„Frequenzgang“ – Versionsunterschied
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→Experimentelle Bestimmung des Frequenzgangs: Verschiedene Methoden erklärt. |
→Experimentelle Bestimmung: "aufwendig" mit e als Derivation des Verbs "aufwenden". Keine Derivation von "Aufwand", "Aufwand" ist selbst eine Derivation von "aufwenden". |
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Der '''Frequenzgang''' ist der Zusammenhang zwischen Ein- und Ausgangssignal eines [[LZI-System|linearen zeitinvarianten Systems]] (LZI-System) bei einer sinusförmigen Anregung bezüglich der Amplitude und der Phase. Er ist daher eine [[komplexe Funktion]] der [[Frequenz]].
Das Ausgangssignal hat wegen des linearen Verhaltens des Systems dieselbe Frequenz wie das Eingangssignal. Die beiden Signale unterscheiden sich jedoch in der [[Amplitude]] und in der [[Phase (Schwingung)|Phase]]. Das Verhältnis der Amplituden von Eingangssignal und Ausgangssignal in Abhängigkeit von der Frequenz ist der '''Amplitudengang''', bisweilen auch '''Betragsfrequenzgang''' genannt. Der Unterschied der Phase zwischen Eingangssignal und Ausgangssignal in Abhängigkeit von der Frequenz ist der [[Phasengang]].<!-- Der Amplituden- und Phasengang können im [[Frequenzkennlinienverfahren]] gezielt ausgelegt werden.-->
Der Frequenzgang kann auch aus der [[Fourier-Transformierte]]n der [[Impulsantwort]] des Systems bestimmt werden.<ref>{{BibISBN|9783835101760}}</ref>
Zeile 19:
Ein solches System hat bei harmonischem Eingangssignal
: <math>x(t) = \hat x \sin(\omega t + \phi_x)
ein harmonisches Ausgangssignal:
: <math>y(t) = \hat y(\omega) \sin(\omega t + \phi_y(\omega))\;</math>.
Auf Grund der Linearität wird die Kreisfrequenz <math>\omega
Der Amplituden-Frequenzgang ist das Verhältnis
: <math>A(\omega) = \frac{\hat y(\omega)}{\hat x}</math>.
Der Phasen-Frequenzgang ist die Phasendifferenz
:<math>\phi(\omega) = \phi_y(\omega) - \phi_x\;</math>.
== Graphische Darstellung ==
=== Bode-Diagramm ===
Zur anschaulichen Darstellung des Frequenzgangs dient das [[Bode-Diagramm]] (siehe Abbildung). In je einem Graph ist der Amplituden-Frequenzgang und der Phasen-Frequenzgang dargestellt. Die Achsen sind mehrheitlich logarithmisch geteilt (außer der für die Phasenverschiebung), was den [[Bode-Diagramm#Veranschaulichung der Vorteile einer logarithmischen Darstellung|Gebrauch des Diagramms]] erleichtert. So ist zum Beispiel die Multiplikation zweier Frequenzgänge eine einfache Streckenaddition, und die Inversion eines Frequenzgangs ergibt sich durch Spiegelung an der ''f
=== Ortskurve ===
Eine alternative anschauliche Darstellung des Frequenzgangs ist seine [[Ortskurve (Systemtheorie)|Ortskurve]]. Dieses [[Zeigermodell|Zeigerbild]] enthält im Gegensatz zum Bode-Diagramm beide Informationen: Die Zeigerlänge entspricht dem Amplitudenverhältnis, sein [[Komplexe Zahl#
Diese Ortskurve wird auch [[Nyquist-Diagramm]] genannt. Mit der Vorstellung, dass in der (komplexen) Ebene lediglich die Spitzen eingefrorener Zeiger zur Ortskurve verbunden sind, kann der Frequenzgang ohne Kenntnis der komplexen Mathematik und der mathematischen Transformationen aus dem Zeit- in den Frequenzbereich anschaulich gemacht werden.
Zeile 52:
Fourier-Rücktransformierte des Frequenzganges ist die [[Gewichtsfunktion]] oder Impulsantwort:
: <math>g(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty H(\mathrm j\omega) e^{\mathrm j\omega t} \mathrm d\omega</math>.
