Уравнения Эйлера — Лагранжа

Уравне́ния Э́йлера — Лагра́нжа (в физике также уравнения Лагранжа — Эйлера или уравнения Лагранжа) являются основными формулами вариационного исчисления, c помощью которых ищутся стационарные точки и экстремумы функционалов. В частности, эти уравнения широко используются в задачах оптимизации, и, совместно с принципом наименьшего действия, используются для вычисления траекторий в механике. В теоретической физике вообще это (классические) уравнения движения в контексте получения их из написанного явно выражения для действия (лагранжиана).

Использовнание уравнений Эйлера - Лагранжа для нахождения экстремума функционала в некотором смысле аналогично использованию теоремы дифференциального исчисления, утверждающей, что лишь в точке, где первая производная функции обращается в нуль, гладкая функция может иметь экстремум (в случае векторного аргумента приравнивается нулю градиент функции, т.е. производная по векторному аргументу). Точнее говоря, это прямое обобщение соответствующей формулы на случай функционалов - функций бесконечномерного аргумента.

Уравнения были получены Леонардом Эйлером и Жозефом-Луи Лагранжем в 1750-х годах.

Содержание

1 Утверждение
2 Примеры
3 Многомерные вариации
4 История
5 Доказательство
6 Обобщение на случай с высшими производными
7 См. также
8 Литература
9 Ссылки

Утверждение

Пусть задан функционал

$J = \int\limits_a^b F(x, f(x), f'(x))\, dx.$

с подынтегральной функцией $\! F (x, f (x), f' (x))$ , обладающей непрерывными первыми частными производными и называемой функцией Лагранжа или лагранжианом, где через f' обозначена первая производная f по t. Если этот функционал достигает экстремума на некоторой функции $\! f$ , то для неё должно выполняться обыкновенное дифференциальное уравнение

$\frac {\partial F} {\partial f} - \frac {d} {dx} \frac {\partial F} {\partial f'} = 0,$

которое называется уравнением Эйлера — Лагранжа.

Примеры

Рассмотрим стандартный пример: найти кратчайший путь между двумя точками плоскости. Ответом, очевидно, является отрезок, соединяющий эти точки. Попробуем получить его с помощью уравнения Эйлера — Лагранжа. Пусть точки, которые надо соединить, имеют координаты $\! (a, c)$ и $\! (b, d)$ . Тогда длина пути $\! y(x)$ , соединяющего эти точки, может быть записана следующим образом:

$L = \int\limits_a^b \sqrt {1 + \left(\frac {dy} {dx}\right)^2} dx.$

Уравнение Эйлера — Лагранжа для этого функционала принимает вид:

$\frac d {dx} \frac {\partial} {\partial y'} \sqrt {1 + \left(\frac {dy} {dx}\right)^2} = 0,$

откуда получаем, что

$\frac {dy} {dx} = C \Rightarrow y = Cx + D.$

Таким образом, получаем прямую линию. Учитывая, что $\! y(a) = c$ , $\! y(b) = d$ , т. е. что она проходит через исходные точки, получаем верный ответ: отрезок, соединяющий точки.

Многомерные вариации

Существует также множество многомерных вариантов уравнений Эйлера — Лагранжа.

Если $q (t)$ — путь в $n$ -мерном пространстве, то он доставляет экстремум функционалу

$J = \int\limits_{t1}^{t2} L(t, q(t), q'(t))\, dt$

только если удовлетворяет условию

$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial q'_k} - \frac{\partial L}{\partial q_k} = 0$ $\forall k = 1, 2, \dots n$

В физических приложениях когда $\! L$ является лагранжианом (имеется в виду лагранжиан некоторой физической системы; т.е. если J - действие для этой системы), эти уравнения — суть (классические) уравнения движения такой системы. Это утверждение может быть прямо обобщено и на случай бесконечномерного q.

