« Conjecture d'Elliott-Halberstam » : différence entre les versions

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En théorie des nombres, la conjecture d'Elliott-Halberstam concerne la distribution des nombres premiers dans les progressions arithmétiques. Elle a beaucoup d'applications en théorie des cribles. Elle a été énoncée par Peter D. T. A. Elliott et Heini Halberstam en 1968.

Notations

Énoncer la conjecture nécessite quelques notations. On désigne usuellement par $π(x)$ le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à $x$ . Si $q$ est un entier strictement positif et $a$ est premier avec $q$ , notons $π(x; q, a)$ le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à $x$ qui sont congrus à $a$ modulo $q$ . D'après le théorème de la progression arithmétique, lorsque $a$ est premier avec $q$ , on a :

\pi (x;q,a)\sim {\frac {\pi (x)}{\varphi (q)}}\ \ (x\rightarrow \infty ).

On définit alors la fonction d'erreur

E(x;q)=\max _{(a,q)=1}\left|\pi (x;q,a)-{\frac {\pi (x)}{\varphi (q)}}\right|

où le max est pris sur tous les $a$ premiers avec $q$ .

Énoncé

La conjecture d'Elliott-Halberstam est l'assertion que pour tout 0 < θ < 1 et tout A > 0, il existe une constante C , telle que pour tout $x$ ≥ 2 :

\sum _{1\leq q\leq x^{\theta }}E(x;q)\leq {\frac {Cx}{(\ln x)^{A}}}.

La conjecture d'Elliott Haltberstam pour une valeur de θ est notée EH [ θ ]^[1].

Avancées

Pour le cas limite θ = 1, on sait que cette assertion EH [ 1 ] est fausse.

Pour les θ < ¹⁄₂, la conjecture EH [ θ ] a été démontrée dans les années 1960 par Enrico Bombieri^[2] et Askold Ivanovitch Vinogradov : c'est le théorème de Bombieri-Vinogradov ; ce résultat est déjà tout à fait utile, étant une forme moyennée de l'hypothèse de Riemann généralisée.

Conséquences de la conjecture

La conjecture d'Elliott-Halberstam aurait, si elle était démontrée pour θ < 1, plusieurs conséquences frappantes. L'une d'elles est le résultat de Daniel Goldston, János Pintz et Cem Yıldırım^[3]^,^[4]^,^[5], qui montre qu'il existerait alors une infinité de paires de nombres premiers qui diffèrent d'au plus 16. Maynard a montré en décembre 2013 que sous la même hypothèse, il existerait alors une infinité de paires de nombres premiers qui diffèrent d'au plus 12. En 2014, le projet Polymath a montré qu'en supposant une version généralisée de EH [ θ ], pour 0 < θ < 1, l'écart pourrait être ramené à 6.

Notes et références

Notes

↑ Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes, Abstract.
↑ (en) Enrico Bombieri, « On the large sieve », Mathematika, vol. 12,‎ 1965, p. 201–225 (DOI 10.1112/s0025579300005313, MR 0197425)
↑ (en) D. A. Goldston, J. Pintz et C. Y. Yıldırım, Primes in Tuples I, août 2005. « math.NT/0508185 », texte en accès libre, sur arXiv.
↑ (en) D. A. Goldston, Y. Motohashi, J. Pintz et C. Y. Yıldırım, Small gaps between primes exist, Proceedings of the Japan Academy Series A 82 (2006), 61-65. Version de mai 2005 disponible sur arXiv:math.NT/0505300 (en)
↑ (en) D. A. Goldston, S. W. Graham, J. Pintz et C. Y. Yıldırım, Small gaps between primes or almost primes, juin 2005. « math.NT/0506067 », texte en accès libre, sur arXiv.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Elliott–Halberstam conjecture » (voir la liste des auteurs).
(en) E. Bombieri, « On the large sieve », Mathematika, vol. 12,‎ 1965, p. 201-225
(en) P. D. T. A. Elliot et H. Halberstam, « A conjecture in prime number theory », Symp. Math., vol. 4 (INDAM, Rome, 1968/69),‎ 1970, p. 59-72
(en + ru) A. I. Vinogradov, « The density hypothesis for Dirichlet L-series », Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., vol. 29, 1965, p. 903-934

Voir aussi

Arithmétique et théorie des nombres

[1] Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes, Abstract.

[2] (en) Enrico Bombieri, « On the large sieve », Mathematika, vol. 12,‎ 1965, p. 201–225 (DOI 10.1112/s0025579300005313, MR 0197425)

[3] (en) D. A. Goldston, J. Pintz et C. Y. Yıldırım, Primes in Tuples I, août 2005. « math.NT/0508185 », texte en accès libre, sur arXiv.

