Anexo:Grupos de simetría esférica

Grupos de puntos en tres dimensiones

Simetría involutiva Cs, (*) [ ] =	Simetría cíclica Cnv, (*nn) [n] =	Simetría diédrica Dnh, (*n22) [n,2] =
Grupo poliédrico, [n,3], (*n32)
Simetría tetraédrica Td, (*332) [3,3] =	Simetría octaédrica Oh, (*432) [4,3] =	Simetría icosaédrica Ih, (*532) [5,3] =

Los grupos de simetría esférica finita también se denominan grupos de puntos en tres dimensiones. Hay cinco clases de simetría que tienen dominios fundamentales triangulares: diédrico, cíclico, tetraédrico, octaédrico e icosaédrico.

Este artículo enumera los grupos utilizando la notación de Schoenflies, la notación de Coxeter,^[1]​ y la notación orbifold,^[2]​ y también figura su orden. John Conway utilizó una variación de la notación Schoenflies, basada en la estructura algebraica de los grupos de los cuaterniones, etiquetada con una o dos letras mayúsculas y subíndices de números enteros. El orden del grupo se define como el subíndice, a menos que el orden se duplique para los símbolos con un prefijo más o menos, "±", lo que implica una simetría central.^[3]​

También se proporciona la notación de Hermann-Mauguin (notación internacional). Los grupos cristalográficos, 32 en total, son un subconjunto con elementos de orden 2, 3, 4 y 6.^[4]​

Hay cuatro grupos de simetría involutivas: sin simetría (C₁), simetría especular (C_s), simetría rotacional doble (C₂) y simetría central (C_i).

Internac.	Geo	Orbifold	Schöenflies	Conway	Coxeter	Orden	Abstracto	Dominio fundamental
1	1	11	C1	C1	][ [ ]+	1	Z1
2	2	22	D1 = C2	D2 = C2	[2]+	2	Z2
1	22	×	Ci = S2	CC2	[2+,2+]	2	Z2
2 = m	1	*	Cs = C1v = C1h	±C1 = CD2	[ ]	2	Z2

Hay cuatro familias de simetría cíclica infinitas, con n = 2 o superior. (n puede ser 1 como un caso especial, como sin simetría)

Internac.	Geo	Orbifold	Schöenflies	Conway	Coxeter	Orden	Abstracto	Dominio fundamental
4	42	2×	S4	CC4	[2+,4+]	4	Z4
2/m	22	2*	C2h = D1d	±C2 = ±D2	[2,2+] [2+,2]	4	Z4

Internac.	Geo	Orbifold	Schöenflies	Conway	Coxeter	Orden	Abstracto	Dominio fundamental
2 3 4 5 6 n	2 3 4 5 6 n	22 33 44 55 66 nn	C2 C3 C4 C5 C6 Cn	C2 C3 C4 C5 C6 Cn	[2]+ [3]+ [4]+ [5]+ [6]+ [n]+	2 3 4 5 6 n	Z2 Z3 Z4 Z5 Z6 Zn
2mm 3m 4mm 5m 6mm nm (n es impar) nmm (n es par)	2 3 4 5 6 n	*22 *33 *44 *55 *66 *nn	C2v C3v C4v C5v C6v Cnv	CD4 CD6 CD8 CD10 CD12 CD2n	[2] [3] [4] [5] [6] [n]	4 6 8 10 12 2n	D4 D6 D8 D10 D12 D2n
3 8 5 12 -	62 82 10.2 12.2 2n.2	3× 4× 5× 6× n×	S6 S8 S10 S12 S2n	±C3 CC8 ±C5 CC12 CC2n / ±Cn	[2+,6+] [2+,8+] [2+,10+] [2+,12+] [2+,2n+]	6 8 10 12 2n	Z6 Z8 Z10 Z12 Z2n
3/m=6 4/m 5/m=10 6/m n/m	32 42 52 62 n2	3* 4* 5* 6* n*	C3h C4h C5h C6h Cnh	CC6 ±C4 CC10 ±C6 ±Cn / CC2n	[2,3+] [2,4+] [2,5+] [2,6+] [2,n+]	6 8 10 12 2n	Z6 Z2×Z4 Z10 Z2×Z6 Z2×Zn ≅Z2n (n impar)

Hay tres familias de simetría diédrica infinitas, con n = 2 o superior (n puede ser 1 como caso especial).

