Velocidad de escape

El concepto de velocidad de escape tal y como se ha definido no es aplicable al cálculo de la velocidad inicial, o de lanzamiento, de móviles que se mueven bajo la influencia de otras fuerzas que favorecen su movimiento, como la propulsión, o que se le oponen, como la resistencia del aire. Pero sí cuando estas otras fuerzas están ausentes, tal y como sucede en la situación habitual de naves sin propulsión por encima de la atmósfera. En la astronáutica, en cualquier caso, la velocidad de escape rara vez es la velocidad objetivo hasta la cual deben acelerarse las naves para surcar el espacio. Se trata, por el contrario, de un límite superior al intervalo de velocidades que es necesario alcanzar una vez fuera de la atmósfera para iniciar el viaje espacial. De este modo, la velocidad de escape recibe el nombre de segunda velocidad cósmica, siendo el límite inferior, o primera velocidad cósmica, la mínima necesaria para entrar en órbita circular alrededor del astro, también conocida como velocidad circular.  

En el tercer volumen de los Principia de Newton (De Mundi Systemate) el científico inglés presenta el concepto de velocidad de escape mediante un ejemplo con un cañón que dispara proyectiles desde la cima de una montaña (ver figura), ejemplo en el cual se prescinde de la resistencia aerodinámica. Cuando el proyectil se lanza a una velocidad inferior a la velocidad circular, este colisiona contra la Tierra siguiendo una trayectoria parabólica. Cuando el proyectil se lanza a una velocidad igual a su velocidad circular, este entra en órbita alrededor de la Tierra siguiendo una trayectoria con forma de circunferencia. Cuando el proyectil se lanza a una velocidad superior a la velocidad circular, pero inferior a la de escape, este entra en órbita alrededor de la Tierra siguiendo una trayectoria elíptica, en la cual la Tierra ocupa el primer foco. Cuando el proyectil se lanza a una velocidad igual a la de escape, el segundo foco de esta elipse se encuentra en el infinito y, en consecuencia, se trata de una parábola. Cuando el proyectil se lanza a una velocidad superior a la de escape, este sigue una órbita abierta llamada hipérbola.

La velocidad de escape depende de la forma del potencial gravitatorio en que se encuentra el objeto, por lo que el planteamiento sería ligeramente distinto si este es impulsado desde el interior o el exterior del astro al cual se encuentra vinculado. En el exterior del astro la velocidad de escape puede expresarse explícitamente en función de la altura h sobre su superficie mediante la siguiente ecuación donde R es el radio del astro (r = R + h):

${\displaystyle v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{R+h}}}}$ .

La velocidad de escape desde la superficie de la Tierra es 11,19 km/s. A 200 km de altura sobre el nivel medio del mar, altitud que define la órbita terrestre estable más baja, es de 11,02 km/s. En este punto merece la pena indicar que la velocidad de escape del Sol a la distancia de la Tierra (una unidad astronómica) es de 42,04 km/s, esto es casi 4 veces la velocidad de escape de la propia Tierra. Así, un cuerpo proyectado por encima de la atmósfera a una velocidad superior a la velocidad de escape de la Tierra pero inferior a la del Sol a una unidad astronómica de distancia escaparía de la atracción terrestre pero no de la del Sol. Quedaría, por lo tanto, en órbita alrededor del Sol.

El mismo resultado se obtiene mediante un cálculo relativista, en cuyo caso la variable r representa la coordenada radial o circunferencia reducida de la métrica de Schwarzschild.^[7]​^[8]​

Definida un poco más formalmente, la "velocidad de escape" es la velocidad inicial requerida para ir desde un punto inicial en un campo de potencial gravitatorio hasta el infinito y terminar en el infinito con una velocidad residual de cero, sin ninguna aceleración adicional.^[9]​ Todas las velocidades se miden con respecto al campo. Además, la velocidad de escape en un punto del espacio es igual a la velocidad que tendría un objeto si partiera del reposo desde una distancia infinita y fuera atraído por la gravedad hasta ese punto.

En el uso común, el punto inicial está en la superficie de un planeta o luna. En la superficie de la Tierra, la velocidad de escape es de unos 11,2 km/s, que es aproximadamente 33 veces la velocidad del sonido (Mach 33) y varias veces la velocidad de salida de una bala de fusil (hasta 1,7 km/s). Sin embargo, a 9.000 km de altitud en el "espacio", es ligeramente inferior a 7,1 km/s. Esta velocidad de escape es relativa a un marco de referencia no giratorio, no relativa a la superficie en movimiento del planeta o de la luna (véase más adelante).