[4] (en) D. A. Goldston, Y. Motohashi, J. Pintz et C. Y. Yıldırım, Small gaps between primes exist, Proceedings of the Japan Academy Series A 82 (2006), 61-65. Version de mai 2005 disponible sur arXiv:math.NT/0505300 (en)

[5] (en) D. A. Goldston, S. W. Graham, J. Pintz et C. Y. Yıldırım, Small gaps between primes or almost primes, juin 2005. « math.NT/0506067 », texte en accès libre, sur arXiv.

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-En [[théorie des nombres]], la '''[[conjecture]] d'Elliott-Halberstam''' concerne la distribution des [[nombre premier|nombres premiers]] dans les [[suite arithmétique|progressions arithmétiques]]. Elle a beaucoup d'applications en [[théorie des cribles]]. Elle fut nommée ainsi en l'honneur de {{Lien|Peter D. T. A. Elliott}} et {{Lien|Heini Halberstam}}.
+En [[théorie des nombres]], la '''[[conjecture]] d'Elliott-Halberstam''' concerne la distribution des [[nombre premier|nombres premiers]] dans les [[suite arithmétique|progressions arithmétiques]]. Elle a beaucoup d'applications en [[théorie des cribles]]. Elle a été énoncée par [[Peter D. T. A. Elliott]] et [[Heini Halberstam]] en 1968.
 ==Notations==
-Énoncer la conjecture nécessite quelques notations. On désigne usuellement par {{math|π(''x'')}} le [[Fonction de compte des nombres premiers|nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à ''{{math|x}}'']]. Si ''{{math|q}} ''est un [[nombre entier|entier]] [[nombre positif|positif]] et ''{{math|a}} ''est [[nombres premiers entre eux|premier avec]] ''{{math|q}}'', notons {{math|π(''x''; ''q'', ''a'')}} le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à ''{{math|x}} ''qui sont [[Congruence sur les entiers|congrus à ''{{math|a}} ''modulo ''{{math|q}}'']]. D'après le [[théorème de la progression arithmétique]], lorsque ''{{math|a}} ''est premier avec ''{{math|q}}'', on a :
+Énoncer la conjecture nécessite quelques notations. On désigne usuellement par {{math|π(''x'')}} le [[Fonction de compte des nombres premiers|nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à ''{{math|x}}'']]. Si ''{{math|q}} ''est un [[entier naturel|entier strictement positif]] et ''{{math|a}} ''est [[nombres premiers entre eux|premier avec]] ''{{math|q}}'', notons {{math|π(''x''; ''q'', ''a'')}} le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à ''{{math|x}} ''qui sont [[Congruence sur les entiers|congrus à ''{{math|a}} ''modulo ''{{math|q}}'']]. D'après le [[théorème de la progression arithmétique]], lorsque ''{{math|a}} ''est premier avec ''{{math|q}}'', on a :
-:<math> \pi(x;q,a) \approx  \frac{\pi(x)}{\varphi(q)}.</math>
+:<math> \pi(x;q,a) \sim  \frac{\pi(x)}{\varphi(q)}\ \ (x\rightarrow\infty).</math>
 On définit alors la fonction d'erreur
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 ==Énoncé==
-La conjecture d'Elliott-Halberstam est l'assertion que pour tout θ < 1 et tout ''A ''> 0, il existe une constante ''C ''telle que pour tout {{math|''x''}}&nbsp;≥&nbsp;2,
+La conjecture d'Elliott-Halberstam est l'assertion que pour tout 0 < θ < 1 et tout ''A ''> 0, il existe une constante ''C '', telle que pour tout {{math|''x''}}&nbsp;≥&nbsp;2 :
-:<math> \sum_{1 \leq q \leq x^\theta} E(x;q) \le C\frac x {(\ln x)^A}.</math>
+<center><math> \sum_{1 \leq q \leq x^\theta} E(x;q) \le \frac  {{Cx}} {(\ln x)^A}.</math></center>
+La conjecture d'Elliott Haltberstam pour une valeur de θ est notée EH [ θ ]<ref>[https://link.springer.com/article/10.1186%2Fs40687-014-0012-7 Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes], Abstract.</ref>.
 ==Avancées==
-Pour le cas limite θ = 1, on sait que cette assertion est fausse.
+Pour le cas limite θ = 1, on sait que cette assertion EH [ 1 ] est fausse.
-Pour les θ < {{frac|1|2}}, la conjecture a été {{douteux|date=mai 2013|démontrée par [[Enrico Bombieri]] et [[Askold Ivanovich Vinogradov]]}} : c'est le [[théorème de Bombieri-Vinogradov]] ; ce résultat est déjà tout à fait utile, étant une forme moyennée de l'[[hypothèse de Riemann généralisée]].
