میان-همبستگی

برای توابع پیوسته ${\displaystyle f}$  و ${\displaystyle g}$ ، میان-همبستگی به این صورت تعریف می‌شود:^[۱][۲][۳]

که معادل است با

${\displaystyle (f\star g)(\tau )\ \triangleq \int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(t-\tau )}}g(t)\,dt}$ 

که در آن ${\displaystyle {\overline {f(t)}}}$  به مزدوج مختلط ${\displaystyle f(t)}$  اشاره دارد، و ${\displaystyle \tau }$  همان جابجایی است که به آن تأخیر (lag) هم گفته می‌شود (یک ویژگی در ${\displaystyle f}$  در زمان ${\displaystyle t}$  در ${\displaystyle g}$  در زمان ${\displaystyle t+\tau }$  اتفاق می‌افتد).

اگر ${\displaystyle f}$  و ${\displaystyle g}$  هر دو توابعی متناوب پیوسته با دوره تناوب ${\displaystyle T}$  باشند، انتگرال از ${\displaystyle -\infty }$  تا ${\displaystyle \infty }$  را می‌توان با انتگرال در هر بازه ${\displaystyle [t_{0},t_{0}+T]}$  با طول ${\displaystyle T}$  جایگزین کرد:

که معادل است با

${\displaystyle (f\star g)(\tau )\ \triangleq \int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{\overline {f(t-\tau )}}g(t)\,dt}$ 

به صورت مشابه، برای توابع گسسته، میان-همبستگی به این صورت تعریف می‌شود:^[۴][۵]

که معادل است با

${\displaystyle (f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }{\overline {f[m-n]}}g[m]}$ .

برای توابع گسسته محدود ${\displaystyle f,g\in \mathbb {C} ^{N}}$ ، میان-همبستگی (دایره‌وار) به این صورت تعریف می‌شود:^[۶]

که معادل است با

${\displaystyle (f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=0}^{N-1}{\overline {f[(m-n)_{{\text{mod}}~N}]}}g[m]}$ .

برای توابع گسسته محدود ${\displaystyle f\in \mathbb {C} ^{N}}$ , ${\displaystyle g\in \mathbb {C} ^{M}}$ ، میان-همبستگی هسته‌ای به این صورت تعریف می‌شود:^[۷]

که در آن ${\displaystyle K_{g}=[k(g,T_{0}(g)),k(g,T_{1}(g)),\dots ,k(g,T_{N-1}(g))]}$  یک بردار از توابع هسته‌ای ${\displaystyle k(\cdot ,\cdot )\colon \mathbb {C} ^{M}\times \mathbb {C} ^{M}\to \mathbb {R} }$  است و ${\displaystyle T_{i}(\cdot )\colon \mathbb {C} ^{M}\to \mathbb {C} ^{M}}$  یک تبدیل همگر (آفین) است.

بخصوص، ${\displaystyle T_{i}(\cdot )}$  می‌تواند یک تبدیل ترجمه دایره‌ای، تبدیل دورانی، یا تبدیل مقداری یا غیره باشد. میان-همبستگی هسته‌ای دارد میان-همبستگی را از فضای خطی به فضای هسته گسترش می‌دهد. میان-همبستگی معادل ترجمه است، میان-همبستگی هسته‌ای معادل هر تبدیل همگر (آفین) است، که شامل ترجمه، دوران، و مقیاس‌دهی و غیره است.

