Edición de «Espiral logarítmica»

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Una '''[[espiral]] logarítmica''', '''espiral equiangular''' o '''espiral de crecimiento''' es una clase de [[curva]] [[espiral]] que aparece frecuentemente en la naturaleza. Su nombre proviene de la expresión de una de sus ecuaciones: <math> \theta = \log_{b} (r/a) \,</math>

[[Archivo:Espiral logaritmica-5g.svg|thumb|Espiral logarítmica (grado 5.º).]]

== Historia ==
[[Archivo:Basler Muenster Bernoulli.jpg|right|180px|thumb|Tumba de Bernoulli en Basilea.]]

El término espiral logarítmica se debe a [[Pierre Varignon]]. La espiral logarítmica fue estudiada por [[René Descartes|Descartes]] y [[Evangelista Torricelli|Torricelli]], pero la persona que le dedicó un libro fue [[Jakob Bernoulli]], que la llamó ''Spira mirabilis'' «la espiral maravillosa». D'Arcy Thompson le dedicó un capítulo de su tratado ''On Growth and Form''«Sobre crecimiento y forma» (1917).

Bernoulli escogió la figura de la espiral logarítmica como emblema y el [[epitafio]] en latín ''Eadem mutata resurgo'' ("Mutante y permanente, vuelvo a resurgir siendo el mismo") para su tumba; contrariamente a su deseo de que fuese tallada una espiral logarítmica (constante en el crecimiento de su radio), la [[espiral]] que tallaron los maestros canteros en su tumba fue una [[espiral de Arquímedes]] (constante en la diferencia de los radios). [http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Bernoulli_Jacob.html] La espiral logarítmica se distingue de la [[espiral de Arquímedes]] por el hecho de que las distancias entre su brazos se incrementan en [[progresión geométrica]], mientras que en una espiral de Arquímedes estas distancias son constantes.

''Eadem mutata resurgo'' y la espiral logarítmica es también el emblema del [[Colegio de Patafísica]].<ref>{{enlace roto|1=[http://gopher.mtholyoke.edu/lits/library/arch/col/rare/rarebooks/pataf.shtml Collège de 'pataphysique Collection] |2=http://gopher.mtholyoke.edu/lits/library/arch/col/rare/rarebooks/pataf.shtml |bot=InternetArchiveBot }}.</ref>

Jakob Bernoulli escribió que la espiral logarítmica ''puede ser utilizada como un símbolo, bien de fortaleza y constancia en la adversidad, o bien como símbolo del cuerpo humano, el cual, después de todos los cambios y mutaciones, incluso después de la muerte, será restaurado a su Ser perfecto y exacto.'' {{enlace roto|1=[http://ddrive.cs.dal.ca:9999/page/lvl3/42] |2=http://ddrive.cs.dal.ca:9999/page/lvl3/42 |bot=InternetArchiveBot }}

== Ecuaciones ==
[[Archivo:Logarithmic spiral 5d.gif|thumb|Espiral logarítmica 5.º]]
En [[coordenadas polares]] (''r'', θ) la fórmula de la curva puede escribirse como

:<math>r = a b^\theta \,</math>
o bien
:<math> \theta = \log_{b} (r/a) \,</math> , de aquí el nombre "[[logaritmo|logarítmica]]"

y en forma paramétrica como

:<math>x(\theta) = a b^\theta \cos(\theta)\,</math>
:<math>y(\theta) = a b^\theta \sen(\theta)\,</math>

con [[número real|números reales]] positivos ''a'' y ''b''. ''a'' es un factor de escala que determina el tamaño de la espiral, mientras ''b'' controla cuan fuerte y en que dirección está enrollada. Para ''|b|''&nbsp;>1 la espiral se expande con un incremento θ, y para ''|b|''&nbsp;<1 se contrae.

En [[geometría diferencial]], la espiral puede definirse como una curva ''c(t)'' con un ángulo constante α entre el radio y el vector tangente 
:<math>\arccos \frac{\langle \mathbf{c}(t), \mathbf{c}'(t) \rangle}{\|\mathbf{c}(t)\|\|\mathbf{c}'(t)\|} = \alpha </math>

Si ''α'' = 0 la espiral logarítmica degenera en una línea [[recta]].

Si ''α'' = ± π / 2 la espiral logarítmica degenera en una [[circunferencia]].

== Características ==
[[Archivo:Golden-Section.png|thumb|Espiral construida utilizando rectángulos con la [[proporción áurea]]. Resulta una aproximación a la espiral logarítmica.]]
Cualquier línea recta al origen cortará a la espiral logarítmica con el mismo ángulo α, que puede calcularse (en [[radian]]es) como arctan(1/[[logaritmo natural|ln]](''b'')). El ''grado'' de la espiral es el ángulo (constante) que la espiral posee con circunferencias centradas en el origen. Puede calcularse como arctan(ln(''b'')). Una espiral logarítmica de grado 0 (''b'' = 0) es una circunferencia; el caso límite es una espiral logarítmica de grado 90 (''b'' = 0 o ''b'' = ∞) es una línea recta desde el origen.

Comenzando en un punto ''P'' y moviéndose hacia dentro, a lo largo de la espiral, hay que rodear el origen infinitas veces antes de alcanzarlo; sin embargo, la distancia total de este camino es finita. El primero en darse cuenta de esto fue [[Evangelista Torricelli|Torricelli]] incluso antes de que se ideara el [[cálculo infinitesimal]]. La distancia total es ''r''/cos(α), donde ''r'' es la distancia en línea recta desde ''P'' al origen.

