Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкнове́нные дифференциа́льные уравне́ния (ОДУ) — это дифференциальное уравнение вида $F(t,x,x',x'',...,x^{(n)})=0\!$ , где $x(t)\!$ — неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от переменной времени $t\!$ , штрих означает дифференцирование по $t\!$ . Число $n\!$ называется порядком дифференциального уравнения.

Решением дифференциального уравнения называется $n$ раз дифференцируемая функция $x(t)\!$ , удовлетворяющая уравнению во всех точках своей области определения. Обычно существует целое множество таких функций, и для выбора одного из них требуется наложить на него дополнительные условие: например, потребовать, чтобы решение принимало в данной точке данное значение.

Основные задачи и результаты теории дифференциальных уравнений: существование и единственность решения различных задач для ОДУ, методы решения простейших ОДУ, качественное исследование решений ОДУ без нахождения их явного вида.

Содержание

1 Примеры
2 Дифференциальные уравнения первого порядка
3 См. также
4 Литература

Примеры

Одно из простейших применений дифференциальных уравнений — решение нетривиальной задачи нахождения траектории тела по известным проекциям ускорения. Например, в соответствии со вторым законом Ньютона, ускорение тела пропорционально сумме действующих сил; соответствующее дифференциальное уравнение имеет вид $m \ddot{x}= F(x,t)$ . Зная действующие силы (правая часть), можно решить это уравнение и, учитывая начальные условия (координаты и скорость в начальный момент времени), найти траекторию движения точки.
Дифференциальное уравнение $y' = y$ , вместе с начальным условием $y (0) = 1$ , задаёт экспоненту: $y (x) = e x$ . Если $x$ обозначает время, то эта функция описывает рост популяции в условиях неограниченности ресурсов.
Решением дифференциального уравнения $y' = f (x)$ , правая часть которого не зависит от неизвестной функции, является неопределённый интеграл: $y(x)=\int\! f(x)\,dx+C$ , где $C$ — произвольная константа.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение $\dot{y} = f(x,y)$ называется уравнением с разделяющимися (отделяющимися) переменными, если его правая часть представима в виде $f (x, y) = f 1 (x) f 2 (y)$ . Тогда, в случае $f_2(y)\neq 0$ , общим решением уравнения является $\int\!\frac{dy}{f_2(y)} = \int\! f_1(x)\,dx$ .

Примеры физических задач, приводящих к уравнениям с разделяющимися переменными

Охлаждение тела

Пусть $T$ — температура тела, $T 0$ — температура окружающей среды ( $T > T 0$ ). Пусть $Q$ — количество теплоты, $c$ — удельная теплоёмкость. Тогда количество теплоты передаваемое окружающей среде до выравнивания температур выражается формулой $Q = m c (T - T 0)$ , или, в дифференциальной форме, $dQ = mc\,dT$ . С другой стороны скорость отдачи тепла можно выразить в виде $dQ = -k(T-T_0)\,dt$ , где $k$ — некий коэффициент пропорциональности. Исключая из этих двух уравнений $d Q$ получаем уравнение с разделяющимися переменными:

$mc\,dT = -k(T-T_0)\,dt$ .

Общим решением этого уравнения является семейство функций $T = T_0+C e^{-\frac{kt}{mc}}$ .

Однородные уравнения

Дифференциальное уравнение $\dot{y} = f(x,y)\!$ называется однородным, если $f(x, y)\!$ — однородная функция нулевой степени. Функция $f(x, y)\!$ называется однородной степени $k\!$ , если для любого $\lambda &gt; 0\!$ выполняется равенство $f(\lambda x, \lambda y) = \lambda ^ k f(x,y)\!$ .

Замена $y(x) = xz(x)\!$ приводит при $x &gt; 0\!$ однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными:

$f(x, xz) = x^{0} f(1, z) = f(1, z)\!$

$\dot{y} = x \dot{z} + z\!$

Подставив в исходное уравнение, получаем:

$\dot{z} = \frac{1}{x} (f(1, z) - z)\!$ ,

что является уравнением с разделяющимися переменными.

Квазиоднородные уравнения

Дифференциальное уравнение $\dot{y} = f(x,y)\!$ называется квазиоднородным, если для любого $\lambda &gt; 0\!$ выполняется соотношение $f\left(\lambda ^ \alpha x, \lambda ^ \beta y\right) = \lambda ^ {\beta - \alpha} f(x, y)\!$ .

Данное уравнение решается заменой $y = z ^ {\frac{\beta}{\alpha}}\!$ :

$\dot{z} = \frac{\alpha}{\beta} \left(z ^ {- \frac{1}{\alpha}}\right) ^ {\beta - \alpha} f\left(x, z ^ \frac{\beta}{\alpha}\right)$

В силу квазиоднородности, положив $\lambda = z ^ {- \frac{1}{\alpha}}\!$ , получаем:

$\left(z ^ {- \frac{1}{\alpha}}\right) ^ {\beta - \alpha} f \left(x, z ^ \frac{\beta}{\alpha}\right) = f\left(\frac{x}{z}, 1\right)$

$\dot{z} = \frac{\alpha}{\beta} f\left(\frac{x}{z}, 1\right)$ ,

что, очевидно, является однородным уравнением.

Линейные уравнения

Дифференциальное уравнение $\dot{y} + a(x)y = b(x)\!$ называется линейным и может быть решено двумя методами: методом интегрирующего множителя или методом вариации постоянной.

