Idempotencia

Formalmente, si ${\displaystyle S}$  es un magma, es decir, un conjunto con una operación binaria ${\displaystyle *}$ , entonces un elemento ${\displaystyle s\in S}$  se dice idempotente si ${\displaystyle s*s=s}$ . Si todo ${\displaystyle s}$  fuese idempotente bajo ${\displaystyle *}$ , entonces la operación en sí se denominaría operación idempotente. En particular, cualquier elemento identidad es un idempotente bajo *.

En álgebra conjuntista, las operaciones de unión e intersección de conjuntos son idempotentes. En efecto, la unión o intersección de un conjunto consigo mismo, entregan como resultado el conjunto mismo.

Análogamente, en álgebra booleana, los operadores Y (and, ${\displaystyle \land }$ ) y O (or, ${\displaystyle \lor }$ ) son idempotentes. En efecto, si V=Verdadero, F=Falso: ${\displaystyle {\mbox{V}}\land {\mbox{V}}={\mbox{V}},\;\;{\mbox{V}}\lor {\mbox{V}}={\mbox{V}}}$ . Análogamente para F.

En álgebra lineal, la proyección es idempotente. Es decir, cualquier matriz que proyecta todos los vectores sobre un subespacio V (no necesariamente ortogonalmente) es idempotente, si V mismo está fijo punto por punto.

Una función ${\displaystyle f:M\to M}$  de un conjunto ${\displaystyle M}$  a sí mismo se llama idempotente si se cumple que para la composición de funciones:

${\displaystyle f\circ f=f}$ , es decir, ${\displaystyle \forall x\in M,\;f(f(x))=f(x)}$ .

Esto es equivalente a decir que:

${\displaystyle f(x)=x\,\quad \forall x\in f(M)}$ 

Ejemplos triviales de funciones idempotentes en S son la función identidad y las funciones constantes. Ejemplos menos triviales son el valor absoluto y la función que asigna a cada subconjunto U de un cierto espacio topológico X la clausura de U. La última es una función idempotente en el conjunto de partes de X. Es un ejemplo de operador de clausura; pero no todos los operadores de clausura son funciones idempotentes.

Toda función constante es idempotente. Una función ${\displaystyle f:M\to M}$  general es idempotente si satisface dos condiciones:

1. Tiene puntos fijos, es decir, el conjunto de puntos fijos no es vacío: ${\displaystyle \mathrm {fix} (f):=\{x\in M|\ f(x)=x\}\neq \varnothing }$ 
2. El conjunto imagen de la función está incluido en el conjunto de puntos fijos : ${\displaystyle \mathrm {im} (f)\subset \mathrm {fix} (f)}$ .

Un anillo en el cual la multiplicación es idempotente (${\displaystyle x\times x=x}$ ) se llama anillo de Boole. Puede ser demostrado que en cada tal anillo, la multiplicación es conmutativa, y cada elemento es su propio inverso aditivo.

• Nilpotente
• Involución (matemática)
• Matriz idempotente

• Weisstein, Eric W. «Idempotent». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.