Mahtavuus

Joukon mahtavuus eli kardinaliteetti on joukon alkioiden lukumäärää kuvaava käsite, jota ilmaistaan kardinaaliluvulla. Äärellisten joukkojen kardinaaliluku on jokin luonnollinen luku ja äärettömien jokin ääretön kardinaaliluku. Käsitteet esitteli Georg Cantor vuonna 1874 julkaisemassaan joukko-oppia käsittelevässä kirjoitelmassa.

Esimerkiksi joukossa {1,2,3} alkioita on 3 ja joukossa {1, 2, 3, ..., n} niitä on n. Äärellisillä joukoilla eli sellaisilla joukoilla, joissa on äärellinen määrä alkiota, mahtavuuden sijasta käytetään usein sanaa koko. Kardinaliteetti-sanaa sen sijaan voidaan käyttää sekä äärellisistä että äärettömistä joukoista.

Kun äärettömässä joukossa on äärettömästi alkioita, ilmoitetaan sen mahtavuus sanalla ääretön. Vaikka ääretön tarkoittaa jotain muuta asiaa kuin lukua, on se hyväksytty mahtavuuden kardinaaliksi, koska se ilmaisee sitä loputtomuutta, mitä alkioiden laskeminen vaatisi.

Äärellisten joukkojen vertailussa voidaan käyttää alkioiden laskemista. Kummankin joukon alkiot lasketaan ja verrataan kardinaaleja keskenään. Äärettömillä joukoilla käytetään induktiivista luettelointia. Siinä otetaan joukosta ${\displaystyle S}$ alkio ja liitetään siihen toisen joukon ${\displaystyle T}$ alkio pariksi. Jos jokaiselle alkiolle molemmissa joukoissa riittää pari, on joukot yhtä mahtavia eli ${\displaystyle S\sim T}$. Se joukko, jolta parinmuodostuksessa jää alkioita yli, on mahtavampi.

Tarkastellaan esimerkkinä kahta äärellistä joukkoa ${\displaystyle S=\{a,b,c,d\}}$ ja ${\displaystyle T=\{1,2,3\}}$. Vertailu tehdään ensin ottamalla aina joukon ${\displaystyle T}$ alkiolle pari joukosta ${\displaystyle S}$. Silloin saadaan parit ${\displaystyle \{(1,a),(2,b),(3,c)\}}$ ja joukon ${\displaystyle S}$ alkiot riittivät. Tämä ei vielä merkitse, että joukot ovat yhtä mahtavia. Parinmuodostus tulee onnistua myös toisin päin. Tällöin muodostetaan jokaiselle kirjaimelle pari numerosta. Tämä ei onnistu, koska kirjaimelle ${\displaystyle d}$ ei löydy tyhjentyneestä numerojoukosta paria. Siksi tuomitsemme joukon ${\displaystyle S}$ mahtavammaksi kuin joukon ${\displaystyle T}$.

Joukon ${\displaystyle S}$ mahtavuus merkitään joko ${\displaystyle |S|}$ tai ${\displaystyle card(S)}$. Yhtämahtavuus voidaan merkitä myös ${\displaystyle |S|=|T|}$ tai ${\displaystyle card(S)=card(T)}$. Jos joukko ${\displaystyle S}$ on mahtavampi kuin joukko ${\displaystyle T}$, merkitään ${\displaystyle |S|>|T|}$.

Äärettömillä joukoilla induktiivinen luetteloiminen ei aina onnistu. Tällöin yritetään löytää funktio eli kuvaus joukosta toiseen ja sille mahdollinen käänteiskuvaus. Kuvausten olemassaolosta ja laadusta päätellään joukkojen keskinäinen mahtavuus. Mahdolliset vaihtoehdot ovat:

• ${\displaystyle {\mbox{card}}(S)\leq {\mbox{card}}(T)\Leftrightarrow \exists f:S\rightarrow T}$ siten, että ${\displaystyle f}$ on injektio.
• ${\displaystyle {\mbox{card}}(S)\geq {\mbox{card}}(T)\Leftrightarrow \exists f:S\rightarrow T}$ siten, että ${\displaystyle f}$ on surjektio.
• ${\displaystyle {\mbox{card}}(S)={\mbox{card}}(T)\Leftrightarrow \exists f:S\rightarrow T}$ siten, että ${\displaystyle f}$ on bijektio.

Viimeinen väite saadaan kahdesta edellisesta tuloksesta Cantorin–Schröderin–Bersteinin lauseen avulla.

Esimerkiksi luonnollisten lukujen joukko ${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,3,...\}}$ on yhtä mahtava osajoukkonsa ${\displaystyle \{2,4,6,...\}}$ kanssa. Tämä nähdään kahdella tavalla. Parinmuodostuksessa saadaan parijono ${\displaystyle \{(1,2),(2,4),(3,6),...,(n,2n),...\}}$, jossa pariksi valitaan toisesta joukosta aina kaksi kertaa suurempi luku. Käänteinen parinvalinta toimii niin, että parillisen luvun pariksi valitaan aina puolet pienempi luku. Tätä voisi jatkaa äärettömän monta kertaa ja siksi todetaankin, että parilliset luvut ja luonnolliset luvut ovat yhtä mahtavat.