La velocidad de escape es independiente de la masa del objeto que escapa. No importa si la masa es de 1 kg o de 1.000 kg; lo que difiere es la cantidad de energía necesaria. Para un objeto de masa ${\displaystyle m}$  la energía necesaria para escapar del campo gravitatorio de la Tierra es GMm /  r, una función de la masa del objeto (donde r es el radio de la Tierra, nominalmente 6.371 kilómetros (3.959 mi), G es la constante de gravitación universal, y M es la masa de la Tierra, M = 5,9736 × 10²⁴ kg). Una cantidad relacionada es la energía orbital específica, que es esencialmente la suma de la energía cinética y potencial dividida por la masa. Un objeto ha alcanzado la velocidad de escape cuando la energía orbital específica es mayor o igual a cero.

Una expresión alternativa para la velocidad de escape ${\displaystyle v_{e}}$  particularmente útil en la superficie del cuerpo es:

${\displaystyle v_{e}={\sqrt {2gr\,}}}$ 

donde r es la distancia entre el centro del cuerpo y el punto en el que se está calculando la velocidad de escape y g es la aceleración de la gravedad a esa distancia (es decir, la gravedad superficial).^[10]​

Para un cuerpo con una distribución de masa esféricamente simétrica, la velocidad de escape ${\displaystyle v_{e}}$  desde la superficie es proporcional al radio suponiendo densidad constante, y proporcional a la raíz cuadrada de la densidad media ρ.

${\displaystyle v_{e}=Kr{\sqrt {\rho }}}$ 

donde ${\textstyle K={\sqrt {{\frac {8}{3}}\pi G}}\approx 2.364\times 10^{-5}{\text{ m}}^{1.5}{\text{ kg}}^{-0.5}{\text{ s}}^{-1}}$ 

Esta velocidad de escape es relativa a un marco de referencia no giratorio, no relativa a la superficie en movimiento del planeta o la luna, como se explica a continuación.

La velocidad de escape relativa a la superficie de un cuerpo en rotación depende de la dirección en la que se desplace el cuerpo en fuga. Por ejemplo, como la velocidad de rotación de la Tierra es de 465 m/s en el ecuador, un cohete lanzado tangencialmente desde el ecuador terrestre hacia el este requiere una velocidad inicial de unos 10,735 km/s relativa a la superficie en movimiento en el punto de lanzamiento para escapar, mientras que un cohete lanzado tangencialmente desde el ecuador terrestre hacia el oeste requiere una velocidad inicial de unos 11,665 km/s relativa a esa superficie en movimiento. La velocidad de la superficie disminuye con la coseno de la latitud geográfica, por lo que las instalaciones de lanzamiento espacial suelen situarse lo más cerca posible del ecuador, por ejemplo, la Cabo Cañaveral estadounidense (latitud 28°28′ N) y el Centro Espacial de la Guayana francesa (latitud 5°14′ N).

En la mayoría de las situaciones no es práctico alcanzar la velocidad de escape de forma casi instantánea, debido a la aceleración que implica, y también porque si hay atmósfera, las velocidades hipersónicas implicadas (en la Tierra una velocidad de 11,2 km/s, o 40.320 km/h) harían que la mayoría de los objetos se quemaran debido al calentamiento aerodinámico o fueran despedazados por la resistencia atmosférica. Para una órbita de escape real, una nave espacial acelerará constantemente fuera de la atmósfera hasta que alcance la velocidad de escape apropiada para su altitud (que será menor que en la superficie). En muchos casos, la nave puede colocarse primero en una órbita de estacionamiento (por ejemplo, una órbita terrestre baja a 160-2.000 km) y luego acelerarse hasta alcanzar la velocidad de escape a esa altitud, que será ligeramente inferior (unos 11,0 km/s en una órbita terrestre baja de 200 km). Sin embargo, el cambio de velocidad adicional necesario es mucho menor porque la nave ya tiene una velocidad orbital significativa (en la órbita terrestre baja la velocidad es de aproximadamente 7,8 km/s, o 28.080 km/h).

