„Frequenzgang“ – Versionsunterschied

Der '''Frequenzgang''' ist der Zusammenhang zwischen Ein- und Ausgangssignal eines [[LZI-System|linearen zeitinvarianten Systems]] (LZI-System) bei einer sinusförmigen Anregung bezüglich der Amplitude und der Phase. Er ist die [[Fourier-Transformierte]] der [[Impulsantwort]] des Systems.<ref>{{BibISBN|9783835101760}}</ref> Der Frequenzgang istdaher eine [[komplexe Funktion]] der [[Frequenz]]. Er gibt für [[Sinus und Kosinus|sinusförmige]] Signale das Verhältnis zwischen Eingangssignal und Ausgangssignal an.

Das Ausgangssignal hat wegen des linearen Verhaltens des Systems dieselbe Frequenz wie das Eingangssignal. Die beiden Signale unterscheiden sich jedoch in der [[Amplitude]] und in der [[Phase (Schwingung)|Phase]]. Das Verhältnis der Amplituden von Eingangssignal und Ausgangssignal in Abhängigkeit von der Frequenz ist der '''Amplitudengang''', bisweilen auch '''Betragsfrequenzgang''' genannt. Der Unterschied der Phase zwischen Eingangssignal und Ausgangssignal in Abhängigkeit von der Frequenz ist der [[Phasengang]].<!-- Der Amplituden- und Phasengang können im [[Frequenzkennlinienverfahren]] gezielt ausgelegt werden.-->

BeiDer einem LZI-SystemFrequenzgang beschreibt der Frequenzgang den Zusammenhang zwischen [[Sinus und Kosinus|sinusförmigen]] Schwingungen am Ein- und Ausgang deseines ''Übertragungsglieds''Systems ([[Übertragungsglied]]es) als Funktion der Frequenz &nbsp;''f'' oder der [[Kreisfrequenz]] &nbsp;''ω''.

: <math>y(t) = \phihat y(\omega)= \sin(\omega t + \phi_y(\omega)-\phi_x)\;</math>.

Zur anschaulichen Darstellung des Frequenzgangs dient das [[Bode-Diagramm]] (siehe Abbildung). In je einem Graph ist der Amplituden-Frequenzgang und der Phasen-Frequenzgang dargestellt. Die Achsen sind mehrheitlich logarithmisch geteilt (außer der für die Phasenverschiebung), was den [[Bode-Diagramm#Veranschaulichung der Vorteile einer logarithmischen Darstellung|Gebrauch des Diagramms]] erleichtert. So ist zum Beispiel die Multiplikation zweier Frequenzgänge eine einfache Streckenaddition, und die Inversion eines Frequenzgangs ergibt sich durch Spiegelung an der ''f-''- oder ''&omega;ω''- Achse im Diagramm.<ref>Winfried Oppelt: ''Kleines Handbuch technischer Regelvorgänge.'' Verlag Chemie, 1972, ISBN 3-527-25347-5, S. 60.</ref>

Eine alternative anschauliche Darstellung des Frequenzgangs ist seine [[Ortskurve (Systemtheorie) |Ortskurve]]. Dieses [[Zeigermodell|Zeigerbild]] enthält im Gegensatz zum Bode-Diagramm beide Informationen: Die Zeigerlänge entspricht dem Amplitudenverhältnis, sein [[Komplexe Zahl#PolarformDarstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Argument]] ''φ'' ist die Phasenverschiebung.

Die Anwendung der [[Fourier-Transformation]] auf die Differentialgleichung führt zum Frequenzgang als Bild-Funktion in der komplexen Zahlenebene.

: <math>H(\mathrm j\omega) = \frac{Y(\mathrm j\omega)}{X(\mathrm j\omega)} = \frac{b_{m}(\mathrm j\omega)^{m} + \ldots + b_1(\mathrm j\omega) + b_0}{(\mathrm j\omega)^{n} + a_{n-1}(\mathrm j\omega)^{n-1} + \ldots + a_1(\mathrm j\omega) + a_0} </math>.