Toinen menetelmä on keksiä joukkojen välille kuvaus, jolle löydetään käänteiskuvaus. Tällainen kuvauspari on funktio ${\displaystyle f(x)=2x}$ ja sen käänteisfunktio ${\displaystyle f^{-1}(x)={\frac {1}{2}}x}$. Näillä voidaan kuvata kaikki lähtöjoukon alkiot maalijoukon alkioiksi ilman, että yksikään alkio jäisi kuvaamatta. Funktio ja sen käänteisfunktio ovat bijektioita, ja joukot ovat yhtä mahtavia. ^[1]

Cantor tutki äärettömiä joukkoja ja havaitsi pian että jotkin joukot ovat "enemmän äärettömiä" kuin toiset. Tämä johti kardinaalilukujen vertailuun. Koska luonnolliset luvut tiedetään jo äärettömäksi joukoksi, merkitään niiden mahtavuutta kardinaaliluvulla ${\displaystyle \aleph _{0}=\infty }$ (lue:alef-0). Luonnollisisten lukujen joukosta sanotaan, että se on laskettavasti tai numeroituvasti ääretön, koska sen alkioista voidaan muodostaa alkiopareja verrattavan joukon alkioiden kanssa.

Cantor oletti, että oli olemassa suurempia kardinaalilukuja ja että ne voitiin järjestää suuruusjärjestykseen ${\displaystyle \aleph _{0}<\aleph _{1}<\aleph _{2}<...}$. Suurempien joukkojen etsintä tuotti tulosta, kun hän osoitti reaalilukujen olevan suurempi joukko. Vieläkään ei tiedetä, onko reaalilukujen kardinaliteetti ${\displaystyle \aleph _{1}}$ tai ${\displaystyle \aleph _{2}}$ vai jokin muu. Toisin sanoen ei ole pystytty osoittamaan, onko olemassa ylinumeroituvaa joukkoa, jonka mahtavuus olisi pienempi kuin reaalilukujen joukon. Toistaiseksi reaalilukujen kardinaalilukuna käytetään merkintää c tai C (engl. continuum) tai joskus ${\displaystyle \beth _{1}}$ (lue: "beth"-1) ja se oli ensimmäinen todettu ylinumeroituvasti ääretön lukujoukko. Koska ylinumeroituva lukujoukko on mahtavampi kuin numeroituva joukko, on sen kardinaaliluku aina ääretön.

Määritelmän mukaan luonnolliset luvut ${\displaystyle \mathbb {N} }$ muodostavat numeroituvasti äärettömän lukujoukon. Voidaan osoittaa, että kaikki osajoukot ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {N} }$ ovat myös numeroituvia. Jos ${\displaystyle S}$ on numeroituva ja ääretön, on olemassa bijektio ${\displaystyle f:S\leftrightarrow \mathbb {N} }$ ja joukot ovat yhtä mahtavat ${\displaystyle S\sim \mathbb {N} }$. Jos ${\displaystyle S'}$ ylinumeroituva ja ${\displaystyle S'\subseteq S}$, niin myös ${\displaystyle S}$ on ylinumeroituva. ^[1]

Kaikki luonnollisten lukujen osajoukot ovat edelliseen viitaten numeroituvia. Erityisesti luonnollisten lukujen äärettömän suuret osajoukot ovat yhtä mahtavia kuin luonnollisten lukujen joukko itse. Tällasia osajoukkoja ovat esimerkiksi parilliset- ja parittomat luvut, kolmioluvut, neliöluvut ja alkuluvut. Siis on ${\displaystyle card(\mathbb {N} )=\aleph _{0}}$.

Cantor todisti jo 1874, että ${\displaystyle card(\mathbb {Z} )=card(\mathbb {Q} )=\aleph _{0}}$. Ne hän todisti luettelemalla kokonaisluvut ja rationaaliluvut tietyn systeemin avulla ja osoitti, että jokaiselle luvulle löytyy pari luonnollisista luvuista. Todistamistavat esitelty artikkelissa numeroituva joukko.

Edelleen Cantor osoitti vuonna 1891 reaalilukujen olevan ylinumeroituvasti ääretön joukko. Koska reaaliluvut koostuvat rationaaliluvuista ja irrationaaliluvuista, ovat myös irrationaaliluvut ylinumeroituvasti ääretön joukko. Reaaliluvut voidaan jakaa myös algebrallisiin ja transkendenttisiin lukuihin. Algebralliset luvut ovat numeroituvasti ja transkendenttiset luvut ylinumeroituvasti ääretön joukko. ^[1]

• Numeroituva joukko
• Ylinumeroituva joukko
• Aritmeettinen tiheys

• Fuchs, Walter R.: Matematiikka. Suomentanut Mattila, Pekka. Länsi-Saksa: Kirjayhtymä, 1968.
• Barrow, John D.: Lukujen taivas. Suomentanut Vilikko, Risto. Smedjebacken, Ruotsi: Art House, 1999. ISBN 951-884-231-0

• Merikoski, Jorma & Virtanen, Ari & Koivisto, Pertti: Diskreetti matematiikka I. Tampere: Tampereen yliopisto, 2001 (1993). ISBN 951-44-3604-0
• Jalava, Väinö: Moderni analyysi I. (15) Tampere: TTKK, 1976. ISBN 951-720-223-7
• Lipschutz, Seymour: Set Theory and Related Topics. McGraw-Hill, 1964. ISBN 0-07-037986-6