Anticommutativité

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En mathématiques, l'anticommutativité est la propriété caractérisant les opérations pour lesquelles intervertir deux arguments transforme le résultat en son opposé. Par exemple, une opération binaire ✻ est anticommutative si

${\displaystyle \forall x,y\qquad x*y=-\;y*x}$.

Cette propriété intervient en algèbre, en géométrie, en analyse et, par conséquent, en physique.

Étant donné un entier naturel n, une opération n-aire est dite anticommutative si intervertir deux arguments transforme le résultat en son opposé.

Plus formellement, une application ${\displaystyle *:A^{n}\to G}$ de l'ensemble de tous les n-uplets d'éléments d'un ensemble A dans un groupe G est dite anticommutative si pour toute permutation σ de l'ensemble {1, 2, … ,n}, on a :

${\displaystyle \forall (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\in A^{n}\qquad x_{1}*x_{2}*\dots *x_{n}=\operatorname {sgn}(\sigma )\;x_{\sigma (1)}*x_{\sigma (2)}*\dots *x_{\sigma (n)}}$,

où sgn(σ) désigne la signature de σ.

Cette formule est à interpréter comme suit :

• si deux n-uplets se déduisent l'un de l'autre par une permutation impaire alors leurs images sont symétriques l'une de l'autre dans le groupe G ;
• si deux n-uplets se déduisent l'un de l'autre par une permutation paire alors ils ont même image.

La formule comporte donc un abus de notation puisqu'a priori, l'ensemble d'arrivée G est seulement un groupe, dans lequel « –1 » et la multiplication n'ont pas de sens précis. Dans le groupe G, noté ici additivement, (–1) g représente le symétrique (ou opposé) –g d'un élément g.

Le cas n = 2 est particulièrement important. Une opération binaire ${\displaystyle *:A\times A\to G}$ est anticommutative si

${\displaystyle \forall (x_{1},x_{2})\in A\times A\qquad x_{1}*x_{2}=-\;x_{2}*x_{1}}$,

ce qui signifie que x₁✻x₂ est l'élément symétrique de x₂✻x₁ dans le groupe G.

• Sont anticommutatifs :
  • la soustraction ;
  • le produit vectoriel ;
  • le crochet de Lie.
• Une application multilinéaire anticommutative est dite antisymétrique.

Si le groupe G est tel que

${\displaystyle \forall g\in G\quad (g=-g~\Rightarrow ~g=0)}$,

c'est-à-dire si l'élément neutre est le seul élément qui soit égal à son symétrique alors :

• pour toute opération binaire ✻ anticommutative et tout élément x₁ on a :

${\displaystyle x_{1}*x_{1}=0}$ ;

• plus généralement, pour toute opération n-aire ✻ anticommutative, l'image de tout n-uplet ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ comportant une répétition (c.-à-d. tel que ${\displaystyle x_{i}=x_{j}}$ pour au moins deux indices i et j distincts) est égale à l'élément neutre :

${\displaystyle [\exists i\neq j\quad x_{i}=x_{j}]\Rightarrow x_{1}*x_{2}*\dots *x_{n}=0}$.

Cette propriété est plus connue dans le cas particulier d'une application n-linéaire antisymétrique ${\displaystyle f:E^{n}\to F}$ (E et F étant des espaces vectoriels sur un même corps K) : si la caractéristique de K est différente de 2 alors le seul vecteur de F égal à son opposé est le vecteur nul, si bien que f est alternée.

• Loi commutative
• Commutateur (théorie des groupes)
• Algèbre extérieure
• Physique statistique
• Matrice antisymétrique

N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, chap. 1-3, Berlin, Springer Verlag, 2006, 2^e éd., 636 p. (ISBN 978-3-540-33849-9, BNF 40227395), voir chap. 3 : « Algèbres tensorielles, algèbres extérieures, algèbres symétriques ».

(en) A. T. Gainov, « Anti-commutative algebra », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)

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