« Conjecture d'Elliott-Halberstam » : différence entre les versions

Navigation interactive dans l’historique

← Modification précédente Modification suivante →

Contenu supprimé Contenu ajouté

Intégrés

Version du 24 mai 2013 à 15:01

En théorie des nombres, la conjecture d'Elliott-Halberstam concerne la distribution des nombres premiers dans les progressions arithmétiques. Elle a beaucoup d'applications en théorie des cribles. Elle fut nommée ainsi en l'honneur de Peter D. T. A. ElliottPeter D. T. A. Elliott et Heini HalberstamHeini Halberstam.

Notations

Énoncer la conjecture nécessite quelques notations. On désigne usuellement par $π(x)$ le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à $x$ . Si $q$ est un entier positif et $a$ est premier avec $q$ , notons $π(x; q, a)$ le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à $x$ qui sont congrus à $a$ modulo $q$ . D'après le théorème de la progression arithmétique, lorsque $a$ est premier avec $q$ , on a :

\pi (x;q,a)\approx {\frac {\pi (x)}{\varphi (q)}}.

On définit alors la fonction d'erreur

E(x;q)=\max _{(a,q)=1}\left|\pi (x;q,a)-{\frac {\pi (x)}{\varphi (q)}}\right|

où le max est pris sur tous les $a$ premiers avec $q$ .

Énoncé

La conjecture d'Elliott-Halberstam est l'assertion que pour tout θ < 1 et tout A > 0, il existe une constante C telle que pour tout $x$ ≥ 2,

\sum _{1\leq q\leq x^{\theta }}E(x;q)\leq C{\frac {x}{(\ln x)^{A}}}.

Avancées

Pour le cas limite θ = 1, on sait que cette assertion est fausse.

Pour les θ < ¹⁄₂, la conjecture a été démontrée par Enrico Bombieri et Askold Ivanovich VinogradovAskold Ivanovich Vinogradov : c'est le théorème de Bombieri-Vinogradov ; ce résultat est déjà tout à fait utile, étant une forme moyennée de l'hypothèse de Riemann généralisée.

La conjecture d'Elliott-Halberstam aurait, si elle était démontrée, plusieurs conséquences frappantes. L'une d'elles est le résultat récent de Dan Goldston (en), János PintzJános Pintz et Cem Yıldırım^[1]^,^[2]^,^[3], qui montre qu'il existerait alors une infinité de paires de nombres premiers qui diffèrent d'au plus 16.

Notes et références

Notes

↑ (en) D. A. Goldston, J. Pintz et C. Y. Yıldırım, Primes in Tuples I, août 2005. « math.NT/0508185 », texte en accès libre, sur arXiv.
↑ (en) D. A. Goldston, Y. Motohashi, J. Pintz et C. Y. Yıldırım, Small gaps between primes exist, Proceedings of the Japan Academy Series A 82 (2006), 61-65. Version de mai 2005 disponible sur arXiv:math.NT/0505300 (en)
↑ (en) D. A. Goldston, S. W. Graham, J. Pintz et C. Y. Yıldırım, Small gaps between primes or almost primes, juin 2005. « math.NT/0506067 », texte en accès libre, sur arXiv.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Elliott–Halberstam conjecture » (voir la liste des auteurs).
(en) E. Bombieri, « On the large sieve », Mathematika, vol. 12,‎ 1965, p. 201-225
(en) P. D. T. A. Elliot et H. Halberstam, « A conjecture in prime number theory », Symp. Math., vol. 4,‎ 1968-1969, p. 59-72
(en)/(ru) A. I. Vinogradov, « The density hypothesis for Dirichlet L-series », Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., vol. 29, 1965, p. 903-934

Voir aussi

Arithmétique et théorie des nombres

[1] (en) D. A. Goldston, J. Pintz et C. Y. Yıldırım, Primes in Tuples I, août 2005. « math.NT/0508185 », texte en accès libre, sur arXiv.

