Teorema de Okishio

El argumento de Nobuo Okishio, economista japonés, se basa en el modelo de Sraffa. La economía se compone de dos departamentos de I y II, donde I es el departamento de inversión en mercancías (medios de producción) y II es el departamento de bienes de consumo, donde se producen los bienes de consumo para los trabajadores. Los coeficientes de producción expresan cuantos de los diversos insumos son necesarios para producir una unidad de producción de un determinado producto ("producción de mercancías por medio de mercancías"). En el modelo existen dos outputs ${\displaystyle x_{1}}$ , la cantidad de bienes de inversión, y ${\displaystyle x_{2}}$ , la cantidad de bienes de consumo.

Los coeficientes de producción están definidos como:

• ${\displaystyle a_{11}}$ : cantidad de bienes de inversión necesarios para producir una unidad de bienes de inversión.
• ${\displaystyle a_{21}}$ : cantidad de horas de trabajo necesarias para producir una unidad de bienes de inversión.
• ${\displaystyle a_{12}}$ : cantidad de bienes de inversión necesarios para producir una unidad de bienes de consumo.
• ${\displaystyle a_{22}}$ : cantidad de horas de trabajo necesarias para producir una unidad de bienes de consumo.

El trabajador recibe un salario a una tasa w por unidad de trabajo, que está definida por una cierta cantidad de bienes de consumo. Por tanto:

• ${\displaystyle w\cdot a_{21}}$ : cantidad de bienes de consumo necesarios para producir una unidad de bienes de inversión.
• ${\displaystyle w\cdot a_{22}}$ : cantidad de bienes de consumo necesarios para producir una unidad de bienes de consumo.

La siguiente tabla describe la economía:

	Input ${\displaystyle x_{1}}$	Input ${\displaystyle x_{2}}$	Output
Departamento I	${\displaystyle a_{11}x_{1}}$	${\displaystyle a_{21}wx_{1}}$	${\displaystyle x_{1}}$
Departamento II	${\displaystyle a_{12}x_{2}}$	${\displaystyle a_{22}wx_{2}}$	${\displaystyle x_{2}}$

Esto es equivalente a las siguientes ecuaciones:

${\displaystyle (a_{11}x_{1}p_{1}+a_{21}wx_{1}p_{2})(1+r)=x_{1}p_{1}}$ 

${\displaystyle (a_{12}x_{2}p_{1}+a_{22}wx_{2}p_{2})(1+r)=x_{2}p_{2}}$ 

• ${\displaystyle p_{1}}$ : precio del bien de inversión ${\displaystyle x_{1}}$ 
• ${\displaystyle p_{2}}$ : precio del bien de consumo ${\displaystyle x_{2}}$ *${\displaystyle r}$ : Tasa general de ganancia. Debido a la tendencia, descrita por Marx, de las tasas de ganancia a igualar entre las ramas (en este caso, los departamentos) se creará una tasa general de ganancia para la economía en su conjunto.

En el departamento I, los gastos por bienes de inversión o por capital constante son:

• ${\displaystyle a_{11}x_{1}p_{1}}$  y para el capital variable:
• ${\displaystyle a_{21}wx_{1}p_{2}}$ .

En el departamento II, los gastos de capital constante son:

${\displaystyle a_{12}x_{2}p_{1}}$ 

'y para el capital variable:

${\displaystyle a_{22}wx_{2}p_{2}.}$ 

El capital constante y variable del conjunto de la economía es una suma ponderada de estos capitales de los dos departamentos. Véanse más adelante las magnitudes relativas de los dos departamentos que sirven de ponderación para sumar los capitales constantes y variables). Tomando ahora los siguientes supuestos:

• ${\displaystyle p_{2}=1}$ : El bien de consumo ${\displaystyle x_{2}}$  debe ser el Numéraire, el precio del bien de consumo ${\displaystyle p_{2}}$  se establece por lo tanto igual a 1.
• Se supone que el salario real es ${\displaystyle w=2p_{2}=2,}$ 
• Por último, el sistema de ecuaciones se normaliza estableciendo las salidas ${\displaystyle x_{1}}$  y ${\displaystyle x_{2}}$  iguales a 1, respectivamente.

Okishio, siguiendo la tradición marxista, supone una tasa de salario real constante igual al valor de la fuerza de trabajo, es decir, el salario debe permitir la compra de una cesta de bienes necesarios para que los investigadores puedan reproducir su fuerza de trabajo de consumo. Por lo tanto, en este ejemplo se supone que los trabajadores obtienen dos unidades de bienes de consumo por hora de mano de obra con el fin de reproducir su fuerza de trabajo. Una técnica de producción se define de acuerdo a Sraffa por sus coeficientes de producción. Para una técnica, por ejemplo, podría ser numéricamente especificado por los siguientes coeficientes de producción:

• ${\displaystyle a_{11}=0.8}$ : cantidad de bienes de inversión necesarios para producir una unidad de bienes de inversión.
• ${\displaystyle a_{21}=0,1}$ : cantidad de horas de trabajo necesarias para producir una unidad de bienes de inversión.
• ${\displaystyle a_{12}=0.4}$ : cantidad de bienes de inversión necesarios para producir una unidad de bienes de consumo.
• ${\displaystyle a_{22}=0.1}$ : cantidad de horas de trabajo necesarias para producir una unidad de bienes de consumo.

A partir de esto, se puede calcular una trayectoria de crecimiento de equilibrio. El precio de los bienes de inversión se calcula de la siguiente manera (no se muestra aquí): ${\displaystyle p_{1}=1,78}$ , y la tasa de beneficio es: ${\displaystyle r=0,0961=9,61\%}$ . El sistema de ecuaciones de equilibrio es:

• ${\displaystyle (0.8\cdot 1\cdot 1.78+0.1\cdot 2\cdot 1\cdot 1)\cdot (1+0.0961)=1\cdot 1.78}$ 
• ${\displaystyle (0.4\cdot 1\cdot 1.78+0.1\cdot 2\cdot 1\cdot 1)\cdot (1+0.0961)=1\cdot 1}$