Grandeur sans dimension

Une grandeur sans dimension ou adimensionnelle est une grandeur physique dont la dimension vaut ${\displaystyle 1}$, ce qui revient à dire que tous ses exposants dimensionnels sont nuls^[1] :

${\displaystyle {\text{dim}}={\mathsf {L^{0}M^{0}T^{0}I^{0}\Theta ^{0}N^{0}J^{0}}}=1}$

Une grandeur adimensionelle peut être obtenue à partir d'une combinaison de grandeurs dimensionnées, dont l'analyse dimensionnelle permet de vérifier la dimension. Une grandeur adimensionelle peut cependant posséder une unité, par exemple les angles dont l'unité est le radian. D'autres exemples de grandeurs adimensionnées sont l'indice de réfraction ou la densité.

Les grandeurs adimensionnelles interviennent particulièrement en mécanique des fluides et dans la description de phénomène de transfert pour la similitude de modèles réduits ou théorie des maquettes. Elles sont parfois appelées nombres caractéristiques.

Le domaine d'application par excellence des nombres adimensionnels est la mécanique des fluides. Il existe des centaines de nombres dont une grande partie réservée à des sujets très spécialisés^{[2],[3],[4],[5]}. Une liste non exhaustive est donnée ci-après des nombres adimensionnels les plus courants.