[2] (en) D. A. Goldston, Y. Motohashi, J. Pintz et C. Y. Yıldırım, Small gaps between primes exist, Proceedings of the Japan Academy Series A 82 (2006), 61-65. Version de mai 2005 disponible sur arXiv:math.NT/0505300 (en)

[3] (en) D. A. Goldston, S. W. Graham, J. Pintz et C. Y. Yıldırım, Small gaps between primes or almost primes, juin 2005. « math.NT/0506067 », texte en accès libre, sur arXiv.

[1]

[2]

[3]

@@ Ligne 1 : / Ligne 1 : @@
-En [[théorie des nombres]], la '''[[conjecture]] d'Elliott-Halberstam''' concerne la distribution des [[nombre premier|nombres premiers]] dans les [[suite arithmétique|progressions arithmétiques]]. Elle a beaucoup d'applications en [[théorie des cribles]]. Elle fut nommée ainsi en l'honneur de [[Peter D. T. A. Elliott]] et {{Lien|Heini Halberstam}}.
+En [[théorie des nombres]], la '''[[conjecture]] d'Elliott-Halberstam''' concerne la distribution des [[nombre premier|nombres premiers]] dans les [[suite arithmétique|progressions arithmétiques]]. Elle a beaucoup d'applications en [[théorie des cribles]]. Elle fut nommée ainsi en l'honneur de {{Lien|Peter D. T. A. Elliott}} et {{Lien|Heini Halberstam}}.
 ==Notations==
-Énoncer la conjecture nécessite quelques notations. On désigne usuellement par <math>\pi(x)</math> le [[Fonction de compte des nombres premiers|nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à <math>x</math>]]. Si <math>q</math> est un [[nombre entier|entier]] [[nombre positif|positif]] et ''a'' est [[nombres premiers entre eux|premier avec]] <math>q</math>, notons <math>\pi(x;q,a)</math> le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à <math>x</math> qui sont [[Congruence sur les entiers|congrus à <math>a</math> modulo <math>q</math>]]. D'après le [[théorème de la progression arithmétique]], lorsque <math>a</math> est premier avec <math>q</math>, on a :
+Énoncer la conjecture nécessite quelques notations. On désigne usuellement par {{math|π(''x'')}} le [[Fonction de compte des nombres premiers|nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à ''{{math|x}}'']]. Si ''{{math|q}} ''est un [[nombre entier|entier]] [[nombre positif|positif]] et ''{{math|a}} ''est [[nombres premiers entre eux|premier avec]] ''{{math|q}}'', notons {{math|π(''x''; ''q'', ''a'')}} le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à ''{{math|x}} ''qui sont [[Congruence sur les entiers|congrus à ''{{math|a}} ''modulo ''{{math|q}}'']]. D'après le [[théorème de la progression arithmétique]], lorsque ''{{math|a}} ''est premier avec ''{{math|q}}'', on a :
 :<math> \pi(x;q,a) \approx  \frac{\pi(x)}{\varphi(q)}.</math>
@@ Ligne 9 : / Ligne 9 : @@
 :<math> E(x;q) = \max_{(a,q) = 1} \left|\pi(x;q,a) - \frac{\pi(x)}{\varphi(q)}\right|</math>
-où le max est pris sur tous les <math>a</math> premiers avec <math>q</math>.
+où le max est pris sur tous les ''{{math|a}} ''premiers avec ''{{math|q}}''.
 ==Énoncé==
-La conjecture d'Elliott-Halberstam est l'assertion que pour tout <math>\theta < 1</math> et tout <math>A > 0</math>, il existe une constante <math>C</math> telle que pour tout {{math|''x''}}&nbsp;≥&nbsp;2,
+La conjecture d'Elliott-Halberstam est l'assertion que pour tout θ < 1 et tout ''A ''> 0, il existe une constante ''C ''telle que pour tout {{math|''x''}}&nbsp;≥&nbsp;2,
 :<math> \sum_{1 \leq q \leq x^\theta} E(x;q) \le C\frac x {(\ln x)^A}.</math>