Другое многомерное обобщение получается при рассмотрении функции $n$ переменных. Если $\! \Omega$ — какая-либо, в данном случае n-мерная, поверхность, то

$J = \int\limits_{\Omega} L(f, x_1, \dots , x_n, f_{x_1}, \dots , f_{x_n})\, d\Omega ,$

где $x_i = x_1, x_2, x_3,\dots, x_n$ - независимые координаты, $f = f(x_1, x_2, x_3,\dots, x_n)$ , $f_{x_i} \equiv \frac{\partial f}{\partial x_i}$ ,

доставляет экстремум если только $f$ удовлетворяет уравнению в частных производных

$\frac{\partial L}{\partial f} - \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_i} \frac{\partial L}{\partial f_{x_i}} = 0.$

Если $n = 2$ и $L$ — функционал энергии, то эта задача называется «минимизацией поверхности мыльной плёнки».

Очевидная комбинация двух описанных выше случаев используется для получения уравнений движения распределенных систем, таких как физические поля, колеблющиеся струны или мембраны итп.

В частности, вместо статического уравнения равновесия мыльной пленки, приведенного в качестве примера в предыдущем пункте, имеем в этом случае динамическое уравнение движения такой пленки (если, конечно, нам удалось изначально записать для нее действие, т.е. кинетическую и потенциальную энергию).

История

Уравнение Эйлера — Лагранжа было получено в 1750-х годах Эйлером и Лагранжем при решении задачи об изохроне. Это проблема определения кривой, по которой тяжёлая частица попадает в фиксированную точку за фиксированное время, независимо от начальной точки.

Лагранж решил эту задачу в 1755 году и отослал решение Эйлеру. Развитый впоследствии метод Лагранжа и применение его в механике привело к формулировке лагранжевой механики. Переписка учёных привела к созданию вариационного исчисления (термин придумал Эйлер в 1766 году).

Доказательство

Вывод одномерного уравнения Эйлера — Лагранжа является одним из классических доказательств в математике. Оно основывается на основной лемме вариационного исчисления.

Мы хотим найти такую функцию $\! f$ , которая удовлетворяет граничным условиям $\! f(a)=c$ , $\! f(b)=d$ и доставляет экстремум функционалу

$J = \int\limits_a^b F(x,f(x),f'(x))\, dx.$

Предположим, что $\! F$ имеет непрерывные первые производные. Достаточно и более слабых условий, но доказательство для общего случая более сложно.

Если $\! f$ даёт экстремум функционалу и удовлетворяет граничным условиям, то любое слабое возмущение $\! f$ , которое сохраняет граничные условия, должно увеличивать значение $\! J$ (если $\! f$ минимизирует его) или уменьшать $\! J$ (если $\! f$ максимизирует).

Пусть $\! \eta(x)$ — любая дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию $\! \eta(a)=\eta(b)=0$ . Определим

$J(\varepsilon) = \int\limits_a^b F(x,f(x) + \varepsilon \eta(x), f'(x) + \varepsilon \eta'(x))\, dx.$

Поскольку $\! f$ даёт экстремум для $\! J(0)$ , то $\! J'(0)=0$ , то есть

$J'(0) = \int\limits_a^b \left[ \eta(x) \frac{\partial F}{\partial f} + \eta'(x) \frac{\partial F}{\partial f'} \right]\,dx = 0.$

Интегрируя по частям второе слагаемое, находим, что

$0 = \int\limits_a^b \left[ \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'} \right] \eta(x)\,dx + \left[ \eta(x) \frac{\partial F}{\partial f'} \right]_a^b.$

Используя граничные условия на $\! \eta$ , получим

$0 = \int\limits_a^b \left[ \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'} \right] \eta(x)\,dx.$

Отсюда, так как $\! \eta(x)$ — любая, следует уравнение Эйлера — Лагранжа:

$\frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'}=0.$

Обобщение на случай с высшими производными

Лагранжиан может также зависеть и от производных $f$ порядка выше, чем первый.

