Nothing Special   »   [go: up one dir, main page]

Норма алгебраического числа

Норма алгебраического числа

Норма алгебраического числа — теоретико-числовая функция, норма, определённая в конечном алгебраическом расширении поля. Норма алгебраического числа равна произведению всех корней минимального многочлена данного числа. Норма отображает кольцо целых элементов расширения поля в кольцо целых элементов поля. Часто в качестве поля берется поле рациональных чисел \mathbb{Q}~, а значит в качестве кольца его целых элементов берется кольцо целых чисел \mathbb{Z}~.

Содержание

Свойства

Примеры

Норма в кольце гауссовых целых чисел

Поле \mathbb{Q}[i]~ - расширение поля рациональных чисел, кольцо его целых элементов - это кольцо гауссовых целых чисел K=\mathbb{Z}[i]~ чисел вида a+bi, a,b \in\mathbb{Z}~. Норма определяется как N(a+bi)=a^2+b^2~. Для данной нормы a^2+b^2~ - простое число в \mathbb{Z}~ тогда и только тогда, когда a+bi~ - простой элемент кольца \mathbb{Z}[i]~. Таким образом, в \mathbb{Z}[i]~ 2 и все простые числа вида p=4k+1~ разложимы в \mathbb{Z}[i]~, а простые вида p=4k+3~ - неразложимы, поэтому N(p)=p^2~.

Множество обратимых элементов кольца \mathbb{Z}[i]~ состоит из 4-х элементов: \{1,-1,i,-i\}~, норма только этих элементов равна 1.

Норма в действительном квадратичной расширении кольца целых чисел

Если d>1~ - натуральное число, свободное от квадратов, то \mathbb{Z}[\sqrt{d}]~ - действительное квадратичное расширение кольца степени 2, его элементы имеют вид a+b\sqrt{d},a,b\in\mathbb{Z}~. Норма в \mathbb{Z}[\sqrt{d}]~ определяется как N(a+b\sqrt{d})=a^2-db^2~. Множество обратимых элементов кольца \mathbb{Z}[\sqrt{d}]~ состоит из бесконечного множества элементов - всех решений уравнения Пелля a^2-db^2=1~.

Применение

Норма применяется для решения диофантовых уравнений. Если уравнение имеет вид F(x_1,\ldots ,x_n)=A~, где F - норма N некоторого кольца алгебраических чисел K, а \alpha\in K~ - элемент кольца, определенный энкой (x_1,\ldots ,x_n)~, то для решения уравнения достаточно найти хотя бы одно решение уравнения N(\alpha)=A~ и все обратимые элементы кольца N(\varepsilon)=1~. Так могут быть решены обобщенные уравнения Пелля вида a^2-db^2=A~.

Норма может применятся для исследования простых элементов колец алгебраических чисел и простых элементов кольца \mathbb{Z}~.

Литература

  • Боревич З.И. Шафаревич И.Р. Теория чисел. — ФизМатЛит, 1985.
  • Постников М.М. Высшая геометрия. — ФизМатЛит, 1982.


Формула

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Полезное


Смотреть что такое "Норма алгебраического числа" в других словарях:

  • Норма — В Викисловаре есть статья «норма» Норма (лат. norma  дословно «наугольник», переносное значение «правило …   Википедия

  • Норма (значения) — Норма (лат. norma дословно «наугольник», переносное значение «правило») регулирующее правило, указывающее границы своего применения. Норма в общественных науках предписание, правило поведения. Норма права Норма (биология, медицина, экология)… …   Википедия

  • Норма (теория полей) — У этого термина существуют и другие значения, см. Норма. Норма отображение элементов конечного расширения E поля K в исходное поле K, определяемое следующим образом: Пусть E конечное расширение K степени n=[E:K], α какой нибудь элемент из E. Он… …   Википедия

  • Норма (математич.) — Норма, математическое понятие, обобщающее понятие абсолютные величины числа. Например, Н. вектора х называют его длину ||x||. Н. кватерниона а + bi + cj + dk число а2 + b2 + c2 + d2, Н. матрицы A число sup, Н. алгебраического числа произведение… …   Большая советская энциклопедия

  • Нормативы — Норма (лат. norma дословно «наугольник», переносное значение «правило») регулирующее правило, указывающее границы своего применения. Норма в общественных науках предписание, правило поведения. Норма права Норма (биология, медицина, экология)… …   Википедия

  • КОМПЛЕКСНОЕ ЧИСЛО — число вида z=x+iy, где хи у действительные числа, а так наз. мнимая единица, т. е. число, квадрат к рого равен 1 (в технической литературе применяется также обозначение ); хназ. действительной, или вещественной, частью К. ч. z, а у его мнимой… …   Математическая энциклопедия

  • Модель — I Модель (Model)         Вальтер (24.1.1891, Гентин, Восточная Пруссия, 21.4.1945, близ Дуйсбурга), немецко фашистский генерал фельдмаршал (1944). В армии с 1909, участвовал в 1 й мировой войне 1914 18. С ноября 1940 командовал 3 й танковой… …   Большая советская энциклопедия

  • Модель (в науке) — Модель (франц. modèle, итал. modello, от лат. modulus мера, мерило, образец, норма), 1) образец, служащий эталоном (стандартом) для серийного ли массового воспроизведения (М. автомобиля, М. одежды и т. п.), а также тип , марка какого либо… …   Большая советская энциклопедия

  • Нормированное кольцо —         важное понятие функционального анализа (См. Функциональный анализ), значительно расширившее область его приложений. Элементы Н. к. являются одновременно и точками некоторого геометрического образования полного нормированного пространства …   Большая советская энциклопедия

  • ЛОГИКА — (от греч. logos слово, понятие, рассуждение, разум), или Формальная логика, наука о законах и операциях правильного мышления. Согласно основному принципу Л., правильность рассуждения (вывода) определяется только его логической формой, или… …   Философская энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»