Ordering distributions by scaled order statistics

Motivated by applications in reliability theory, we define a preordering (X ₁, ...,X _n)\(\mathop \lesssim \limits^{{\text{(}}k)}\) (Y ₁ ...,Y _n) of nonnegative random vectors by requiring thek-th order statistic ofa ₁ X ₁,..., a _n X _n to be stochastically smaller than thek-th order statistic ofa ₁ Y ₁, ...,a _n Y _n for all choices ofa _i >0,i=1, 2, ...,n. We identify a class of functionsM _{k, n} such that\(X\mathop \lesssim \limits^{{\text{(}}k)} Y\) if and only ifEφ(X)⩽Eφ(Y) for allφεM _k,n. Some preservation results related to the ordering\(\mathop \lesssim \limits^{{\text{(}}k)}\) are obtained. Some applications of the results in reliability theory are given.

Motiviert durch Anwendungen in der Zuverlässigkeitstheorie wird eine Prä Ordnung (X ₁, ...,X _n)\(\mathop \lesssim \limits^{{\text{(}}k)}\) (Y ₁, ...,Y _n) auf nichtnegativen Zufallsvektoren dadurch definiert, daß gefordert wird, daß für jede Wahl vona _i>0,i=1, 2, ...,n diek-te Ranggröße vona ₁ X ₁, ...,a _n X _n stochastisch kleiner als diek- te Ranggröße vona ₁ Y ₁, ...,a _n Y _n ist. Es wird eine Klasse von FunktionenM _k,n beschrieben, so daß\(X\mathop \lesssim \limits^{{\text{(}}k)} Y\) genau dann gilt, wennEφ(X)⩽Eφ(Y) für alleφ εM _k,n.

Für die Ordnung\(\mathop \lesssim \limits^{{\text{(}}k)}\) werden einige Erhaltungsgesetze hergeleitet. Ferner werden einige Anwendungen der Resultate in der Zuverlässigkeitstheorie angegeben.

Authors and Affiliations

1. Istituto di Matematica Finanzieria, Università di Parma, Italy

   M. Scarsini

2. Department of Mathematics, University of Arizona, USA

   M. Shaked

Prepared while the author was visiting the Department of Mathematics, University of Arizona.

Partially supported by CNR (Comitato per le Scienze Economiche, Sbciologiche e Statistiche).

Supported by the Air Force Office of Scientific Research, U.S.A.F., under Grant AFOSR-84-0205.

Reprints and permissions