Liste des nombres adimensionnels

Nom	Symbole	Domaines d'utilisation	Type de rapport
Nombre d'Abbe	V	Optique	angle de réfraction/angle de dispersion
Nombre d'absorption	Ab	Transfert de masse	temps d'exposition/temps d'absorption
Nombre d'accélération	Ac	Mécanique des fluides	force d'accélération/force de gravité
Nombre d'Alfven	Al	Magnétohydrodynamique	vitesse du fluide/vitesse de l'onde d'Alfven
Nombre d'Archimède	Ar	Mécanique des fluides	force de gravité*force d'inertie/force visqueuse2
Nombre d'Arrhénius	γ	Cinétique chimique	énergie d'activation/énergie potentielle
Nombre d'Atwood	At	Mécanique des fluides	différence de densités/somme de densité
Nombre d'or	Phi, φ	Mathématiques	unique rapport entre deux longueurs telles que le rapport de leur somme à la plus grande soit égal à celui de la plus grande sur la plus petite
Nombre de Bagnold	Ba	Rhéologie	énergie dissipée par frottement visqueux/énergie dissipée par choc
Nombre de Bansen	Ba	Transfert thermique	énergie transférée par radiation/capacité thermique du fluide
Nombre de Bejan	Be	Mécanique des fluides, transfert thermique, thermodynamique	entropie générée par transfert thermique/entropie totale générée
Nombre de Best (ou de Davies)		Mécanique des fluides des bas nombres de Reynolds	Produit du Cx quadratique par le carré du Nombre de Reynolds, le Nombre de Best est indépendant de la vitesse des particules
Nombre de Bingham	Bm	Rhéologie	limite d'élasticité/force visqueuse
Nombre de Biot	Bi	Transfert thermique, de masse	transfert à la surface du corps/transfert dans un corps
Nombre de Blake	Bl	Mécanique des fluides	force d'inertie/force visqueuse (nombre de Reynolds pour lit de particule)
Nombre de Blondeau	${\displaystyle B_{\kappa }}$	Sciences du sport	Sports d'équipe: durée du match comparée au temps nécessaire pour traverser le milieu de terrain[6]
Nombre de Bodenstein	Bo	Transfert de masse, mécanique des fluides	transfert de masse convectif/transfert de masse par dispersion
Nombre de Boltzmann	Bo	Transfert thermique	équivalent au nombre de Thring
Nombre de Bond	Bo	Mécanique des fluides	équivalent au nombre d'Eötvös
Nombre de Bouguer	Bg	Transfert thermique	transfert thermique par radiation dans un gaz chargé de poussières
Nombre de Boussinesq	Bq	Mécanique des fluides	force d'inertie/force de gravité
Nombre de Brinkman	Br	Transfert thermique, rhéologie	chaleur produite par dissipation des forces visqueuses dissipée/chaleur transférée par conduction
Nombre de Bulygin	Bu	Transfert thermique	énergie utilisée pour évaporer le liquide/énergie utilisée amener le liquide à ébullition
Nombre capillaire	Ca	Mécanique des fluides	force visqueuse/tension superficielle
Nombre de capillarité	Cap	Mécanique des fluides	force capillaire/force de filtration
Nombre de Carnot	Ca	Énergie	Efficacité du cycle de Carnot
Nombre de Cauchy	Ca	Rhéologie	force d'inertie/force élastique
Nombre de cavitation	σc	Mécanique des fluides	différence de pression/pression dynamique
Nombre de Clausius	Cl	Transfert thermique	énergie cinétique/transfert thermique par conduction
Facteur J de Chilton et Colburn (en)	jH, jM	Transfert thermique, de masse, de moment
Nombre de condensation	Co	Transfert thermique	force visqueuse/force de gravité
Facteur de contraction	α	Relativité	${\displaystyle \alpha \equiv {\frac {\sqrt {c^{2}-v^{2}}}{c}}={\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}={\sqrt {1-\beta ^{2}}}={\frac {\mathrm {d} \tau }{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{\gamma }}}$ (où γ est le facteur de Lorentz)
Nombre de Courant	Co	Mathématiques, informatique	Rapport du pas de temps au temps convectif à l'échelle du pas du maillage
Nombre de Cowling	Co	Magnétohydrodynamique	vitesse de l'onde d'Alfven/vitesse du fluide