به عنوان مثال، دو تابع با مقدار حقیقی ${\displaystyle f}$  و ${\displaystyle g}$  را در نظر بگیرید که فقط به اندازه یک انتقال ناشناخته در طول محور x با هم تفاوت دارند. می‌توان از میان-همبستگی استفاده کرد تا این موضوع را یافت که چقدر باید ${\displaystyle g}$  را در طول محور x انتقال داد تا آن را با ${\displaystyle f}$  یکسان‌سازی کرد. فرمول به صورت اساسی تابع ${\displaystyle g}$  را در طول محور x می‌لغزاند، و در این بین انتگرال حاصل‌ضرب آن‌ها را در هر مکان محاسبه می‌کند. دو تابع موقعی تطابق دارند که مقدار ${\displaystyle (f\star g)}$  حداکثر شده باشد. این به آن دلیل است که موقعی که قله‌ها (مساحت مثبت) تراز گردند، آن‌ها مشارکت بالایی در انتگرال دارند. به صورت مشابه، موقعی که فرورفتگی‌ها (مناطق منفی) تراز شوند، آن‌ها نیز یک مشارکت مثبت در انتگرال می‌سازند، زیرا حاصل‌ضرب دو عدد منفی، مثبت است.

 

با توابع مختلط-مقدار ${\displaystyle f}$  و ${\displaystyle g}$ ، و گرفتن مزدوج ${\displaystyle f}$  اطمینان حاصل می‌شود که قله‌های تراز شده (یا فرورفتگی‌های تراز شده) با مولفه‌های موهومی در انتگرال به صورت مثبت مشارکت دارند.

در اقتصادسنجی، گاهی به میان-همبستگی تأخیری میان-خودهمبستگی (به انگلیسی: cross-autocorrelation) می‌گویند.^{[۸]: p. 74}

برای بردارهای تصادفی ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{m})^{\rm {T}}}$  و ${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{n})^{\rm {T}}}$ ، که هرکدام شامل عناصر تصادفی است که مقدار چمداشتی و واریانس آن‌ها موجود است، ماتریس میان-همبستگی برای ${\displaystyle \mathbf {X} }$  و ${\displaystyle \mathbf {Y} }$  به این صورت تعریف می‌شود^{[۱۰]: p.337}

و که ابعاد دارد. اگر به صورت مولفه‌وار بخواهیم بنویسیم:

${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }={\begin{bmatrix}\operatorname {E} [X_{1}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{1}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{1}Y_{n}]\\\\\operatorname {E} [X_{2}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{2}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{2}Y_{n}]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\operatorname {E} [X_{m}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{m}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{m}Y_{n}]\end{bmatrix}}}$ 

لازم نیست بردارهای ${\displaystyle \mathbf {X} }$  و ${\displaystyle \mathbf {Y} }$  ابعاد یکسانی داشته باشند، و حتی می‌توانند یک مقدار اسکالر (نرده‌ای) باشند.

برای مثال، اگر ${\displaystyle \mathbf {X} =\left(X_{1},X_{2},X_{3}\right)^{\rm {T}}}$  و ${\displaystyle \mathbf {Y} =\left(Y_{1},Y_{2}\right)^{\rm {T}}}$  بردارهای تصادفی باشند، آنوقت ${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }}$  یک ماتریس ${\displaystyle 3\times 2}$  بعدی است که در آن عنصر ${\displaystyle (i,j)}$ -ام برابر ${\displaystyle \operatorname {E} [X_{i}Y_{j}]}$  است.

اگر ${\displaystyle \mathbf {Z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{m})^{\rm {T}}}$  و ${\displaystyle \mathbf {W} =(W_{1},\ldots ,W_{n})^{\rm {T}}}$  بردارهای تصادفی مختلط باشند، که هرکدام شامل متغیرهای تصادفی باشند که مقدار چشمداشتی و واریانس آن‌ها موجود باشد، ماتریس میان-همبستگی برای ${\displaystyle \mathbf {Z} }$  و ${\displaystyle \mathbf {W} }$  به این صورت تعریف می‌شود

${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }\triangleq \ \operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {W} ^{\rm {H}}]}$ 

که در آن ${\displaystyle {}^{\rm {H}}}$  نشان‌دهنده ترانهاد هرمیتین است.

