Nombres premiers sexy

En mathématiques, un couple de nombres premiers sexy (ou nombres premiers sexys^[1]) est un couple de nombres premiers dont la différence est 6 (autrement dit, un couple de la forme (p, p + 6) où p et p + 6 sont des nombres premiers). C'est le cas, par exemple, des nombres 5 et 11. Certains de ces nombres premiers sont consécutifs, par exemple 23 et 29 sont premiers et il n'y a pas de nombre premier entre eux deux.

Le terme « sexy » est un jeu de mots fondé sur le mot latin pour « six » : sex.

Les couples de nombres premiers sexy (suites  A023201 et  A046117 de l'OEIS, ou suite  A156274) inférieurs à 500 sont :

(5,11), (7,13), (11,17), (13,19), (17,23), (23,29), (31,37), (37,43), (41,47), (47,53), (53,59), (61,67), (67,73), (73,79), (83,89), (97,103), (101,107), (103,109), (107,113), (131,137), (151,157), (157,163), (167,173), (173,179), (191,197), (193,199), (223,229), (227,233), (233,239), (251,257), (257,263), (263,269), (271,277), (277,283), (307,313), (311,317), (331,337), (347,353), (353,359), (367,373), (373,379), (383,389), (433,439), (443,449), (457,463), (461,467)

En novembre 2005, le plus grand couple de nombres premiers sexy connu est (p, p + 6) pour

p = (48011837012 × ((53238 × 7879#)² - 1) + 2310) × 53238 × 7879# / 385 + 1, où 7879# est une primorielle.

Il est composé de 10 154 chiffres et a été découvert par Torbjörn Alm, Micha Fleuren et Jens Kruse Andersen^[2].

En octobre 2019, le plus grand couple de nombres premiers sexy connu a été découvert par P. Kaiser et est composé de 50 539 chiffres. Il se compose des deux premiers suivants :

p = (520461 × 2⁵⁵⁹³¹+1) × (98569639289 × (520461 × 2⁵⁵⁹³¹-1)²-3)-1

p+6 = (520461 × 2⁵⁵⁹³¹+1) × (98569639289 × (520461 × 2⁵⁵⁹³¹-1)²-3)+5^[3]

Comme les nombres premiers cousins, les nombres premiers sexy peuvent être étendus à des constellations plus grandes.

Les triplets de nombres premiers sexys sont les triplets de nombres premiers de la forme (p, p + 6, p + 12) tels que p + 18 est composé (non premier). Les triplets inférieurs à 1 000 (suites  A046118,  A046119 et  A046120 de l'OEIS) sont :

(7,13,19), (17,23,29), (31,37,43), (47,53,59), (67,73,79), (97,103,109), (101,107,113), (151,157,163), (167,173,179), (227,233,239), (257,263,269), (271,277,283), (347,353,359), (367,373,379), (557,563,569), (587,593,599), (607,613,619), (647,653,659), (727,733,739), (941,947,953), (971,977,983)

En décembre 2019, le plus grand triplet de nombres premiers sexy connu (qui s'écrit avec 10602 chiffres), découvert par Gerd Lamprecht et Norman Luhn, est (p, p+6, p+12) pour :

p = 2683143625525x2³⁵¹⁷⁶+1^[4].

De façon similaire, on peut définir des quadruplets de nombres premiers sexys (p, p+6, p+12, p+18). À l'exception du quadruplet (5, 11, 17, 23), la représentation décimale de p finit forcément par 1. Les quadruplets inférieurs à 1 000 (suites  A046121,  A046122,  A046123 et  A046124 de l'OEIS) sont :

(5,11,17,23), (11,17,23,29), (41,47,53,59), (61,67,73,79), (251,257,263,269), (601,607,613,619), (641,647,653,659).

En octobre 2019 Gerd Lamprecht et Norman Luhn ont découvert un quadruplet possédant 3025 chiffres avec :

p = 121152729080 × 7019#/1729 + 1^[5],[6] où 7019# est une primorielle.

