Laplace'i operaator

Laplace'i operaator on matemaatikas kaks korda diferentseeruvatele mitme muutuja funktsioonidele rakendatav diferentsiaaloperaator, mis on eukleidilises ruumis defineeritud kui funktsiooni gradiendi divergents.

Ristkoordinaatides avaldub Laplace'i operaator kujul^[1]

${\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}=\sum _{i=1}^{n}{\partial ^{2} \over \partial x_{i}^{2}},}$

kus ${\displaystyle \nabla }$ on nabla-operaator ja ${\displaystyle \partial /\partial x_{i}}$ tähistab osatuletise võtmise operaatorit muutuja ${\displaystyle x_{i}}$ järgi.

Laplace'i operaator on saanud nimetuse prantsuse matemaatiku Pierre-Simon de Laplace'i (1749–1827) järgi. Laplace kasutas antud operaatorit esmakordselt taevamehaanikas, kus ta gravitatsioonivälja potentsiaalile rakendatuna annab konstandi kordse massi tiheduse. Selle võrrandi Δf = 0 üldisemat kuju nimetatakse tänapäeval Laplace'i võrrandiks.

Laplace'i operaatori rakendamine kahe muutuja funktsioonile f(x,y) annab ristkoordinaatides x ja y'

${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}}$

Polaarkoordinaatides kehtib

${\displaystyle \Delta f={1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}.}$

Kolmes dimensioonis on Laplace'i operaatori kuju olulisemates koordinaadisüsteemides järgmine:

Ristkoordinaatides:

${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}$

Silindrilistes koordinaatides:

${\displaystyle \Delta f={1 \over \rho }{\partial \over \partial \rho }\left(\rho {\partial f \over \partial \rho }\right)+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}.}$

Sfäärilistes koordinaatides:

${\displaystyle \Delta f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \phi ^{2}}.}$

(${\displaystyle \theta \ }$ tähistab sfäärilist laiust ja ${\displaystyle \phi }$ sfäärilist pikkust).

Avaldise ${\displaystyle {1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)}$ võib asendada samaväärse avaldisega ${\displaystyle {1 \over r}{\partial ^{2} \over \partial r^{2}}\left(rf\right)}$.

N-dimensionaalsetes sfäärilistes koordinaatides, mis on parametriseeritud kujul ${\displaystyle x=r\theta \in {\mathbb {R} }^{N}}$, kus ${\displaystyle r\in [0,+\infty )}$, ${\displaystyle \theta \in S^{N-1}}$, on Lapalace'i operaatoril kuju

${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {N-1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\Delta _{S^{N-1}}f}$

kus ${\displaystyle \Delta _{S^{N-1}}}$ on Laplace'i-Beltrami operaator ${\displaystyle N-1}$ dimensionaalsel sfääril ehk sfääriline Laplace'i operaator.

Avaldise ${\displaystyle {\partial ^{2}f \over \partial r^{2}}+{\frac {N-1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}}$ võib asendada samaväärse avaldisega ${\displaystyle {\frac {1}{r^{N-1}}}{\frac {\partial }{\partial r}}{\Bigl (}r^{N-1}{\frac {\partial f}{\partial r}}{\Bigr )}.}$

Laplace'i operaator esineb paljudes olulistes diferentsiaalvõrrandites. Neist mõned on:

Laplace'i võrrand:

${\displaystyle \Delta f=0\,,}$

kusjuures selle võrrandi lahendeid nimetatakse harmoonilisteks funktsioonideks.

Biharmooniline võrrand:

${\displaystyle \Delta ^{2}f=0\,,}$

kusjuures selle võrrandi lahendeid nimetatakse biharmoonilisteks funktsioonideks.

Poissoni võrrand:

${\displaystyle \Delta f=-g\,,}$

kus g on teadaolev funktsioon.

Lainevõrrand:

${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}\,,}$

kus ${\displaystyle c}$ on laine liikumise kiirus.

Difusioonivõrrand:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}=k\Delta f}$

kus k on konstant.

Schrödingeri võrrand kvantmehaanikas:

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \phi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta \phi +V\phi \,,}$

kus ${\displaystyle \phi }$ on lainefunktsioon, ${\displaystyle \hbar }$on taandatud Plankci konstant, m on osakese mass ja ${\displaystyle V}$on potentsiaalne energia.

• Nabla-operaator
• Pierre-Simon Laplace

• Wolfram MathWorld, Laplacian (inglise keeles)