Internac.	Geo	Orbifold	Schöenflies	Conway	Coxeter	Orden	Abstracto	Dominio fundamental
222	2.2	222	D2	D4	[2,2]+	4	D4
42m	42	2*2	D2d	DD8	[2+,4]	8	D4
mmm	22	*222	D2h	±D4	[2,2]	8	Z2×D4

Internac.	Geo	Orbifold	Schöenflies	Conway	Coxeter	Orden	Abstracto	Dominio fundamental
32 422 52 622	3.2 4.2 5.2 6.2 n.2	223 224 225 226 22n	D3 D4 D5 D6 Dn	D6 D8 D10 D12 D2n	[2,3]+ [2,4]+ [2,5]+ [2,6]+ [2,n]+	6 8 10 12 2n	D6 D8 D10 D12 D2n
3m 82m 5m 12.2m	62 82 10.2 12.2 n2	2*3 2*4 2*5 2*6 2*n	D3d D4d D5d D6d Dnd	±D6 DD16 ±D10 DD24 DD4n / ±D2n	[2+,6] [2+,8] [2+,10] [2+,12] [2+,2n]	12 16 20 24 4n	D12 D16 D20 D24 D4n
6m2 4/mmm 10m2 6/mmm	32 42 52 62 n2	*223 *224 *225 *226 *22n	D3h D4h D5h D6h Dnh	DD12 ±D8 DD20 ±D12 ±D2n / DD4n	[2,3] [2,4] [2,5] [2,6] [2,n]	12 16 20 24 4n	D12 Z2×D8 D20 Z2×D12 Z2×D2n ≅D4n (n impar)

Hay tres tipos de simetría poliédrica: la simetría tetraédrica, la simetría octaédrica y la simetría icosaédrica, llamados así por los poliedros regulares de caras triangulares con estas simetrías.

Internac.	Geo	Orbifold	Schöenflies	Conway	Coxeter	Orden	Abstracto	Dominio fundamental
23	3.3	332	T	T	[3,3]+ = [4,3+]+	12	A4
m3	43	3*2	Th	±T	[4,3+]	24	2×A4
43m	33	*332	Td	TO	[3,3] = [1+,4,3]	24	S4

Internac.	Geo	Orbifold	Schöenflies	Conway	Coxeter	Orden	Abstracto	Dominio fundamental
432	4.3	432	O	O	[4,3]+ = [[ 3,3]]+	24	S4
m3m	43	*432	Oh	±O	[4,3] = [[ 3,3]]	48	2×S4

Internac.	Geo	Orbifold	Schöenflies	Conway	Coxeter	Orden	Abstracto	Dominio fundamental
532	5.3	532	I	I	[5,3]+	60	A5
532/m	53	*532	Ih	±I	[5,3]	120	2×A5

• Grupo de puntos cristalográficos
• Grupo triangular
• Anexo:Grupos de simetría plana
• Grupos de puntos en dos dimensiones

• Peter R. Cromwell, Polyhedra (1997), Appendix I
• Sands, Donald E. (1993). «Crystal Systems and Geometry». Introduction to Crystallography. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. p. 165. ISBN 0-486-67839-3. 
• On Quaternions and Octonions, 2003, John Horton Conway and Derek A. Smith ISBN 978-1-56881-134-5
• The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, ISBN 978-1-56881-220-5
• Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
  • (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
  • (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
  • (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, Table 11.4 Finite Groups of Isometries in 3-space

• Grupos de simetría esférica finita
• Weisstein, Eric W. «Schoenflies symbol». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric W. «Crystallographic point groups». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Poliedros canónicos más simples de cada tipo de simetría, por David I. McCooey