Nombre de Crocco	Cr	Mécanique des fluides	vitesse d'un gaz/vitesse maximale d'un gaz détendu à 0 K isentropiquement
Nombre de Damköhler	Da	Cinétique chimique	vitesse de réaction chimique/vitesse de transfert des réactifs
Nombre de Dean	D	Mécanique des fluides	force d'inertie/force visqueuse (nombre de Reynolds pour tube courbe)
Densité	d	Physique, chimie, biologie	masse volumique du corps/masse volumique du corps de référence (Pression et Température identiques pour des corps gazeux)
Nombre de Deborah	De	Rhéologie	temps de relaxation d'un corps/temps de l'expérience (équivalent au nombre de Weissenberg dans certains cas)
Nombre de Debye	Dy	Mesure	longueur de Debye/diamètre de la sonde de mesure
Nombre de Deryagin	De	Mécanique de fluides	épaisseur du film/longueur capillaire
Nombre de Dufour	Du2	Transfert thermique	chaleur transférée par conduction/chaleur transférée par convection
Nombre de Dulong	Du	Mécanique des fluides	équivalent au nombre d'Eckert
Constante de Neper	e	Mathématiques	base du logarithme naturel
Nombre d'Eckert	Ec	Mécanique des fluides	énergie cinétique/enthalpie du fluide
Nombre d'Einstein	Ei	Magnétohydrodynamique	équivalent au nombre de Lorentz
Nombre d'Ekman	Ek	Mécanique des fluides	force visqueuse/force de Coriolis
Nombre d'Ellis	El	Mécanique des fluides
Nombre d'Elsasser	El, Λ	Magnétohydrodynamique	force de Lorentz/force de Coriolis
Nombre d'Eötvös	Eo	Mécanique des fluides	force de gravité/tension superficielle
Nombre d'Ericksen (en)	Er	Rhéologie
Nombre d'Euler (physique)	Eu	Mécanique des fluides	force de pression/force d'inertie
Nombre d'évaporation	E	Transfert thermique
Nombre d'explosion	E	Explosion
Nombre de Fedorov	Fe	Mécanique des fluides	flux de particules/flux gaz porteur (lit fluidisé)
Nombre de Fliegner	Fn	Mécanique des fluides
Nombre de Fourier	Fo	Transfert thermique, de masse	transfert thermique par conduction/accumulation d'énergie
Nombre de Fresnel	F	Optique
Nombre de Froude	Fr	Mécanique des fluides	force d'inertie/force de gravité
Nombre de Früh		Mécanique des fluides
Nombre de Galilée	Ga	Mécanique des fluides	force de gravité/force visqueuse
Nombre de Gay-Lussac	Gc	Transfert thermique	différence de température/coefficient d'augmentation de pression isochore
Nombre de Goldberg	Γ	Acoustique	Absorption/effets non-linéaires
Nombre de Görtler	G	Mécanique des fluides
Nombre de Goucher	Go	Mécanique des fluides	(force de gravité/tension superficielle)0.5
Nombre de Graetz	Gz	Transfert thermique	capacité thermique du fluide/chaleur transférée par conduction
Nombre de Grashof	Gr	Mécanique des fluides	force d'inertie*poussée d'Archimède/force visqueuse2
Nombre de Gukhman	Gu	Transfert thermique	critère pour transfert thermique convectif par évaporation
Nombre de Hagen	Ha	Mécanique des fluides
Nombre de Hartmann	Ha	Magnétohydrodynamique	force de Laplace/force visqueuse
Nombre de Hatta	Ha	Cinétique chimique	vitesse de réaction chimique sans transfert de masse/transfert de masse
Nombre de Hedström	He	Rhéologie	limite de plasticité*force d'inertie/force visqueuse2
Nombre de Helmholtz	He	Acoustique	longueur caractéristique/longueur d'onde
Nombre de Hersey	Hs	Tribologie	force de charge/force visqueuse
Nombre de Hodgson	Ho	Mesure	constante de temps du système/période de pulsation
Nombre de Hooke	Ho	Rhéologie	équivalent au nombre de Cauchy
Nombre de Jakob	Ja	Transfert thermique	chaleur latente/chaleur sensible (vaporisation)
Nombre de Jakob	Ja	Transfert thermique	chaleur sensible/chaleur latente (vaporisation)
Nombre de Jeffreys	Je	Mécanique des fluides, géophysique	force de gravité/force visqueuse
Nombre de Joule	Jo	Magnétisme	énergie thermique par effet Joule/énergie du champ magnétique
Nombre de Karlovitz	Ka	Mécanique des fluides	temps chimique/temps de Kolmogorov
Nombre de Karman	Ka	Mécanique des fluides, magnétohydrodynamique	mesure de la turbulence dans un flux