La velocidad de escape a una altura dada es ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$  veces la velocidad en una órbita circular a la misma altura, (compárese con la ecuación de la velocidad en órbita circular). Esto corresponde al hecho de que la energía potencial con respecto al infinito de un objeto en una órbita de este tipo es menos dos veces su energía cinética, mientras que para escapar la suma de energía potencial y cinética tiene que ser al menos cero. La velocidad correspondiente a la órbita circular se denomina a veces primera velocidad cósmica, mientras que en este contexto la velocidad de escape se denomina segunda velocidad cósmica'.^[11]​

Para un cuerpo en una órbita elíptica que desee acelerar hasta una órbita de escape, la velocidad requerida variará, y será mayor en periapsis cuando el cuerpo esté más cerca del cuerpo central. Sin embargo, la velocidad orbital del cuerpo también será máxima en este punto, y el cambio de velocidad necesario será mínimo, como explica el efecto Oberth.

La velocidad de escape puede medirse con respecto al otro cuerpo central o con respecto al centro de masa o baricentro del sistema de cuerpos. Así, para sistemas de dos cuerpos, el término velocidad de escape puede ser ambiguo, pero normalmente se refiere a la velocidad de escape baricéntrica del cuerpo menos masivo. La velocidad de escape suele referirse a la velocidad de escape de partículas de prueba de masa cero. Para partículas de prueba de masa cero tenemos que las velocidades de escape 'relativa a la otra' y 'baricéntrica' son iguales, a saber ${\displaystyle v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{d}}}.}$ .
Pero cuando no podemos despreciar la masa menor (digamos ${\displaystyle m}$ ) llegamos a fórmulas ligeramente distintas.
Debido a que el sistema tiene que obedecer la ley de conservación del momento vemos que tanto la masa mayor como la menor deben ser aceleradas en el campo gravitatorio. En relación con el centro de masa, la velocidad de la masa mayor (${\displaystyle v_{p}}$  , para planeta) puede expresarse en términos de la velocidad de la masa menor (${\displaystyle v_{r}}$ , para cohete). Se obtiene ${\displaystyle v_{p}=-{\frac {m}{M}}v_{r}}$ .
La velocidad de escape 'baricéntrica' se convierte ahora en : ${\displaystyle v_{r}={\sqrt {\frac {2GM^{2}}{d(M+m)}}}\approx {\sqrt {\frac {2GM}{d}}}}$  mientras que la velocidad de escape "relativa a la otra" se convierte en : ${\displaystyle v_{r}-v_{p}={\sqrt {\frac {2G(m+M)}{d}}}\approx {\sqrt {\frac {2GM}{d}}}}$ .

La velocidad de escape se puede deducir a partir de consideraciones puramente energéticas usando las siguientes fórmulas clásicas relacionadas con la energía cinética y potencial:

${\displaystyle E_{\text{c}}={\frac {1}{2}}mv^{2}\qquad E_{\text{p}}=-G{\frac {Mm}{r}}}$ 

El principio de conservación de la energía, al que imponemos la condición de que el objeto se aleje hasta una distancia infinita y quede en reposo, nos permite escribir:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}m{v_{e}}^{2}-G{\frac {Mm}{r}}\;=\;0}$ 

de modo que:

${\displaystyle v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}={\sqrt {2gr}}}$ 

donde:

• v_e es la velocidad de escape.
• G es la constante de gravitación universal (6.672×10⁻¹¹ N m²/kg²).
• M es la masa del astro.
• m es la masa del móvil.
• r es la distancia que separa los centros de masas del móvil y el astro.
• g es la intensidad del campo gravitatorio. En la superficie de la Tierra se toma g = 9.81 m/s².

El mismo resultado se obtiene mediante un cálculo relativista en el cual r representa la coordenada radial o circunferencia reducida de la métrica de Schwarzschild.

• Velocidad orbital
• Anexo:Datos de los planetas del sistema solar
• Bala de cañón de Newton

1. ↑ La energía potencial gravitatoria es negativa ya que la gravedad es una fuerza de atracción y la energía potencial se ha definido para este propósito como cero a una distancia infinita del centro de gravedad.
2. ↑ El valor GM se denomina parámetro gravitatorio estándar, o μ, y a menudo se conoce con más precisión que G o M por separado.

• Ortega, Manuel R. (1989-2006). Lecciones de Física (4 volúmenes). Monytex. ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7. 
• Resnick, Robert & Halliday, David (2004). Física 4ª. CECSA, México. ISBN 970-24-0257-3.