Метод интегрирующего множителя

Пусть задана функция $\mu(x)\!$ - интегрирующий множитель, в виде:

$\mu(x) = e ^ {\int\! a(x)\,dx}\!$

Умножим обе части исходного уравнения на $\mu(x)\!$ , получим:

$\dot{y}e ^ {\int\!a(x)\,dx} + ya(x) e ^ {\int\! a(x)\,dx} = b(x) \mu (x)\!$

Легко заметить, что левая часть является производной функции $\mu(x) y(x)\!$ по $x\!$ . Поэтому уравнение можно переписать:

$(\mu (x) y(x))' = b(x) \mu (x)\!$

Проинтегрируем:

$y(x) \mu(x) = \int\!b(x) \mu (x)\,dx + C\!$

Таким образом, решение линейного уравнения будет:

$y(x) = e ^ {- \int\! a(x)\,dx}\left(\int\! b(x) \mu (x)\,dx + C\right)\!$

Метод вариации постоянной (метод Лагранжа)

Рассмотрим однородное уравнение $\dot{y} + a(x)y = 0\!$ . Очевидно, это уравнение с разделяющимися переменными, его решение:

$y(x) = ce ^ {-\int\!a(x)\,dx}\!$

Решения исходного уравнения будем искать в виде:

$y(x) = c(x)e ^ {-\int\!a(x)\,dx}\!$

Подставив полученное решение в исходное уравнение:

$\dot{c} = b(x) e ^ {\int\!a(x)\,dx}\!$ ,

получаем:

$c(x) = c_1 + \int\!b(x) e ^ {\int\!a(x)\,dx}\,dx\!$ ,

где $c 1$ — произвольная константа.

Таким образом, решение исходного уравнения можно получить путем подстановки $c(x)\!$ в решение однородного уравнения:

$y(x) = e ^ {-\int\! a(x)\,dx}\left(c_1 + \int\! b(x)e ^ {\int\! a(x)\,dx}\,dx\right)$

Уравнение Бернулли

Дифференциальное уравнение $\dot{y} + a(x) y = b(x) y^n$ называется уравнением Бернулли, если $n$ — действительное число, отличающееся от 0 и 1, так как при $n = 0$ и $n = 1$ уравнение обращается в линейное. Данное уравнение решается двумя способами:

Первый способ

Заменой

$z = y ^ {1-n}\!$ .

уравнение приводится к линейному

$\frac{1}{1-n} \dot{z} + a(x) z = b(x)$

и может быть решено методом Лагранжа (вариации постоянной) или методом интегрирующего множителя.

Второй способ

Заменим

y = u v

Тогда

$\dot{u}v + u(\dot{v} + a(x) v) = b(x) (uv)^n$ .

Подберем $v(x) \not\equiv 0$ так, чтобы было

$\dot{v} + a(x) v = 0\!$

для этого достаточно решить уравнение с разделяющимися переменными 1-го порядка.
После этого для определения $u\!$ получаем уравнение $\frac{\dot{u}}{u^n} = b(x)v^{n-1}$ — уравнение с разделяющимися переменными.

См. также

Автономная система дифференциальных уравнений
Дифференциальное уравнение в частных производных
Матрицант
Для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений используется Метод Лагранжа.
Метод Эйлера
Метод Рунге — Кутта

Литература

Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. С. 176. ISBN 5-93972-008-0

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Полезное

Смотреть что такое "Обыкновенные дифференциальные уравнения" в других словарях:

обыкновенные дифференциальные уравнения — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN ordinary differential equations … Справочник технического переводчика
Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения и системы — Линейное однородное уравнение первого порядка y + p(x)y = 0 Общ … Википедия
Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом — уравнения, связывающие аргумент, а также искомую функцию и её производные, взятые, вообще говоря, при различных значениях этого аргумента (в отличие от обычных дифференциальных уравнений (См. Дифференциальные уравнения)). Примерами могут… … Большая советская энциклопедия
Дифференциальные уравнения — I Дифференциальные уравнения уравнения, содержащие искомые функции, их производные различных порядков и независимые переменные. Теория Д. у. возникла в конце 17 в. под влиянием потребностей механики и других естественнонаучных дисциплин,… … Большая советская энциклопедия
Дифференциальные уравнения — I Дифференциальные уравнения уравнения, содержащие искомые функции, их производные различных порядков и независимые переменные. Теория Д. у. возникла в конце 17 в. под влиянием потребностей механики и других естественнонаучных дисциплин,… … Большая советская энциклопедия
Дифференциальные уравнения — Дифференциальное уравнение в математике это уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи… … Википедия
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ — Многие физические законы, которым подчиняются те или иные явления, записываются в виде математического уравнения, выражающего определенную зависимость между какими то величинами. Часто речь идет о соотношении между величинами, изменяющимися с… … Энциклопедия Кольера
Дифференциальные уравнения в частных производных — Дифференциальное уравнение в частных производных (общеупотребительно сокращение (Д)УЧП, также известны как уравнения математической физики, УМФ) дифференциальное уравнение, содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные… … Википедия
Линейные дифференциальные уравнения — дифференциальные уравнения вида y(n) + p1(x) у(n 1) + ... + pn(x)y = f(x), (1) где у = y(x) искомая функция, y(n), у(n 1),..., y её производные, a p1(x), p2(x),..., pn(x) (коэффициенты) и f(x) (свободный член) заданные… … Большая советская энциклопедия
Дифференциальные уравнения — (мат.) Д. называются такие уравнения, которые дают зависимость между независимыми переменными, их функциями и производными этих функций по их независимым переменным. Например, пусть будет х независимая переменная, а у ее функция; тогда уравнение… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Словари и энциклопедии на Академике

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Содержание

Примеры