Nombre de Keulegan-Carpenter (en)	KC	Mécanique des fluides
Nombre de Kirpichev	Ki	Transfert thermique, de masse	transfert en surface/ transfert dans le solide
Nombre de Kirpitcheff	Kir	Mécanique des fluides	flux en présence de corps immergés
Nombre de Knudsen	Kn	Mécanique des fluides	distance libre/longueur caractéristique
Nombre de Kossovitch	Ko	Transfert thermique	énergie d'évaporation/énergie de chauffer le solide mouillé
Nombre de Kronig	Kr	Transfert thermique	force électrostatique/force visqueuse
Nombre de Kutateladze	Ku	Transfert thermique, arc électrique
Nombre de Lagrange	La	Mécanique des fluides	force de pression/force visqueuse
Nombre de Laplace	La	Mécanique des fluides	tension superficielle et forces d'inertie/forces visqueuse (cf. nombre d'Ohnesorge)
Nombre de Laval	La	Mécanique des fluides	vitesse linéaire/vitesse du son critique
Nombre de Leroux	Ler	Mécanique des fluides	équivalent au nombre de cavitation
Nombre de Leverett	J	Mécanique des fluides	longueur caractéristique d'une courbe/dimension caractéristique d'un pore
Nombre de Lewis	Le	Transfert de masse et thermique	diffusivité thermique/diffusivité massique
Nombre de Lorentz[réf. nécessaire]	Lo	Magnétohydrodynamique	vitesse/vitesse de la lumière, = vitesse réduite
Facteur de Lorentz	γ	Relativité	${\displaystyle \gamma \equiv {\frac {c}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {1}{\alpha }}={\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \tau }}}$
Nombre de Luikov	Lu	Transfert thermique et de masse	diffusivité massique/diffusivité thermique (dans solide poreux)
Nombre de Lukomskii	Lu	Transfert thermique et de masse
Nombre de Lundquist	Lu	Magnétohydrodynamique	vitesse d'Alfvén/vitesse de diffusion résistive
Nombre de Lyashchenko	Ly	Mécanique des fluides	(force d'inertie)/(force visqueuse*force de gravité)
Nombre de Lykoudis	Ly	Magnétohydrodynamique
Nombre de Mach	Ma	Mécanique des fluides	vitesse du fluide/vitesse du son
Nombre de Marangoni	Mg	Transfert thermique, mécanique des fluides
Nombre de Margoulis	Ms	Transfert thermique, transfert de masse	équivalent au nombre de Stanton
Nombre de Margulis	Mr	Transfert thermique, transfert de masse	équivalent au nombre de Stanton
Nombre de Markstein	M	Combustion	rapport de deux longueurs caractéristiques de la flamme
Nombre de Merkel	Me	Transfert de masse	masse d'eau transférée par unité de différence d'humidité/masse de gaz sec
Nombre de Miniovich	Mn	Porosité	taille des pores/porosité
Nombre de Mondt	Mo	Transfert thermique	chaleur transférée par convection/chaleur transférée par conduction longitudinale dans surface d'échange
Nombre de Morton	Mo	Mécanique des fluides
Nombre de Nahme (de)	Na	Rhéologie
Nombre de Naze	Na	Magnétohydrodynamique	vitesse d'Alfven/vitesse du son
Nombre de Newton	Ne	Mécanique des fluides	force de résistance/force d'inertie
Nombre de Nusselt	Nu	Transfert thermique	transfert thermique total/transfert thermique par conduction
Nombre d'Ocvirk	Oc		force de charge sur roulement à billes/force visqueuse
Nombre d'Ohnesorge	Oh	Mécanique des fluides	force visqueuses/tension superficielle
Nombre de Péclet	Pe	Transfert thermique et de masse	transfert par convection/transfert par diffusion ou conduction
Nombre de Peel
Nombre de pipeline	pn	Mécanique des fluides	pression due au coup de bélier/pression statique
Nombre de plasticité	Np	Rhéologie	équivalent au nombre de Bingham
Constante d'Archimède	Pi, π	Mathématiques	Rapport constant de la circonférence d’un cercle à son diamètre dans un plan euclidien.
Nombre de Poiseuille	Ps	Mécanique des fluides	force de pression/force visqueuse
Nombre de Pomerantsev	Pm	Transfert thermique	équivalent au nombre de Damköhler
Nombre de Posnov	Pn	Transfert thermique et de masse
Nombre de Prater