در تحلیل سری زمانی و آمار، میان-همبستگی برای یک جفت از فرایندهای تصادفی برابر همبستگی بین مقادیر فرایندها در زمان‌های متفاوت، به عنوان یک تابع از دو زمان است. اگر فرض کنیم ${\displaystyle (X_{t},Y_{t})}$  یک جفت از فرایندهای تصادفی باشد، و ${\displaystyle t}$  هر نقطه در زمان باشد (${\displaystyle t}$  برای فرایندهای زمان-گسسته می‌تواند عدد صحیح باشد یا برای یک فرایند زمان-پیوسته می‌تواند یک عدد حقیقی باشد). آنوقت ${\displaystyle X_{t}}$  یک مقدار (یا تحقق) است که توسط یک اجرای معین از فرایند در زمان ${\displaystyle t}$  ایجاد شده‌است.

فرض کنید که فرایند دارای میانگین‌های ${\displaystyle \mu _{X}(t)}$  و ${\displaystyle \mu _{Y}(t)}$  نیز واریانس‌های ${\displaystyle \sigma _{X}^{2}(t)}$  و ${\displaystyle \sigma _{Y}^{2}(t)}$  در زمان ${\displaystyle t}$  برای هر ${\displaystyle t}$  باشد. آنوقت تعریف میان-همبستگی بین زمان‌های ${\displaystyle t_{1}}$  و ${\displaystyle t_{2}}$  به این صورت است^{[۱۰]: p.392}

که در آن ${\displaystyle \operatorname {E} }$  همان عملگر مقدار چشمداشتی است. توجه کنید که این عبارت ممکن است تعریف نشده باشد.

با تفریق میانگین قبل از ضرب، منجر به ایجاد میان-کوواریانس بین زمان‌های ${\displaystyle t_{1}}$  و ${\displaystyle t_{2}}$  می‌شود:^{[۱۰]: p.392}

توجه کنید که این عبارت برای همه سری‌های زمانی و فرایندها خوش-تعریف نیست، زیرا میانگین یا واریانس ممکن است موجود نباشد.

فرض کنید ${\displaystyle (X_{t},Y_{t})}$  نمایش‌دهنده یک جفت از فرایندهای تصادفی باشد که به صورت متصل مانای با مفهوم گسترده اند. آنوقت تابع میان-کوواریانس و تابع میان-همبستگی به این صورت معین می‌شوند.

یا به صورت معادل

${\displaystyle \operatorname {R} _{XY}(\tau )=\operatorname {E} \left[X_{t-\tau }{\overline {Y_{t}}}\right]}$ 

یا به صورت معادل

${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(\tau )=\operatorname {E} \left[\left(X_{t-\tau }-\mu _{X}\right){\overline {\left(Y_{t}-\mu _{Y}\right)}}\right]}$ 

که در آن ${\displaystyle \mu _{X}}$  و ${\displaystyle \sigma _{X}}$  برابر میانگین و انحراف معیار برای فرایند ${\displaystyle (X_{t})}$  هستند، که این مقادیر به علت مانا بودن در زمان ثابت اند؛ و به صورت مشابه برای ${\displaystyle (Y_{t})}$ ، به همان ترتیب. شکست در تجزیه (خطای نحوی): {\displaystyle \operatorname{E}[\]} نشان‌دهنده مقدار چشمداشتی است. این موضوع که میان-همبستگی و میان-کوواریانس از ${\displaystyle t}$  مستقل‌اند، دقیقاً یک اطلاعات اضافی است (فرای این موضوع که به صورت منفرد با مفهوم گسترده مانا هستند) این موضوع توسط این نیازمندی منتقل می‌شود که ${\displaystyle (X_{t},Y_{t})}$  دارای ویژگی مانای با مفهوم گسترده متصل است.

میان-همبستگی برای یک جفت از فرایندهای تصادفی متصل با مفهوم گسترده مانا را توسط میانگین‌گیری ضرب نمونه‌های اندازه‌گیری شده از یک فرایند و نمونه‌های اندازه‌گیری شده از دیگری (و انتقال زمانی آن) قابل تخمین است. نمونه‌های موجود در میانگین می‌تواند یک زیرمجموعه دلخواه از از همه نمونه‌های سیگنال باشد (مثلا نمونه‌های موجود در یک پنجره زمانی محدود یا یک زیرنمونه‌گیری^[کدام؟] از یکی از سیگنال‌ها). برای تعداد بالایی از نمونه‌ها، این میانگین به میان-همبستگی درست همگرا می‌شود.

