Diferencia entre revisiones de «Geometría analítica»

Se conoce como geometría analítica al estudio de ciertos objetos geométricos mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Se podría decir que es el desarrollo histórico que comienza con la geometría cartesiana y concluye con la aparición de la geometría diferencial con Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica.

Los dos problemas fundamentales de la geometría analítica son:

1.- Dado el lugar geométrico en un sistema de coordenadas, obtener su ecuación.

2.- Dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica o lugar geométrico de los puntos que la cumplen.

Lo novedoso de la Geometría Analítica es que permite representar figuras geométricas mediante fórmulas del tipo ${\displaystyle f(x,y)=0}$, donde ${\displaystyle f}$ representa una función u otro tipo de expresión matemática. En particular, las rectas pueden expresarse como ecuaciones polinómicas de grado 1 (v.g.: ${\displaystyle 2x+6y=0}$) y las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones polinómicas de grado 2 (v.g.: la circunferencia ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=4}$, la hipérbola ${\displaystyle xy=1}$ ).

En un sistema de coordenadas cartesianas, un punto del plano queda determinado por dos números, llamados "abscisa" y "ordenada" del punto. Mediante ese procedimiento a todo punto del plano corresponden siempre dos números reales ordenados (abscisa y ordenada), y recíprocamente, a un par ordenado de números corresponde un único punto del plano. Consecuentemente el sistema cartesiano establece una correspondencia biunívoca entre un concepto geométrico como es el de los puntos del plano y un concepto algebraico como son los pares ordenados de números. Esta correspondencia constituye el fundamento de la Geometría Analítica.

Con la Geometría Analítica se puede determinar figuras geométricas planas por medio de ecuaciones e inecuaciones con dos incógnitas. Éste es un método alternativo de resolución de problemas, o cuando menos nos proporciona un nuevo punto de vista con el cual poder atacar el problema.

En un plano traza dos rectas perpendiculares (ejes) —que por convenio se trazan de manera que una de ellas sea horizontal y la otra vertical—, y cada punto del plano queda unívocamente determinado por las distancias de dicho punto a cada uno de los ejes, siempre y cuando se dé también un criterio para determinar sobre qué semiplano determinado por cada una de las rectas hay que tomar esa distancia, criterio que viene dado por un signo. Ese par de números, las coordenadas, quedará representado por un par ordenado ${\displaystyle (x,y)}$, siendo ${\displaystyle x}$ la distancia a uno de los ejes (por convenio será la distancia al eje vertical) e ${\displaystyle y}$ la distancia al otro eje (al horizontal).

En la coordenada ${\displaystyle x}$, el signo positivo (que suele omitirse) significa que la distancia se toma hacia la derecha del eje horizontal (eje de las abscisas), y el signo negativo (nunca se omite) indica que la distancia se toma hacia la izquierda. Para la coordenada ${\displaystyle y}$, el signo positivo (también se suele omitir) indica que la distancia se toma hacia arriba del eje vertical (eje de ordenadas), tomándose hacia abajo si el signo es negativo (tampoco se omite nunca en este caso). A la coordenada ${\displaystyle x}$ se la suele denominar abscisa del punto, mientras que a la ${\displaystyle y}$ se la denomina ordenada del punto.

Los puntos del eje de abscisas tienen por lo tanto ordenada igual a ${\displaystyle 0}$, así que serán de la forma ${\displaystyle (x,0)}$, mientras que los del eje de ordenadas tendrán abscisa igual a ${\displaystyle 0}$, por lo que serán de la forma ${\displaystyle (0,y)}$.

El punto donde ambos ejes se cruzan tendrá por lo tanto distancia ${\displaystyle 0}$ a cada uno de los ejes, luego su abscisa será ${\displaystyle 0}$ y su ordenada también será ${\displaystyle 0}$. A este punto —el ${\displaystyle (0,0)}$— se le denomina origen de coordenadas.

Una recta es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano tales que, tomados dos cualesquiera de ellos, el cálculo de la pendiente resulta siempre igual a una constante.

La ecuación general de la recta es de la forma:

${\displaystyle Ax+By+C=0\,}$

cuya pendiente es m = -A/B y cuya ordenada al origen es b = -C/B.

Una recta en el plano se representa con la función polinómica de primer grado de la forma:

${\displaystyle y=mx+b\,}$

como expresión general, Esta es conocida como ecuación pendiente-ordenada al origen y podemos distinguir dos casos particulares. Si una recta no corta a uno de los ejes, será porque es paralela a él. Como los dos ejes son perpendiculares, si no corta a uno de ellos forzosamente ha de cortar al otro (siempre y cuando la función sea continua para todos los reales). Tenemos pues tres casos:

Rectas oblicuas.	Rectas horizontales.	Rectas verticales.