Nombre de Prandtl	Pr	Mécanique des fluides, transfert thermique	diffusivité de moment/diffusivité thermique
Nombre de Predvoditelev	Pd	Transfert thermique	changement de température d'un fluide/changement de température d'un corps immergé dans le fluide
Nombre de pression	Kp	Mécanique des fluides	pression absolu/différence de pression à travers une surface
Nombre de puissance	Np	Mécanique des fluides	force d'entraînement(agitateur)/force d'inertie
Nombre de radiation	Nr	Transfert thermique
Nombre de Ramzin	Ks	Transfert thermique
Nombre de Rayleigh	Ra	Mécanique des fluides	convection naturelle/diffusion
Nombre de Reech	Re	Mécanique des fluides	inverse du nombre de Froude
Nombre de Reynolds	Re	Mécanique des fluides	force d'inertie/force visqueuse
Nombre de Richardson	Ri	Mécanique des fluides	poussée d'Archimède/force turbulente
Nombre global de Richardson	BRN	Météorologie	énergie potentielle de convection disponible/cisaillement vertical des vents dans un orage
Nombre de Romankov	Ro	Transfert thermique
Nombre de Roshko (en)	Ro	Mécanique des fluides	équivalent au nombre de Stokes
Nombre de Rossby	Ro	Mécanique des fluides	force d'inertie/force de Coriolis
Nombre de Rouse	R	Mécanique des fluides, transport sédimentaire	vitesse de chute/vitesse de frottement
Nombre de Russell	Ru	Mécanique des fluides	force d'inertie/poussée d'Archimède
Nombre de Sachs	Sa	Explosion
Nombre de Sarrau	Sa	Mécanique des fluides	équivalent au nombre de Mach
Nombre de Schiller	Sch	Mécanique des fluides	force d'inertie/(force visqueuse*coefficient de traînée)
Nombre de Schmidt	Sc	Mécanique des fluides, transfert de masse	diffusivité de moment/diffusivité massique
Nombre de Semenov	Sm	Transfert de masse et thermique	équivalent au nombre de Lewis
Nombre de Sherwood	Sh	Transfert de masse	transfert massique total/transfert massique par diffusion
Nombre de Smoluchowski		Mécanique des fluides	inverse du nombre de Knudsen
Nombre de Sommerfeld (en)	S	Mécanique des fluides	force visqueuse/force de charge
Nombre de Spalding	B	Transfert de masse	évaporation (loi du d2)
Nombre de Stanton	St	Transfert thermique et de masse	transfert total/transfert par convection
Nombre de Stefan	Se	Transfert thermique	chaleur sensible/chaleur latente (fusion)
Nombre de Stewart	St, N	Magnétohydrodynamique	force magnétique/force d'inertie
Nombre de Stokes	S	Mécanique des fluides	force d'inertie particule/force d'entraînement(fluide)
Nombre de Strouhal	Sr	Mécanique des fluides	vitesse de vibration/vitesse de translation
Nombre de Stuart	St, N	Magnétohydrodynamique	équivalent au nombre de Stewart
Nombre de Suratman	Su	Mécanique des fluides	équivalent au nombre de Laplace
Nombre de Taylor	Ta	Mécanique des fluides	force centrifuge/force visqueuse
Nombre de Thiele	mT, ϕ	Cinétique chimique, transfert de masse	vitesse de réaction chimique/flux diffusif des réactifs
Nombre de Thoma	σT	Mécanique des fluides	différence de pression due à la cavitation/différence de pression due à la pompe
Nombre de Thomson	Th	Mécanique des fluides	équivalent au nombre de Strouhal
Nombre de Thring	Th	Transfert thermique	capacité thermique du fluide/chaleur transférée par radiation
Nombre de Toms	To	Aéronautique	débit de carburant/force de frottement
Vitesse réduite	β	Relativité	vitesse/(vitesse de la lumière dans le vide)
Nombre de Weber	We	Mécanique des fluides	forces d'inertie/tension superficielle
Nombre de Weissenberg (en)	Wi	Rhéologie	produit du temps de relaxation d'un corps et de la vitesse de déformation/une distance (sous certaines conditions)
Nombre de Womersley	Wo	Mécanique des fluides	force d'inertie stationnaire/force visqueuse
Nombre de Zeldovitch	β	Combustion	défini à partir des températures du milieu et de l'énergie d'activation
Nombre de Zukoski[7]	Q*	Incendie	puissance du feu / flux enthalpique du débit passant par le foyer