این موضوع در بعضی از رشته‌ها (مثل آمار و تحلیل سری زمانی) معمول است که تابع میان-همبستگی را نرمال‌سازی کنند، تا به یک ضریب همبستگی پیرسون وابسته به زمان برسیم. با این حال، در رشته‌های دیگر (مثل مهندسی) از نرمال‌سازی معمولاً صرف‌نظر می‌شود، و اصطلاح‌های «میان-همبستگی» و «میان-کوواریانس» به جای هم به کار می‌روند.

تعریف میان-همبستگی نرمال‌سازی شده برای یک فرایند تصادفی به این صورت است

${\displaystyle \rho _{XX}(t_{1},t_{2})={\frac {\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})}{\sigma _{X}(t_{1})\sigma _{X}(t_{2})}}={\frac {\operatorname {E} \left[\left(X_{t_{1}}-\mu _{t_{1}}\right){\overline {\left(X_{t_{2}}-\mu _{t_{2}}\right)}}\right]}{\sigma _{X}(t_{1})\sigma _{X}(t_{2})}}}$ .

اگر تابع ${\displaystyle \rho _{XX}}$  خوش-تعریف باشد، باید مقدار آن در بازه ${\displaystyle [-1,1]}$  بیافتد که در آن ۱ نشان‌دهنده همبستگی کامل و -۱ نشان‌دهنده ضد-همبستگی کامل است.

برای فرایندهای تصادفی با مفهوم گسترده مانا، تعریف اینگونه است

${\displaystyle \rho _{XY}(\tau )={\frac {\operatorname {K} _{XY}(\tau )}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}={\frac {\operatorname {E} \left[\left(X_{t}-\mu _{X}\right){\overline {\left(Y_{t+\tau }-\mu _{Y}\right)}}\right]}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}}$ .

نرمال‌سازی مهم است زیرا هم تفسیرکردن خودهمبستگی به صورت یک همبستگی یک اندازه قدرت وابستگی آماری بدون مقیاس فراهم می‌کند، و هم به این دلیل که نرمال‌سازی تأثیراتی روی ویژگی‌های آماری خودهمبستگی تخمین‌زده شده دارد.

برای فرایندهای تصادفی با مفهوم گسترده مانای متصل، تابع میان-همبستگی دارای این ویژگی ویژگی تقارن است:^{[۱۱]: p.173}

${\displaystyle \operatorname {R} _{XY}(t_{1},t_{2})={\overline {\operatorname {R} _{YX}(t_{2},t_{1})}}}$ 

به همان ترتیب برای فرایندهای WSS متصل:

${\displaystyle \operatorname {R} _{XY}(\tau )={\overline {\operatorname {R} _{YX}(-\tau )}}}$ 

میان-همبستگی‌ها برای تعیین تأخیر زمانی بین دو سیگنال مفید اند، مثل برای تعیین تأخیر زمانی برای انتشار سیگنالهای صوتی در صول یک آرایه میکروفنی.^{[۱۲][۱۳][نیازمند شفاف‌سازی]} بعد از محاسبه میان-همبستگی بین دو سیگنال، ماکزیمم (یا مینیمم اگر سیگنال‌ها به صورت منفی همبسته باشند) برای تابع میان-همبستگی، نشان‌دهنده نقطه‌ای در زمان است که سیگنال‌ها به صورت بهینه تراز شده‌اند؛ یعنی تأخیر زمانی بین دو سیگنال توسط آرگومان ماکزیمم، یا arg max برای میان-همبستگی تعیین می‌شود، مثلاً در

${\displaystyle \tau _{\mathrm {delay} }={\underset {t\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}((f\star g)(t))}$ 