• Rectas verticales, estas rectas no cortan al eje de ordenadas y son paralelas a dicho eje y se denominan rectas verticales. El punto de corte con el eje de abscisas es el punto ${\displaystyle (x_{0},0)}$. La ecuación de dichas rectas es:

${\displaystyle x=x_{0}\,}$

• Rectas horizontales, estar rectas no cortan al eje de las abscisas y, por tanto, son paralelas a dicho eje y se denominan rectas horizontales. El punto de corte con el eje de ordenadas es el punto ${\displaystyle (0,y_{0})}$. La ecuación de dichas rectas es:

${\displaystyle y=y_{0}\,}$

• Rectas oblicuas. Cualquier otro tipo de recta recibe el nombre de recta oblicua. En ellas hay un punto de corte con el eje de abscisas ${\displaystyle (a,0)}$ y otro punto de corte con el eje de ordenadas ${\displaystyle (0,b)}$. El valor ${\displaystyle a}$ recibe el nombre de abscisa en el origen, mientras que el ${\displaystyle b}$ se denomina ordenada en el origen.

El resultado de la intersección de la superficie de un cono, con un plano, da lugar a lo que se denominan secciones cónicas, que son: la parábola, la elipse (la circunferencia es un caso particular de elipse) y la hipérbola.

• La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

Una parábola (Figura A) cuyo eje de simetría sea paralelo al eje de abcisas se expresa mediante la ecuación:

${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c\,}$

• Elipse es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es siempre igual a una constante positiva, e igual a la distancia entre los vértices.

Una elipse (Figura B) centrada en los ejes, con longitudes de semieje a y b viene dada por la expresión:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,}$

• Si los dos ejes son iguales y los llamamos c:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{c^{2}}}+{\frac {y^{2}}{c^{2}}}=1\,}$

el resultado es una circunferencia:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=c^{2}\,}$

• La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia (resta) de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es siempre igual a una constante positiva, e igual a la distancia entre los vértices.

La hipérbola (Figura C) tiene por expresión:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

Los razonamientos sobre la construcción de los ejes coordenados son igualmente válidos para un punto en el espacio y una terna ordenada de números, sin más que introducir una tercera recta perpendicular a los ejes X e Y: el eje Z.

Sin embargo no hay análogo al importantísimo concepto de pendiente de una recta. Una única ecuación lineal del tipo:

${\displaystyle ax+by+cz=0}$

Representa en el espacio un plano. Si se pretende representar mediante ecuaciones una recta en el espacio tridimensional necesitaremos especificar, no una, sino dos ecuaciones lineales como las anteriores. De hecho toda recta se puede escribir como interesección de dos planos. Así una recta en el espacio podría quedar representada como:

${\displaystyle {\begin{cases}a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_{1}\\a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_{2}\end{cases}}}$

Es importante notar que la representación anterior no es única, ya que una misma recta puede expresarse como la intersección de diferentes pares de planos. Por ejemplo los dos pares de ecuaciones:

Desde el punto de vista de la clasificación de Klein de las geometrías (el Programa de Erlangen), la geometría analítica no es una geometría propiamente dicha.

Desde el punto de vista didáctico, la geometría analítica resulta un puente indispensable entre la geometría euclidiana y otras ramas de la matemática y de la propia geometría, como son el propio análisis matemático, el álgebra lineal, la geometría afín, la geometría diferencial o la geometría algebraica.

Existe una cierta controversia sobre la verdadera paternidad de este método. Lo único cierto es que se publica por primera vez como "Geometría analítica", apéndice al Discurso del método, de Descartes, si bien se sabe que Pierre de Fermat conocía y utilizaba el método antes de su publicación por Descartes. Aunque Omar Khayyam ya en el siglo XI utilizara un método muy parecido para determinar ciertas intersecciones entre curvas, es imposible que alguno de los citados matemáticos franceses tuvieran acceso a su obra.

El nombre de geometría analítica corrió parejo al de geometría cartesiana, y ambos son indistinguibles. Hoy en día, paradójicamente, se prefiere denominar geometría cartesiana al apéndice del Discurso del método, mientras que se entiende que geometría analítica comprende no sólo a la geometría cartesiana (en el sentido que acabamos de citar, es decir, al texto apéndice del Discurso del método), sino también todo el desarrollo posterior de la geometría que se base en la construcción de ejes coordenados y la descripción de las figuras mediante funciones —algebraicas o no— hasta la aparición de la geometría diferencial de Gauss (decimos "paradójicamente" porque se usa precisamente el término "geometría cartesiana" para aquello que el propio Descartes bautizó como "geometría analítica"). El problema es que durante ese periodo no existe una diferencia clara entre geometría analítica y análisis matemático —esta falta de diferencia se debe precisamente a la identificación hecha en la época entre los conceptos de función y curva—, por lo que resulta a veces muy difícil intentar determinar si el estudio que se está realizando corresponde a una u otra rama.