Fourier-Rücktransformierte des Frequenzganges ist die [[Gewichtsfunktion]] oder [[Impulsantwort]]:

: <math>g(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty H(\mathrm j\omega) e^{\mathrm j\omega t} \mathrm d\omega</math>.

* mit Real- und Imaginärteil

: <math>H(\mathrm j\omega) = \operatorname{Re} H(\mathrm j\omega) + \mathrm j\,\operatorname{Im} H(\mathrm j\omega)</math> .

* mit Betrag und Phase

: <math>H(\mathrm j\omega) = \left|H(\mathrm j\omega)\right|e^{\mathrm j\varphi(\mathrm j\omega)}</math>.

: <math>\left|H(\mathrm j\omega)\right| = \sqrt{(\operatorname{Re} H(\mathrm j\omega))^2 + (\operatorname{Im} H(\mathrm j\omega))^2}</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Betrag

: <math>\varphi(\mathrm j\omega) = \-\arctan\left(\frac{\operatorname{Im} H(\mathrm j\omega)}{\operatorname{Re} H(\mathrm j\omega)}\right)</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Phase

→siehe ''Hauptartikel: [[Übertragungsfunktion]]''

In einem allgemeineren Sinn kann mit ‘Frequenzgang’„Frequenzgang“ auch eine andere frequenzabhängige Eigenschaft eines physikalischen Systems gemeint sein, wie zum Beispiel die Leistungsaufnahme, die Temperatur oder die Strahlungsleistung als Funktion der Frequenz.<ref>[https://brockhaus.de/info/ Die Brockhaus Enzyklopädie-Online.] Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG: Die Brockhaus Enzyklopädie-Online, Eintrag; abgerufen am 22. Juni 2010. Der einleitende Text definiert den Begriff Frequenzgang folgendermaßen: ''Physik„Physik, Technik: allgemein der Verlauf einer physikalischen Größe als Funktion der Frequenz (der Kreisfrequenz ω), auch Bezeichnung für diese Funktion selbst; im engeren Sinn Bezeichnung für eine komplexe Funktion, die das Zeitverhalten zeitinvarianter linearer Übertragungsglieder der Nachrichten- oder Regelungstechnik kennzeichnet''; [http://www.brockhaus-enzyklopaedie.de/be21_article.php Internet-Link]kennzeichnet“</ref><ref>Kurt Magnus, Karl Popp: ''Schwingungen -– Eine Einführung in die physikalischen Grundlagen und die theoretische Behandlung von Schwingungsproblemen.'' Teubner, ISBN 3-519-52301-9, S. 30 ({{Google Buch |BuchID=B0fEFQenMgcC |Seite=30 |Hervorhebung=Frequenzgang des}}).</ref> Gebräuchlicher als z.&nbsp;B. ‘Frequenzgang„Frequenzgang einer Leistung’Leistung“ ist allerdings die Ausdrucksweise ‘Frequenzabhängigkeit„Frequenzabhängigkeit einer Leistung’Leistung“. Einer Quelle zufolge bezeichnet ‘Frequenzgang’„Frequenzgang“ im Sprachgebrauch der Regelungstechniker auch das bekannte [[Frequenzspektrum]] von speziellen nichtperiodischen Anregungssignalen.<ref>K.[[Kurt Reinschke]]: ''Lineare Regelungs- und Steuerungstheorie'',. Springer-Verlag, S. 44 ({{Google Buch|BuchID=La45x1BsG2QC|Seite=44|Hervorhebung=Frequenzgang des Signals}})</ref>

* Heinz Unbehauen: ''Regelungstechnik I.'' Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, 1997, ISBN 3-528-83332-7.

* [http://www.sengpielaudio.com/KennenSieDenFrequenzgangGehoer.pdf Kennen Sie den Frequenzgang des Gehörs?] (PDF; 112&nbsp;kB)