Logaritma integrala funkcio

La logaritma integralo havas integrala prezento difinita por ĉiuj pozitivaj reelaj nombroj ${\displaystyle x\neq 1}$  per la difinita integralo:

${\displaystyle {\rm {li}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\ln(t)}}\,dt}$ 

Ĉi tie, ln estas la natura logaritmo. La funkcio 1/ln (t) havas specialaĵon je t=1, kaj la integralo por x>1 estas interpretita kiel koŝia ĉefa valoro:

${\displaystyle {\rm {li}}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left(\int _{0}^{1-\varepsilon }{\frac {dt}{\ln(t)}}+\int _{1+\varepsilon }^{x}{\frac {dt}{\ln(t)}}\right)}$ 

La kompensita logaritma integralo aŭ eŭlera logaritma integralo estas difinita kiel

${\displaystyle {\rm {Li}}(x)=\int _{2}^{x}{\frac {1}{\ln t}}\,dt}$ 

Avantaĝo de ĉi tiu varianto estas je evito de la specialaĵo en domajno de la integralado.

Interligo inter la du funkcioj estas

${\displaystyle {\rm {Li}}(x)={\rm {li}}(x)-{\rm {li}}(2)}$ 

La funkcio li(x) estas rilatanta al la integrala eksponenta funkcio Ei(x) kiel

li(x) = Ei(ln(x))

kiu estas valida por x>1. Ĉi tiu idento provizas serian prezenton de li(x) kiel

${\displaystyle {\rm {li}}(e^{u})={\hbox{Ei}}(u)=\gamma +\ln u+\sum _{n=1}^{\infty }{u^{n} \over n\cdot n!}}$  por u≠0

kie γ ≈ 0,577215664901532... estas la konstanto de Eŭlero-Mascheroni. Pli rapide konverĝa serio (de Srinivasa Aiyangar Ramanujan) estas

${\displaystyle {\rm {li}}(x)=\gamma +\ln \ln x+{\sqrt {x}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(\ln x)^{n}}{n!\,2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}}$ 

La funkcio li(x) havas solan pozitivan nulon, ĝi okazas je x ≈ 1,4513692348 ..., ĉi tiu nombro estas la konstanto de Ramanujan-Soldner.

La valoro li(2) estas ${\displaystyle {\rm {li}}(2)=-(\Gamma \left(0,-\ln 2\right)+i\,\pi )}$  kie ${\displaystyle \Gamma \left(a,x\right)}$  estas la neplena γ funkcio. Ĝi devas esti komprenita kiel la koŝia ĉefa valoro de la funkcio.

li(2) ≈ 1,045163 780117 492784 844588 889194 613136 522615 578151 ...

La asimptota konduto por x → ∞ estas

${\displaystyle {\rm {li}}(x)={\mathcal {O}}\left({x \over \ln(x)}\right)}$ 

kie O estas la granda O. La plena asimptota elvolvaĵo estas

${\displaystyle {\rm {li}}(x)={\frac {x}{\ln x}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(\ln x)^{k}}}}$ 

aŭ

${\displaystyle {\frac {{\rm {li}}(x)}{x/\ln x}}=1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {2}{(\ln x)^{2}}}+{\frac {6}{(\ln x)^{3}}}+\cdots }$ 

Notu, ke kiel asimptota elvolvaĵo, ĉi tiu serio estas malkonverĝa serio, ĝi estas modera proksimumado nur se la serio estas sumigata je finia kvanto de eroj, kaj nur por grandaj valoroj de x. Ĉi tiu elvolvaĵo sekvas rekte de la asimptota elvolvaĵo por la integrala eksponenta funkcio.

La logaritma integralo estas grava en nombroteorio, aperante en pritaksoj de kvanto de primoj malpli grandaj ol donita valoro. La primaj teoremaj statas ke:

${\displaystyle \pi (x)\sim {\hbox{li}}(x)\sim {\hbox{Li}}(x)\!}$ 

kie π(x) estas la primo-kalkulanta funkcio - kvanto de primoj pli malgrandaj ol aŭ egalaj al x.

• Milton Abramowitz kaj Irene A. Stegun. Gvidlibro de matematikaj funkcioj kun formuloj, grafikaĵoj kaj matematikaj tabeloj Novjorko: Dover, 1972. (Vidu en ĉapitro 5)