برای کاربردهای پردازش تصویر، که در آن روشنایی تصویر و الگو می‌توانند به علت نوردهی یا معرض‌قرارگیری تغییر کنند، می‌توان تصاویر را از اول نرمال‌سازی کرد. این موضوع معمولاً در هر گام با تفریق میانگین و تقسیم بر انحراف معیار انجام می‌شود؛ یعنی، میان-همبستگی یک الگو ${\displaystyle t(x,y)}$  با یک زیرتصویر ${\displaystyle f(x,y)}$  به این صورت است

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{x,y}{\frac {1}{\sigma _{f}\sigma _{t}}}\left(f(x,y)-\mu _{f}\right)\left(t(x,y)-\mu _{t}\right)}$ .

که در آن ${\displaystyle n}$  برابر تعداد پیکسل‌ها در ${\displaystyle t(x,y)}$  و ${\displaystyle f(x,y)}$  است و ${\displaystyle \mu _{f}}$  برابر میانگین ${\displaystyle f}$  و ${\displaystyle \sigma _{f}}$  برابر انحراف معیار ${\displaystyle f}$  است.

در اصطلاح آنالیز تابعی، این موضوع را می‌توان به صورت ضرب نقطه‌ای دو بردار نرمال‌سازی شده تصور کرد؛ یعنی اگر،

${\displaystyle F(x,y)=f(x,y)-\mu _{f}}$ 

و

${\displaystyle T(x,y)=t(x,y)-\mu _{t}}$ 

آنوقت مجموع بالا برابر است با

${\displaystyle \left\langle {\frac {F}{\|F\|}},{\frac {T}{\|T\|}}\right\rangle }$ 

که در آن ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$  برابر ضرب داخلی، و ${\displaystyle \|\cdot \|}$  برابر نرم L² norm است. کوشی-شوارتز آنوقت این پیامد را دارد که برد ZNCC برابر در بازه ${\displaystyle [-1,1]}$  است.

از این رو اگر ${\displaystyle f}$  و ${\displaystyle t}$  ماتریس‌های حقیقی باشند، میان-همبستگی نرمال‌سازی شده شان برابر کسینوس زاویه بین بردارهای واحد ${\displaystyle F}$  و ${\displaystyle T}$  است، و از این رو اگر و فقط اگر موقعی ${\displaystyle 1}$  است که ${\displaystyle F}$  برابر ${\displaystyle T}$  (ضربدر یم مقدار نرده‌ای مثبت) باشد.

همبستگی نرمال‌سازی شده یکی از روش‌های استفاده شده برای تطابق الگو است، این فرایندی است که برای یافتن رخداد یک الگو، یا شیء در داخل یک تصویر استفاده می‌شود. این همچنین یک نسخه دو-بعدی برای ضریب همبستگی ضرب-گشتاوری پیرسون است.

NCC مشابه ZNCC است با این تنها تفاوت که در آن مقدار میانگین محلی برای شدت‌ها تفریق نمی‌شود:

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{x,y}{\frac {1}{\sigma _{f}\sigma _{t}}}f(x,y)t(x,y)}$ 

برای استفاده از میان-همبستگی برای سامانه‌های غیرخطی باید احتیاط کرد. در شرایط معین، که بستگی به ویژگی‌های ورودی دارد، میان-همبستگی بین ورودی و خروجی یک سامانه با داینامیک غیرخطی برای تاثیرهای غیرخطی معین می‌تواند کاملاً ناپیدا است.^[۱۴] این موضوع به این دلیل بروز می‌کند که بعضی از گشتاورهای درجه‌دوم می‌تواند برابر صفر باشد، و این موضوع می‌تواند به صورت غیرصحیح پیشنهاد بدهد که یک «همبستگی» کم (در مفهوم وابستگی آماری) بین دو سیگنال وجود دارد، اما دو سیگنال در واقع به صورت قوی توسط دینامیک غیرخطی مرتبط هستند.

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Cross-correlation». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۹ سپتامبر ۲۰۲۱.