• Nombre d’e-fold
• Paramètre de densité
• Redshift

Divers domaines d'études conduisent à des expériences sur des modèles réduits, ce qui pose le problème de leur réalisme : les phénomènes aux deux échelles doivent être semblables. Par exemple, dans l'étude d'un écoulement autour d'un obstacle le sillage doit comporter, à l'échelle près, le même système de tourbillons ou de turbulence sur le modèle et sur le prototype.

Dire que les phénomènes sont semblables revient à dire que certains invariants doivent être conservés lorsqu'on change d'échelle. Ces invariants sont donc des nombres sans dimension qui doivent être construits à partir des grandeurs dimensionnelles qui caractérisent le phénomène. Dans ce qui suit, le cas des problèmes mécaniques, dans lesquels les trois grandeurs fondamentales sont la masse M, la longueur L et le temps T, sera seul considéré.

Dans ces conditions, toute grandeur physique est homogène à une expression de la forme M^α L^β T^γ. Pour un nombre sans dimension, les exposants de chaque grandeur doivent être nuls.

Le premier problème consiste à déterminer quelles sont les grandeurs qui régissent le phénomène et celles qui sont négligeables (l'oubli d'une grandeur essentielle peut conduire à des résultats totalement erronés). Une fois que cette liste est établie, il faut en déduire les nombres sans dimension dont la conservation assurera la similitude.

Parmi ces nombres sans dimension, certains sont des rapports de longueurs : leur conservation caractérise la similitude géométrique qui n'appelle pas de commentaires particuliers. Seuls ceux qui font intervenir des grandeurs physiques présentent ici un intérêt.

Si on considère l’écoulement d’un fluide non visqueux dont la caractéristique essentielle est la compressibilité, l'analyse des équations d'Euler tout comme l'expérience montrent que les deux seuls paramètres significatifs, en plus de la géométrie, sont la vitesse V de l’écoulement non perturbé et un paramètre lié à la compressibilité, le plus simple étant la célérité du son dans le fluide notée a. Ces deux grandeurs ayant la même dimension, le nombre sans dimension à conserver s’en déduit immédiatement, c’est le nombre de Mach :

${\displaystyle Ma={V \over a}\,}$.

Si le fluide possède une surface libre, la compressibilité étant maintenant supposée négligeable, le problème se complique légèrement. Les paramètres en cause sont la vitesse V de dimension LT^-1, une caractéristique linéaire D de dimension L et la pesanteur, qui maintient la surface libre, caractérisée par la grandeur g de dimension LT^-2. Il faut alors chercher un nombre sans dimension de la forme

${\displaystyle V^{\alpha }D^{\beta }g^{\gamma }=(LT^{-1})^{\alpha }L^{\beta }(LT^{-2})^{\gamma }}$.

Pour que ce produit soit sans dimension, il faut que les exposants des deux grandeurs fondamentales L et T soient nulles (la masse M n’intervient pas) :

${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =0\qquad -\alpha -2\gamma =0}$.

Dans ces deux équations à trois inconnues, l’exposant 1 est choisi arbitrairement pour la vitesse, ce qui conduit au nombre de Froude :

${\displaystyle Fr={V \over {\sqrt {gD}}}}$.

Si, alors qu’il n’y a plus de surface libre, la viscosité ne peut plus être négligée, outre V et D, il faut introduire la masse spécifique ρ du fluide et sa viscosité μ. Un calcul analogue au précédent conduit au nombre de Reynolds :

${\displaystyle Re={{\rho VD} \over \mu }}$.

.