Comme dans une progression arithmétique de raison 6, un terme sur 5 est divisible par 5, le seul quintuplet de nombres premiers sexy existant est (5, 11, 17, 23, 29), et il n'est pas possible de trouver une séquence plus longue (sextuplet, etc.)^[7].

• Conjecture de Polignac
• Nombres premiers jumeaux (deux nombres premiers qui différent de 2)
• Nombres premiers cousins (deux nombres premiers qui différent de 4)

(en) Eric W. Weisstein, « Sexy Primes », sur MathWorld

v · m Nombres premiers
Donnés par une formule	combinatoire factoriel (n!±1) primoriel (pn#±1) Euclide (pn#+1) polynomiale Pythagore (4n + 1) cubain (x3 − y3)/(x − y) quatrain (x4 + y4) exponentielle Fermat (22n + 1) Mersenne (2p – 1) Double de Mersenne (22p–1 –1) Pierpont (2u3v + 1) Carol ((2n – 1)2 – 2) Kynea ((2n + 1)2 – 2) Thebit (3·2n – 1) Wagstaff ((2p + 1)/3) Proth (k2n + 1) Cullen (n2n + 1) Woodall (n2n – 1) Mills (⌊A3n⌋)
Appartenant à une suite	Fibonacci Lucas Motzkin Bell Pell Perrin Newman-Shanks-Williams
Ayant une propriété remarquable	bon chanceux fortuné Higgs illégal Pillai Ramanujan régulier Stern super supersingulier Wall-Sun-Sun Wieferich Paire de Wieferich Wilson Wolstenholme
Ayant une propriété dépendant de la base	diédral palindrome Reimerp répunit (10n − 1)/9 permutable circulaire délicat tronquable minimal long unique Smarandache-Wellin partie entière de puissances de constante troncature de constante
Propriétés mettant en jeu plusieurs nombres	singleton Chen {p ; p+2 premier ou semi-premier} équilibré (faible, fort) {pn ; pn = (<, >) (pn–1 + pn+1)/2} Sophie Germain {p ; 2p + 1 premier} sûr {p ; (p – 1)/2 premier} n-uplet jumeaux (p, p + 2) cousins (p, p + 4) sexy (p, p + 6) triplet (p, p + 2 ou p + 4, p + 6) quadruplet (p, p + 2, p + 6, p + 8) quintuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8) ou (p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) sextuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) suite progression arithmétique (p + an) chaîne de Cunningham (p, 2p ± 1, etc.)
Classement par taille	titanesque (1 000+ chiffres) gigantesque (10 000+) méga (1 000 000+) record
Généralisations (entier quadratique)	Eisenstein Gauss
Nombre composé	pseudo-premier presque premier semi-premier interpremier
Nombre connexe	probable (NPP)
Test de primalité	Crible d'Ératosthène Test de Fermat Test de Lucas-Lehmer Test de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne Test de Pépin Test de Miller-Rabbin Test de Solovay-Strassen Test AKS
Conjectures et théorèmes de théorie des nombres	Conjecture d'Agoh-Giuga Conjecture d'Artin Conjecture de Bateman-Horn Conjecture de Bouniakovski Conjecture de Brocard Conjecture de Cramér Conjecture de Dickson Conjecture d'Elliott-Halberstam Conjecture de Firoozbakht Conjecture de Goldbach forte faible Conjecture de Grimm Conjecture de Hardy-Littlewood première seconde Conjecture de Legendre Conjecture de Lemoine Conjecture des nombres premiers de Waring Conjecture d'Oppermann Conjecture de Polignac Conjecture de Redmond-Sun Fonction de compte des nombres premiers Formules pour les nombres premiers Hypothèse H de Schinzel Nouvelle conjecture de Mersenne Théorème de Green-Tao Théorème des nombres premiers Théorème de la progression arithmétique Théorème de Rosser Théorème de Vinogradov
Constantes liées aux nombres premiers	Constante de Brun Constante de Legendre Constante de Mills Constante des nombres premiers Constante de Copeland-Erdős
Prime Pages Liste de nombres premiers Liste de suites de nombres premiers

• Arithmétique et théorie des nombres