« Théorème de Proth » : différence entre les versions

En théorie des nombres, le théorème de Proth est un test de primalité spécifique aux nombres de Proth, c'est-à-dire aux entiers de la forme p = k2ⁿ + 1 avec 0 < k < 2ⁿ.

Ce théorème énonce que pour qu'un tel p soit premier, il suffit qu'il existe un entier a tel que :

${\displaystyle a^{(p-1)/2}\equiv -1{\pmod {p}}.}$

Pour tout nombre premier p > 2, il existe des entiers a satisfaisant cette congruence (exactement la moitié des entiers non divisibles par p, d'après le critère d'Euler). Mais pour un entier impair quelconque, cette condition nécessaire de primalité n'est pas suffisante : modulo 15 (pseudo-premier), 14^(15–1)/2 est congru à (–1)⁷ = –1.

En 1878, le mathématicien François ProthFrançois Proth découvrit qu'elle est suffisante pour les nombres qui portent aujourd'hui son nom.

Ce test est utilisé par le projet Seventeen or Bust pour tenter de démontrer la conjecture sur les nombres de Sierpiński.

Les quatre plus petits nombres de Proth sont 3, 5, 9 et 13.

Pour ceux d'entre eux qui sont premiers, les « témoins » a sont :

• pour p = 3 : a = 2 ;
• pour p = 5 : a = 2 et 3 ;
• pour p = 13 : a = 2, 5, 6, 7, 8 et 11.

Modulo 9 (non premier), les puissances quatrièmes sont congrues à 0, 1, –2 ou 4, donc jamais à –1.

Les nombres de Proth premiers sont 3, 5, 13, 17, 41, 97, etc. (suite A080076 de l'OEIS).

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Proth's theorem » (voir la liste des auteurs) en 2006. Depuis, ces deux articles ont évolué indépendamment.
• (en) Eric W. Weisstein, « Proth's Theorem », sur MathWorld

v · m Nombres premiers
Donnés par une formule	combinatoire factoriel (n!±1) primoriel (pn#±1) Euclide (pn#+1) polynomiale Pythagore (4n + 1) cubain (x3 − y3)/(x − y) quatrain (x4 + y4) exponentielle Fermat (22n + 1) Mersenne (2p – 1) Double de Mersenne (22p–1 –1) Pierpont (2u3v + 1) Carol ((2n – 1)2 – 2) Kynea ((2n + 1)2 – 2) Thebit (3·2n – 1) Wagstaff ((2p + 1)/3) Proth (k2n + 1) Cullen (n2n + 1) Woodall (n2n – 1) Mills (⌊A3n⌋)
Appartenant à une suite	Fibonacci Lucas Motzkin Bell Pell Perrin Newman-Shanks-Williams
Ayant une propriété remarquable	bon chanceux fortuné Higgs illégal Pillai Ramanujan régulier Stern super supersingulier Wall-Sun-Sun Wieferich Paire de Wieferich Wilson Wolstenholme
Ayant une propriété dépendant de la base	diédral palindrome Reimerp répunit (10n − 1)/9 permutable circulaire délicat tronquable minimal long unique Smarandache-Wellin partie entière de puissances de constante troncature de constante
Propriétés mettant en jeu plusieurs nombres	singleton Chen {p ; p+2 premier ou semi-premier} équilibré (faible, fort) {pn ; pn = (<, >) (pn–1 + pn+1)/2} Sophie Germain {p ; 2p + 1 premier} sûr {p ; (p – 1)/2 premier} n-uplet jumeaux (p, p + 2) cousins (p, p + 4) sexy (p, p + 6) triplet (p, p + 2 ou p + 4, p + 6) quadruplet (p, p + 2, p + 6, p + 8) quintuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8) ou (p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) sextuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) suite progression arithmétique (p + an) chaîne de Cunningham (p, 2p ± 1, etc.)
Classement par taille	titanesque (1 000+ chiffres) gigantesque (10 000+) méga (1 000 000+) record
Généralisations (entier quadratique)	Eisenstein Gauss
Nombre composé	pseudo-premier presque premier semi-premier interpremier
Nombre connexe	probable (NPP)
Test de primalité	Crible d'Ératosthène Test de Fermat Test de Lucas-Lehmer Test de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne Test de Pépin Test de Miller-Rabbin Test de Solovay-Strassen Test AKS
Conjectures et théorèmes de théorie des nombres	Conjecture d'Agoh-Giuga Conjecture d'Artin Conjecture de Bateman-Horn Conjecture de Bouniakovski Conjecture de Brocard Conjecture de Cramér Conjecture de Dickson Conjecture d'Elliott-Halberstam Conjecture de Firoozbakht Conjecture de Goldbach forte faible Conjecture de Grimm Conjecture de Hardy-Littlewood première seconde Conjecture de Legendre Conjecture de Lemoine Conjecture des nombres premiers de Waring Conjecture d'Oppermann Conjecture de Polignac Conjecture de Redmond-Sun Fonction de compte des nombres premiers Formules pour les nombres premiers Hypothèse H de Schinzel Nouvelle conjecture de Mersenne Théorème de Green-Tao Théorème des nombres premiers Théorème de la progression arithmétique Théorème de Rosser Théorème de Vinogradov
Constantes liées aux nombres premiers	Constante de Brun Constante de Legendre Constante de Mills Constante des nombres premiers Constante de Copeland-Erdős
Prime Pages Liste de nombres premiers Liste de suites de nombres premiers

• Arithmétique et théorie des nombres