Schreibweisen des Frequenzgangs:
* mit Real- und Imaginärteil
: <math>H(\mathrm j\omega) = \operatorname{Re} H(\mathrm j\omega) + \mathrm j\,\operatorname{Im} H(\mathrm j\omega)</math> .
* mit Betrag und Phase
: <math>H(\mathrm j\omega) = \left|H(\mathrm j\omega)\right|e^{\mathrm j\varphi(\mathrm j\omega)}</math>.
: <math>\left|H(\mathrm j\omega)\right| = \sqrt{(\operatorname{Re} H(\mathrm j\omega))^2 + (\operatorname{Im} H(\mathrm j\omega))^2}</math> Betrag
Zeile 74:
Die Laplace-Übertragungsfunktion ist in diesen Aspekten durch den zusätzlichen Parameter <math>\sigma</math> allgemeiner.
== Experimentelle Bestimmung
Die Bedeutung des Frequenzgangs für LZI-Systeme beruht auf der Einfachheit seiner experimentellen Gewinnung. Dazu wird das System mit einem [[Signalgenerator]] mit verschiedenen Frequenzen angeregt und die Systemantwort gemessen.
Bei Systemen mit einem schnellen Einschwingverhalten nach einer (kleinen) Frequenzänderung kann die Messung mittels eines [[Wobbelgenerator|Wobbelgenerators]] erfolgen, wie zum Beispiel in der [[Nachrichtentechnik]]. Der Wobbelgenerator ist ein spezieller Signalgenerator, der seine Ausgangs-Frequenz kontinuierlich ändert.
[[Datei:Frequenzgang-Bestimmung durch synchrone Messung.png|mini|Frequenzgang-Bestimmung mit Signalgenerator und zeitsynchroner Messung]]
Falls jedoch nach jeder Frequenzanregung zunächst eine gewisse Zeit abgewartet werden muss, bis sich die Amplitude der Systemantwort nicht mehr ändert, dann ist der Prozess mit Hilfe eines Signalgenerators
In diesem Fall ist es einfacher das System mit allen interessierenden Frequenzen gleichzeitig anzuregen und den Frequenzgang beispielsweise über die Messung der [[Impulsantwort]] zu bestimmen.
In jedem Fall benötigt die experimentelle Frequenzgang-Bestimmung eine zeitsynchrone Messung des Eingangssignals <math>x</math> und des Ausgangssignal <math>y</math> des Systems.
== Wortbedeutung im weiteren Sinn ==
In einem allgemeineren Sinn kann mit „Frequenzgang“ auch eine andere frequenzabhängige Eigenschaft eines physikalischen Systems gemeint sein, wie zum Beispiel die Leistungsaufnahme, die Temperatur oder die Strahlungsleistung als Funktion der Frequenz.<ref>[https://brockhaus.de/info/ Die Brockhaus Enzyklopädie-Online.] Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus; abgerufen am 22. Juni 2010. Der einleitende Text definiert den Begriff Frequenzgang folgendermaßen: „Physik, Technik: allgemein der Verlauf einer physikalischen Größe als Funktion der Frequenz (der Kreisfrequenz ω), auch Bezeichnung für diese Funktion selbst; im engeren Sinn Bezeichnung für eine komplexe Funktion, die das Zeitverhalten zeitinvarianter linearer Übertragungsglieder der Nachrichten- oder Regelungstechnik kennzeichnet“</ref><ref>Kurt Magnus, Karl Popp: ''Schwingungen – Eine Einführung in die physikalischen Grundlagen und die theoretische Behandlung von Schwingungsproblemen.'' Teubner, ISBN 3-519-52301-9, S. 30 ({{Google Buch |BuchID=B0fEFQenMgcC |Seite=30 |Hervorhebung=Frequenzgang des}}).</ref> Gebräuchlicher als z. B. „Frequenzgang einer Leistung“ ist allerdings die Ausdrucksweise „Frequenzabhängigkeit einer Leistung“. Einer Quelle zufolge bezeichnet „Frequenzgang“ im Sprachgebrauch der Regelungstechniker auch das bekannte [[Frequenzspektrum]] von speziellen nichtperiodischen Anregungssignalen.<ref>
== Literatur ==
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