Пусть функционал, экстремум которого нужно найти, задан в виде:

$J = \int\limits_a^b F(x, f(x), f'(x), f''(x),...,f^{(n)}(x))\, dx.$

Если наложить граничные условия на $f$ и на её производные до порядка $n - 1$ включительно, а также предположить, что $F$ имеет непрерывные первые производные, то можно, применяя интегрирование по частям несколько раз, вывести аналог уравнения Эйлера-Лагранжа и для этого случая:

$\frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'}+\frac{d^2}{dx^2} \frac{\partial F}{\partial f''}-\cdots+(-1)^n \frac{d^n}{dx^n} \frac{\partial F}{\partial f^{(n)}} = 0 .$

Это уравнение часто называют уравнением Эйлера-Пуассона.

См. также

Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера

Литература

Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. — М.: Наука, 1979
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — М.: Наука, 1979
Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — М.: Наука, 1969.
Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.
Зеликин М. И. Оптимальное управление и вариационное исчисление, — УРСС, Москва, 2004.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Euler-Lagrange(англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Calculus of Variations на сайте PlanetMath.(англ.)
Summary with some historical information
Examples — задачи из вариационного исчисления.

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Полезное

Смотреть что такое "Уравнения Эйлера — Лагранжа" в других словарях:

Уравнения Эйлера-Лагранжа — Уравнения Эйлера Лагранжа являются основными формулами вариационного исчисления, c помощью которых ищутся экстремумы функционалов. В частности, эти уравнения широко используются в задачах оптимизации, и, совместно с принципом действия,… … Википедия
ЛАГРАНЖА УРАВНЕНИЯ — механики. 1) Лагранжа уравнения 1 го рода дифференциальные ур ния движения механич. системы, к рые даны в проекциях на прямоугольные координатные оси и содержат т. н. множители Лагранжа. Получены Ж. Лагранжем в 1788. Для голономной системы,… … Физическая энциклопедия
Уравнения Лагранжа — Уравнения Лагранжа: Уравнения Эйлера Лагранжа Уравнения Лагранжа первого рода Уравнения Лагранжа второго рода Уравнение Лагранжа Даламбера … Википедия
ЭЙЛЕРА УРАВНЕНИЕ — 1) Э. у. линейное обыкновенное дифференциальное уравнение n го порядка где а i, i=0, 1, . . ., n, константы, Это уравнение подробно исследовал Л. Эйлер (L. Euler), начиная с 1740. Замена независимой переменной x= е t приводит уравнение (1) при… … Математическая энциклопедия
Уравнения движения — Уравнение движения (уравнения движения) уравнение или система уравнений, задающие закон эволюции механической или сходной динамической системы (например, поля) во времени[1]. Эволюция физической системы однозначно определяется уравнениями… … Википедия
ЛАГРАНЖА УРАВНЕНИЯ — 1) в гидромеханике ур ния движения жидкости (газа) в переменных Лагранжа, к рыми являются координаты ч ц среды. Получены франц. учёным Ж. Лагранжем (J. Lagrange; ок. 1780). Из Л. у. определяется закон движения ч ц среды в виде зависимостей… … Физическая энциклопедия
Уравнения Лагранжа (гидромеханика) — Уравнения Лагранжа (в гидромеханике) дифференциальные уравнения движения частиц несжимаемой идеальной жидкости в переменных Лагранжа, имеющие вид: где время … Википедия
ЭЙЛЕРА -ЛАГРАНЖА УРАВНЕНИЕ — необходимое условие экстремума в задачах вариационного исчисления, полученное Л. Эйлером в 1744. Впоследствии, используя другой метод, это ур ние вывел Ж. Лагранж (J. Lagrange) в 1759. Пусть поставлена задача вариац. исчисления, состоящая в… … Физическая энциклопедия
Уравнения Лагранжа второго рода — У этого термина существуют и другие значения, см. Уравнения Лагранжа. Уравнениями Лагранжа второго рода называют дифференциальные уравнения движения механической системы, получаемые при применении лагранжева формализма. Вид уравнений Если… … Википедия
Лагранжа уравнения — 1) в гидромеханике уравнения движения жид кой среды, записанные в переменных Лагранжа, которыми являются координаты частиц среды. Из Л. у. определяется закон движения частиц среды в виде зависимостей координат от времени, а по ним… … Большая советская энциклопедия

Словари и энциклопедии на Академике

Уравнения Эйлера — Лагранжа