs et fréquences cumulés pour l'exemple précédent est :

notes ${\displaystyle x_{i}}$	effectifs cumulés	fréquences cumulées en pourcentages
5	1	6,25
8	2	12,5
9	4	25
10	8	50
11	11	68,75
12	13	81,25
13	14	87,50
14	15	93,75
16	16	100

Le tableau se lit de la manière suivante : « 8 élèves,soit 50% de la classe, ont obtenu une note inférieure ou égale à 10 », « seuls deux élèves ont une note inférieure ou égale à 8 ».

Imaginons que nous ayons une classe d'élèves de différentes tailles et que nous désirions faire représenter la classe par un élève idéal ni trop grand ni trop petit.Y a-t-il un élève qui ait la taille « représentative » de la classe et quelle est cette taille ?

Exemple de classe (1) avec les mesures observées

Tailles en cm

178

180

182

181

179

En additionnant tous les résultats et en divisant par le nombre d'individus dans la classe, nous obtiendrons ce que l'on appelle la moyenne.

178+180+182+181+179=900

900/5 = 180

La moyenne est donc 180 cm.

Autre exemple de classe

Classe (2) plus importante avec différents élèves ayant la même taille. Nous allons compter le nombre d'élèves ayant une taille donnée et placer les résultats dans un tableau.

${\displaystyle x_{i}}$	178	179	180	181	182	Nombre d'élèves
${\displaystyle n_{i}}$	5	2	3	1	4	=5+2+3+1+4=15= ${\displaystyle \sum _{i=1}^{5}n_{i}}$
${\displaystyle x_{i}.n_{i}}$	178${\displaystyle \times }$5	179${\displaystyle \times }$2	180${\displaystyle \times }$3	181${\displaystyle \times }$1	182${\displaystyle \times }$4	Somme des tailles
${\displaystyle x_{i}.n_{i}}$	890	358	540	181	728	=890+358+540+181+728=2697= ${\displaystyle \sum _{i=1}^{5}n_{i}.x_{i}}$

La moyenne est ici le total des tailles à diviser par le nombre d'élèves : soit 2697/15 = 179,8 cm.

On calcule d'abord la somme des produits des mesures par le nombre de fois où l'on a observé ces mesures.

• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}n_{i}.x_{i}}$

Ensuite on divise par le nombre total de mesures :

• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}n_{i}}$

La formule générale est donc :

• ${\displaystyle m={\overline {x}}={\dfrac {\sum _{i=1}^{N}n_{i}.x_{i}}{\sum _{i=1}^{N}n_{i}}}}$

La moyenne est un des critères de position.

Les résultats obtenus se présentent, outre le tableau de mesures ci-dessus, par un diagramme en bâtons ou encore par un diagramme en camembert, mais cette dernière représentation représente une perte d'information et empêche de comparer le résultat statistique avec le comportement d'une variable aléatoire discrète^[7].

Le diagramme en bâtons permet de visualiser les effectifs (ou les fréquences) associés à chaque valeur (ou modalité) de la variable.

Pour chaque valeur ${\displaystyle x_{i}}$ de la variable, on trace, au point d'abscisse ${\displaystyle x_{i}}$ un bâton vertical dont la hauteur est proportionnelle à l'effectif ${\displaystyle n_{i}}$ ou la fréquence ${\displaystyle f_{i}}$ ou la fréquence^[8].

En reprenant l'étude des tailles des élèves de la classe (2), il s'agit d'élever pour chaque taille repérée un trait vertical proportionnel au nombre d'élèves. On obtient ainsi le diagramme en bâtons suivant :

Répartition des 15 élèves selon leur taille en cm.

Il arrive que l'on donne une épaisseur (constante) à chaque bâton, ce qui donne au diagramme un aspect proche du diagramme en barres des variables non numériques (appelés variables qualitatives ou catégorielles) avec toutefois une différence importante: pour une variable qualitative, l'ordre des barres est arbitraire alors qu'il est imposé et signifiant dans le cas de la variable discrète^[8].

Si on cherche à regrouper toutes les personnes ayant une taille comprise entre 179 et 180 cm dans une même classe: la classe des 179 cm - 180 cm , on est amené à traiter la variable comme continue ce qui conduit à tracer un traiter le caractère comme continu et de tracer un histogramme.

Pour voir si les résultats s’agglomèrent autour de la moyenne (courbe en forme de pic) ou au contraire s'étalent en prenant de nombreuses valeurs distinctes (courbe aplatie), on peut utiliser ce qu'on appelle un indice de dispersion. Le plus connu a pour nom variance et est défini comme suit :

${\displaystyle V=\sum _{i=1}^{N}f_{i}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}$ où les ${\displaystyle x_{i}}$ sont les valeurs du caractère statistique, les ${\displaystyle f_{i}}$ leurs fréquences d'apparition et ${\displaystyle {\overline {x}}}$ la moyenne.

On définit aussi l'écart-type comme étant la racine carrée de la variance

écart-type = ${\displaystyle \sigma ={\sqrt {V}}}$

Exemple : Si la série comporte 3 mesures et que les nombres 3, 4 et 2 apparaissent une seule fois, la moyenne est 3 et la variance 0,667.

${\displaystyle V={\dfrac {1(2-3)^{2}+1(3-3)^{2}+1(4-3)^{2}}{3}}\approx 0,667}$

Comme le calcul de la variance se fait à partir des carrés des écarts, les unités de mesure ne sont pas les mêmes que celles des observations originales. Par exemple, les longueurs mesurées en mètres (m) auront une variance mesurée en mètres carrés (m²).

L'écart-type, correspondant à la racine carrée de la variance nous donnera par contre l'unité utilisée dans l'échelle originale.

• Christian Ambrosini, « Éléments de statistique descriptive », 2011

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