Alĝebro de Lie

Se ${\displaystyle K}$  estas komuta ringo (kun idento), alĝebro de Lie super ${\displaystyle K}$  konsistas el ${\displaystyle K}$ -modulo ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$  kune kun dulineara mapo

${\displaystyle [-,-]\colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$ 

(la Lie-krampo) kiu plenumas la jenajn du aksiomojn:

• (alterneco) por ĉiu ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$ , do ${\displaystyle [x,x]=0}$ 
  • Konsekvence, por ĉiu ${\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}}$ , do ${\displaystyle [x,y]=-[y,x]}$  (malsimetrieco). Se ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\in K}$ , do malsimetrieco kaj alterneco estas ekvivalentaj, sed ĝenerale alterneco estas pli forta ol malsimetrieco.
• (Jacobi-idento) por ĉiu ${\displaystyle x,y,z\in {\mathfrak {g}}}$ , do ${\displaystyle [[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y]=0}$ .

Se ${\displaystyle G}$  estas (fini-dimensia) grupo de Lie, tiam la tanĝa spaco ${\displaystyle \mathrm {T} _{1}G}$  estas reela fini-dimensia alĝebro de Lie. Inverse, se ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$  estas fini-dimensia reela alĝebro de Lie, tiam ekzistas grupo de Lie asociita kun ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ . (Tiu grupo estas, ĝenerale, ne unika.)

Simile, kompleksa alĝebro de Lie estas asociita kun kompleksa grupo de Lie.

La koncepton de la alĝebro de Lie difinis Sophus Lie, dum lia studado pri grupoj de Lie.

• Bourbaki, Nicolas. (2006) Éléments de mathématique : Groupes et algèbres de Lie (france). Springer-Verlag.

• Eric W. Weisstein, Lie algebra en MathWorld.