La geometría diferencial de curvas sí que permite un estudio mediante un sistema de coordenadas, ya sea en el plano o en el espacio tridimensional. Pero en el estudio de las superficies, en general, aparecen serios obstáculos. Gauss salva dichos obstáculos creando la geometría diferencial, y marcando con ello el fin de la geometría analítica como disciplina. Es con el desarrollo de la geometría algebraica cuando se puede certificar totalmente la superación de la geometría analítica.

Es de puntualizar que la denominación de analítica dada a esta forma de estudiar la geometría provocó que la anterior manera de estudiarla (es decir, la manera axiomático-deductiva, sin la intervención de coordenadas) se terminara denominando, por oposición, geometría sintética, debido a la dualidad análisis-síntesis.

Actualmente el término geometría analítica sólo es usado en enseñanzas medias o en carreras técnicas en las que no se realiza un estudio profundo de la geometría.

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• Construya objetos de la geometría analítica

1. Tortosa Grau, Leandro (12 de 2008). Introducción a la geometría analítica (1 edición). Torres Gosálvez, Ramón. p. 460. ISBN 978-84-95434-50-0.  La referencia utiliza el parámetro obsoleto |mes= (ayuda)
2. Berdugo, Isabel (1964- ) (12 de 2007). Geometría analítica para la distensión (1 edición). Asociación Cultural Tántalo. p. 100. ISBN 978-84-935334-4-1.  La referencia utiliza el parámetro obsoleto |mes= (ayuda)
3. Martín Aláez, Pedro (12 de 2007). Notas de geometría analítica (1 edición). PREMIR Oposiciones Médicas S.L. p. 163. ISBN 978-84-612-0960-6.  La referencia utiliza el parámetro obsoleto |mes= (ayuda)
4. Colera Jiménez, José (11 de 2007). Matemáticas II, geometría analítica del espacio, Bachillerato. Ejercicio 9 (1 edición). Anaya. p. 48. ISBN 978-84-667-2215-5.  La referencia utiliza el parámetro obsoleto |mes= (ayuda)
5. Colera Jiménez, José (06 de 2002). Matemáticas, geometría analítica plana, 1 Bachillerato. Cuaderno 3 (1 edición). Anaya. p. 56. ISBN 978-84-667-1369-6.  La referencia utiliza el parámetro obsoleto |mes= (ayuda)
6. Alcaide Guindo, Fernando (03 de 2007). Matemáticas, geometría analítica, 4 ESO. Cuaderno de trabajo (1 edición). Ediciones SM. p. 48. ISBN 978-84-675-1508-4.  La referencia utiliza el parámetro obsoleto |mes= (ayuda)
7. Rees, Paul K. (11 de 1972). Geometría analítica (1 edición). Editorial Reverté, S.A. p. 292. ISBN 978-84-291-5110-7.  La referencia utiliza el parámetro obsoleto |mes= (ayuda)
8. Ríos Santos, Agustín (05 de 2004). Geometría analítica (1 edición). Editorial Ecir, S.A. p. 48. ISBN 978-84-7065-858-7.  La referencia utiliza el parámetro obsoleto |mes= (ayuda)
9. Colera Jiménez, José (03 de 2004). Geometria analítica de l'espai, matemàtiques, Batxillerat. Exercicis (en catalán) (1 edición). Editorial Barcanova, S.A. p. 48. ISBN 978-84-489-1559-9.  La referencia utiliza el parámetro obsoleto |mes= (ayuda)
10. Bellón Fernández, Manuel (02 de 2004). Matemáticas, geometría analítica, 4 ESO. Cuaderno 5 (1 edición). Ediciones SM. p. 32. ISBN 978-84-348-8031-3.  La referencia utiliza el parámetro obsoleto |mes= (ayuda)
11. Ruiz Sancho, Jesús María (02 de 2004). Geometría analítica, Bachillerato (1 edición). Anaya. p. 160. ISBN 978-84-667-2612-2.  La referencia utiliza el parámetro obsoleto |mes= (ayuda)
12. González Urbaneja, Pedro Miguel (01 de 2004). Los orígenes de la geometría analítica (1 edición). Fundación Canaria Orotava de Historia de la Ciencia. p. 166. ISBN 978-84-607-9668-8.  La referencia utiliza el parámetro obsoleto |mes= (ayuda)