Dans une expérience pratique, il est souvent impossible de satisfaire simultanément plusieurs conditions de similitude. Ainsi, lors du déplacement d'une maquette de navire, il faudrait en principe respecter la similitude de Reynolds pour décrire les frottements sur la coque et la similitude de Froude pour décrire le sillage sur la surface libre. Une inspection rapide des formules montre qu'une réduction de l'échelle devrait entraîner à la fois une réduction et une augmentation de la vitesse – sauf à pouvoir jouer sur la masse spécifique du fluide, sa viscosité ou la gravité. Dans ce cas, il faut respecter la similitude la plus importante, généralement la similitude de Froude. Si les contraintes, essentiellement financières, permettent d'atteindre une échelle suffisamment grande pour que l'effet d'échelle lié au non-respect de la similitude de Reynolds soit faible, le problème est ignoré. Sinon, il faut appliquer aux résultats une correction numérique déduite d'autres expériences.

Dans ce qui précède, les nombres sans dimension sont considérés comme des marqueurs d'un phénomène bien déterminé : si l'un d'entre eux est modifié, les résultats doivent en principe changer. Quand des essais systématiques sont effectués pour obtenir des lois expérimentales, la présentation la plus efficace consiste à donner les résultats sous la forme d'une loi qui relie un nombre sans dimension à d'autres nombres sans dimension.

Une analyse plus approfondie peut même donner une idée sur la forme des lois à rechercher. Cette analyse peut s'appuyer sur le théorème de Buckingham mais une méthode plus élémentaire, due à lord Rayleigh, peut être utilisée dans les cas simples. On trouvera ci-dessous le canevas du calcul pour le problème classique de la force exercée sur un obstacle par l'écoulement d'un fluide que l'on supposera visqueux mais incompressible et sans surface libre. Les variables en cause, qui ne dépendent que de la masse M, de la longueur L et du temps T, sont

• la force F de dimension MLT^-2,
• une dimension D caractéristique de l'obstacle, de dimension L,
• l'incidence θ de l'écoulement par rapport à l'obstacle, qui ne dépend d'aucune des variables de base,
• la vitesse V de l'écoulement, de dimension LT^-1,
• la masse spécifique ρ du fluide, de dimension ML^-3,
• sa viscosité μ de dimension ML^-1T^-1.

Il faut exprimer la force comme une fonction inconnue des autres variables :

${\displaystyle F=f(D,\theta ,V,\rho ,\mu )}$

Si l'on considère cette fonction comme une sorte de série contenant des monômes dans lesquels les différentes grandeurs sont élevées à des puissances inconnues multipliés par un coefficient k sans dimension :

${\displaystyle F=\sum k{D^{\alpha }\theta ^{\beta }V^{\gamma }\rho ^{\delta }\mu ^{\varepsilon }}}$

Une identification analogue à celle qui a été évoquée pour le nombre de Froude élimine trois des exposants et conduit à écrire la formule sous la forme :

${\displaystyle F=\rho D^{2}V^{2}\sum k\left({\frac {\rho VD}{\mu }}\right)^{-\varepsilon }\theta ^{\beta }}$

qui contient deux paramètres indéterminés. La série se transforme en une fonction qui s'écrit sous la forme habituelle faisant intervenir une aire A caractéristique à la place du produit D² :

${\displaystyle F={\frac {1}{2}}C\left({\frac {\rho VD}{\mu }},\theta \right)\rho AV^{2}}$

Cette formule ne signifie pas que la force est proportionnelle au carré de la vitesse. En effet, celle-ci intervient à travers le nombre de Reynolds et, en d'autres circonstances, elle pourrait dépendre aussi du nombre de Mach et du nombre de Froude. Il existe des cas dans lesquels cette proportionnalité est bien vérifiée mais c'est une conséquence des expériences, pas de l'analyse dimensionnelle. Celle-ci ne peut qu'indiquer la forme la plus efficace pour décrire les lois physiques mais pas leur contenu.

Pour mettre en forme des résultats d'essais, cette formule s'écrit comme un nombre sans dimension fonction de deux autres nombres sans dimension :

${\displaystyle {\frac {F}{{\frac {1}{2}}\rho AV^{2}}}=C\left({\frac {\rho VD}{\mu }},\theta \right)}$

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