Se pueden construir espirales logarítmicas de grado 17,03239 utilizando la [[sucesión de Fibonacci]] o la [[Número áureo|proporción áurea]].

La espiral logarítmica se distingue de la [[espiral de Arquímedes]] por el hecho de que las distancias entre su brazos se incrementan en [[progresión geométrica]], mientras que en una espiral de Arquímedes estas distancias son constantes.

== Espirales logarítmicas en la naturaleza ==

Los brazos de las [[galaxia espiral|galaxias espirales]] son aproximadamente espirales logarítmicas. Nuestra propia galaxia, la [[Vía Láctea]], se cree que tiene cuatro brazos espirales mayores, cada uno de los cuales es una espiral logarítmica de unos 12 grados.

Los brazos de los [[ciclón tropical|ciclones tropicales]], como los huracanes, también forman espirales logarítmicas.

En [[biología]] son frecuentes las estructuras aproximadamente iguales a la espiral logarítmica, por ejemplo, las telas de [[araña]] y las conchas de muchos [[molusco|moluscos]]. La razón es la siguiente: comienza con una figura irregular ''F''0. Se aumenta ''F''0 en un cierto factor para obtener ''F''1, y se pone ''F''1 junto a ''F''0, de forma que se toquen dos lados. Se aumenta ''F''1 en el mismo factor para obtener ''F''2, y se pone junto a ''F''1, como antes. Repitiendo este proceso se genera aproximadamente una espiral logarítmica cuyo grado está determinado por el factor de expansión y el ángulo con que las figuras son puestas una al lado de otra.

El halcón se aproxima a su presa según una espiral logarítmica: su mejor visión está en ángulo con su dirección de vuelo; este ángulo es el mismo que el grado de la espiral.

Los insectos se aproximan a las luces artificiales según una espiral aproximadamente logarítmica, porque están acostumbrados a volar con un ángulo constante a las fuentes luminosas. Normalmente son el Sol o la Luna la única fuente de luz y volar de esta forma produce un vuelo en línea recta, ya que el [[Insecta|insecto]] no hace vuelos tan largos como para que la posición del Sol o la Luna cambie significativamente.

En [[geotecnia]], la superficie de [[falla]] es el [[lugar geométrico]] de los puntos en donde el suelo "se rompe" y permite un deslizamiento, al estar sometido a cargas mayores a la que puede soportar. Estas superficies de falla en muchos casos son iguales o aproximables a una espiral logarítmica.

También en los girasoles se encuentran repetidas espirales logarítmicas.

== Galería ==

<gallery mode="packed" style="text-align:left">
Archivo:Fractal471763.jpg|Fracción de un [[fractal]] [[Benoît Mandelbrot|Mandelbrot]].
Archivo:Ssc2003-06c.jpg|Imagen de la [[Galaxia de Bode]] (M81) por el [[Telescopio Espacial Spitzer]], en la que se puede observar polvo interestelar siguiendo aproximadamente una espiral logarítmica.
Archivo:Cyclone Catarina from the ISS on March 26 2004.JPG|[[Ciclón Catarina]], un infrecuente [[ciclón tropical del Atlántico Sur]] visto desde la [[Estación Espacial Internacional]]. Tiene unos unos brazos que se aproximan a la forma de una espiral logarítmica.
Archivo:Low pressure system over Iceland.jpg|Una borrasca sobre Islandia. El patrón que sigue se aproxima a la forma de una espiral logarítmica.
Archivo:NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg|Corte de la concha de un nautilus donde se aprecian las cámaras formando aproximadamente una espiral logarítmica.
Archivo:Openlogo-debianV2.svg|El símbolo de [[debian]] se parece a una espiral logarítmica.
</gallery>

== Véase también ==

* [[Espiral]]
* [[Espiral de Fermat]]
* [[Espiral de Ulam]]
* [[Espiral hiperbólica]]
* [[Fractal]]
* [[Número áureo]]
* [[Pentagrama (geometría)]]
* [[Número e]]

== Referencias ==
{{listaref}}

== Enlaces externos ==
{{Commonscat|Logarithmic spiral}}
* [https://web.archive.org/web/20150406015909/http://spiramirabilis.cl/ Spira Mirabilis: La Espiral Maravillosa aplicada a un grupo literario-cultural (Chile)]

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Espirales]]
[[Categoría:Logaritmos]]

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< > [ ] [[ ]] {{ }} {{{ }}} · —~~~~ ·  · [[Categoría: ]] · {{ORDENAR: }} · #REDIRECCIÓN[[ ]] · <gallery> </gallery> · <ref> </ref>

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categoría en Commons: Declaración: P1630
espiral logarítmica: Enlace de sitio, Some statements, Título, Descripción: es

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 Archivo:Low pressure system over Iceland.jpg|Una borrasca sobre Islandia. El patrón que sigue se aproxima a la forma de una espiral logarítmica.
 Archivo:NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg|Corte de la concha de un nautilus donde se aprecian las cámaras formando aproximadamente una espiral logarítmica.
-Archivo:Openlogo-debianV2.svg|El símbolo de [[Debian]] se parece a una espiral logarítmica.
+Archivo:Openlogo-debianV2.svg|El símbolo de [[debian]] se parece a una espiral logarítmica.
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