 ==Avancées==
-Pour le cas limite <math>\theta=1</math>, on sait que cette assertion est fausse.
+Pour le cas limite θ = 1, on sait que cette assertion est fausse.
 Pour les θ < {{frac|1|2}}, la conjecture a été démontrée par [[Enrico Bombieri]] et {{Lien|Askold Ivanovich Vinogradov}} : c'est le [[théorème de Bombieri-Vinogradov]] ; ce résultat est déjà tout à fait utile, étant une forme moyennée de l'[[hypothèse de Riemann généralisée]].
-La conjecture d'Elliott-Halberstam aurait, si elle était démontrée, plusieurs conséquences frappantes. L'une d'elles est le résultat récent de {{Lien|Dan Goldston}}, {{Lien|János Pintz}} et {{Lien|Cem Yıldırım}}<ref>D. A. Goldston, J. Pintz et C. Y. Yıldırım, ''Primes in Tuples I'', août 2005. {{arxiv|math.NT/0508185}}</ref>{{,}}<ref>D. A. Goldston, Y. Motohashi, J. Pintz et C. Y. Yıldırım, ''[http://projecteuclid.org/DPubS?verb=Display&version=1.0&service=UI&handle=euclid.pja/1146576181 Small gaps between primes exist]'', Proceedings of the Japan Academy Series A '''82''' (2006), 61–65. Version de mai 2005 disponible sur {{arxiv2|math.NT/0505300}} {{en}}</ref>{{,}}<ref>D. A. Goldston, S. W. Graham, J. Pintz et C. Y. Yıldırım, ''Small gaps between primes or almost primes'', juin 2005. {{arxiv|math.NT/0506067}}</ref>, qui montre qu'il existerait alors une infinité de paires de nombres premiers qui diffèrent d'au plus 16.
+La conjecture d'Elliott-Halberstam aurait, si elle était démontrée, plusieurs conséquences frappantes. L'une d'elles est le résultat récent de {{Lien|Dan Goldston}}, {{Lien|János Pintz}} et [[Cem Yıldırım]]<ref>{{en}} D. A. Goldston, J. Pintz et C. Y. Yıldırım, ''Primes in Tuples I'', août 2005. {{arxiv|math.NT/0508185}}</ref>{{,}}<ref>{{en}} D. A. Goldston, Y. Motohashi, J. Pintz et C. Y. Yıldırım, ''[http://projecteuclid.org/DPubS?verb=Display&version=1.0&service=UI&handle=euclid.pja/1146576181 Small gaps between primes exist]'', Proceedings of the Japan Academy Series A '''82''' (2006), 61-65. Version de mai 2005 disponible sur {{arxiv2|math.NT/0505300}} {{en}}</ref>{{,}}<ref>{{en}} D. A. Goldston, S. W. Graham, J. Pintz et C. Y. Yıldırım, ''Small gaps between primes or almost primes'', juin 2005. {{arxiv|math.NT/0506067}}</ref>, qui montre qu'il existerait alors une infinité de paires de nombres premiers qui diffèrent d'au plus 16.
 ==Notes et références==
@@ Ligne 28 : / Ligne 28 : @@
 ===Références===
 {{Traduction/Référence|en|Elliott–Halberstam conjecture|24293033}}
-*{{en}} E. Bombieri, ''On the large sieve'', Mathematika '''12''' (1965), 201-225.
+*{{Article|lang=en|first=E.|nom=Bombieri|titre=On the large sieve|revue=Mathematika|vol=12|year=1965|p.=201-225}}
-*{{en}} P. D. T. A. Elliot et H. Halberstam, ''A conjecture in prime number theory'', Symp. Math. '''4''' (1968-1969), 59-72.
+*{{Article|lang=en|first=P. D. T. A.|nom=Elliot|prénom2=H.|nom2=Halberstam|titre=A conjecture in prime number theory|revue=Symp. Math.|vol=4|year=1968-1969|p.=59-72}}
-*{{en}}/{{ru}} A. I. Vinogradov, ''The density hypothesis for Dirichlet L-series'', Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. '''29''' (1965), 903-934.
+*{{en}}/{{ru}} A. I. Vinogradov, « The density hypothesis for Dirichlet L-series », ''Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat.'', vol. 29, 1965, p. 903-934
 ==Voir aussi==