+Pour les θ < {{frac|1|2}}, la conjecture EH [ θ ] a été démontrée dans les années 1960 par [[Enrico Bombieri]]<ref>{{article|langue=en|prénom=Enrico |nom=Bombieri |titre=On the large sieve |journal=Mathematika |volume=12 |numéro= |année=1965 |pages=201–225 |doi= 10.1112/s0025579300005313 | mr=0197425}}</ref> et [[Askold Ivanovitch Vinogradov]] : c'est le [[théorème de Bombieri-Vinogradov]] ; ce résultat est déjà tout à fait utile, étant une forme moyennée de l'[[hypothèse de Riemann généralisée]].
+== Conséquences de la conjecture ==
-La conjecture d'Elliott-Halberstam aurait, si elle était démontrée, plusieurs conséquences frappantes. L'une d'elles est le résultat récent de [[Daniel Goldston]], {{Lien|János Pintz}} et [[Cem Yıldırım]]<ref>{{en}} D. A. Goldston, J. Pintz et C. Y. Yıldırım, ''Primes in Tuples I'', août 2005. {{arxiv|math.NT/0508185}}</ref>{{,}}<ref>{{en}} D. A. Goldston, Y. Motohashi, J. Pintz et C. Y. Yıldırım, ''[http://projecteuclid.org/DPubS?verb=Display&version=1.0&service=UI&handle=euclid.pja/1146576181 Small gaps between primes exist]'', Proceedings of the Japan Academy Series A '''82''' (2006), 61-65. Version de mai 2005 disponible sur {{arxiv2|math.NT/0505300}} {{en}}</ref>{{,}}<ref>{{en}} D. A. Goldston, S. W. Graham, J. Pintz et C. Y. Yıldırım, ''Small gaps between primes or almost primes'', juin 2005. {{arxiv|math.NT/0506067}}</ref>, qui montre qu'il existerait alors une infinité de paires de nombres premiers qui diffèrent d'au plus 16.
+La conjecture d'Elliott-Halberstam aurait, si elle était démontrée pour θ < 1, plusieurs conséquences frappantes. L'une d'elles est le résultat de [[Daniel Goldston]], [[János Pintz]] et [[Cem Yıldırım]]<ref>{{en}} D. A. Goldston, J. Pintz et C. Y. Yıldırım, ''Primes in Tuples I'', août 2005. {{arxiv|math.NT/0508185}}</ref>{{,}}<ref>{{en}} D. A. Goldston, Y. Motohashi, J. Pintz et C. Y. Yıldırım, ''[http://projecteuclid.org/DPubS?verb=Display&version=1.0&service=UI&handle=euclid.pja/1146576181 Small gaps between primes exist]'', Proceedings of the Japan Academy Series A '''82''' (2006), 61-65. Version de mai 2005 disponible sur {{arxiv2|math.NT/0505300}} {{en}}</ref>{{,}}<ref>{{en}} D. A. Goldston, S. W. Graham, J. Pintz et C. Y. Yıldırım, ''Small gaps between primes or almost primes'', juin 2005. {{arxiv|math.NT/0506067}}</ref>, qui montre qu'il existerait alors une infinité de paires de nombres premiers qui diffèrent d'au plus 16. Maynard  a montré en {{date-|décembre 2013}} que sous la même hypothèse, il existerait alors une infinité de paires de nombres premiers qui diffèrent d'au plus 12. En 2014, le [[projet Polymath]] a montré qu'en supposant une version généralisée de  EH [ θ ], pour 0 < θ < 1, l'écart pourrait être ramené à 6.
 ==Notes et références==
 ===Notes===
+{{Références}}
-<references/>
 ===Références===
 {{Traduction/Référence|en|Elliott–Halberstam conjecture|24293033}}
-*{{Article|lang=en|first=E.|nom=Bombieri|titre=On the large sieve|revue=Mathematika|vol=12|year=1965|p.=201-225}}
+*{{Article|lang=en|prénom=E.|nom=Bombieri|titre=On the large sieve|revue=Mathematika|vol=12|année=1965|p.=201-225}}
-*{{Article|lang=en|first=P. D. T. A.|nom=Elliot|prénom2=H.|nom2=Halberstam|titre=A conjecture in prime number theory|revue=Symp. Math.|vol=4|year=1968-1969|p.=59-72}}
+*{{Article|lang=en|prénom=P. D. T. A.|nom=Elliot|prénom2=H.|nom2=Halberstam|titre=A conjecture in prime number theory|revue=Symp. Math.|vol=4 (INDAM, Rome, 1968/69)|année=1970|p.=59-72}}
-*{{en}}/{{ru}} A. I. Vinogradov, « The density hypothesis for Dirichlet L-series », ''Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat.'', vol. 29, 1965, p. 903-934
+*{{mul|en|ru}} A. I. Vinogradov, « The density hypothesis for Dirichlet L-series », ''Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat.'', vol. 29, 1965, p.&nbsp;903-934
 ==Voir aussi==
 *[[Conjecture des nombres premiers jumeaux]]
-*[[Théorème de Barban-Davenport-Halberstam]]
+*{{Lien|trad=Barban–Davenport–Halberstam theorem|Théorème de Barban-Davenport-Halberstam}}
 *[[Théorème de Barban-Montgomery]]
+{{Palette Classes de nombres premiers}}
 {{portail|théorie des nombres}}