Hausdorff-Maß

Zu einer Teilmenge ${\displaystyle A}$  des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  betrachtet man die Größen

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{\varepsilon }^{m}(A)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }\alpha (m)\left({\frac {1}{2}}\,\operatorname {diam} (B_{i})\right)^{m}\right|\left.A\subset \bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i};\;B_{i}{\text{ Kugel im }}\mathbb {R} ^{n};\;\operatorname {diam} (B_{i})<\varepsilon \right\}}$ 

für ${\displaystyle \varepsilon >0}$ , wobei das Infimum über alle Überdeckungen ${\displaystyle (B_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$  von ${\displaystyle A}$  durch abzählbar viele ${\displaystyle n}$ -dimensionale Kugeln ${\displaystyle B_{1},B_{2},}$ … im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  mit Durchmessern (Diametern) ${\displaystyle \operatorname {diam} (B_{i})<\varepsilon }$  gebildet wird. Hierbei ist ${\displaystyle \alpha (m)}$  das Volumen der ${\displaystyle m}$ -dimensionalen Einheitskugel (Kugel mit Radius 1) im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ , gleichbedeutend mit dem ${\displaystyle m}$ -dimensionalen Flächeninhalt des ${\displaystyle m}$ -dimensionalen Einheitskreises im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ . Der Formfaktor ${\displaystyle \alpha (m)}$  sorgt für die richtige „Normierung“ des resultierenden Flächenmaßes. Die Summanden ${\displaystyle \alpha (m)(\operatorname {diam} (B_{i})/2)^{m}}$  sind gerade die ${\displaystyle m}$ -dimensionalen Flächeninhalte der Schnittmengen der Kugeln ${\displaystyle B_{i}}$  mit durch deren Mittelpunkt verlaufenden ${\displaystyle m}$ -dimensionalen Ebenen im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ .

Das ${\displaystyle m}$ -dimensionale sphärische Maß von ${\displaystyle A}$  wird dann, vermöge zunehmender Kleinheit der Kugeln, definiert durch

${\displaystyle {\mathcal {S}}^{m}(A)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\mathcal {S}}_{\varepsilon }^{m}(A).}$ 

Die Verfeinerung der Kugelüberdeckungen durch gegen 0 gehende Durchmesser bewirkt eine zunehmende Annäherung der ${\displaystyle m}$ -dimensionalen Äquatorialflächen der Kugeln an die Ausgangsfläche ${\displaystyle A}$ .

Zur Definition des Hausdorff-Maßes ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$  gelangt man, wenn statt der Kugeln alle Teilmengen des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  bei den Überdeckungen zugelassen werden. Der Durchmesser von ${\displaystyle B\subset \mathbb {R} ^{m}}$  ist definiert durch

${\displaystyle \operatorname {diam} (B)=\sup \,\left\{|x-y|\,:\,x,y\in B\right\}}$ 

für ${\displaystyle B\neq \emptyset }$  und ${\displaystyle \operatorname {diam} (\emptyset )=0}$ , und man setzt entsprechend für ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}$ 

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\varepsilon }^{m}(A)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }\alpha (m)\left({\frac {1}{2}}\operatorname {diam} (B_{i})\right)^{m}\right|\left.A\subset \bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i};\;B_{i}\subset \mathbb {R} ^{n};\;\operatorname {diam} (B_{i})<\varepsilon \right\},}$ 

wobei hier das Infimum gebildet wird über alle Überdeckungen ${\displaystyle (B_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$  von ${\displaystyle A}$  durch abzählbar viele (beliebige) Teilmengen ${\displaystyle B_{1},B_{2},}$ … des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  mit ${\displaystyle \operatorname {diam} (B_{i})<\varepsilon }$ . Schließlich definiert man

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}(A)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\mathcal {H}}_{\varepsilon }^{m}(A)}$ 

das metrische äußere Maß ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$ , das auch äußeres Hausdorff-Maß genannt wird. Die Einschränkung des Definitionsbereiches auf Carathéodory-messbare Mengen liefert das Maß ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$ .

Die Ausdrücke ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{\varepsilon }^{m}}$  und ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\varepsilon }^{m}}$  sind selbst äußere Maße und haben durchaus bei gewissen Mengen verschiedene Werte – der Unterschied verschwindet in einigen „pathologischen“ Fällen auch nicht beim Grenzübergang ${\displaystyle \varepsilon }$  gegen 0 –, jedoch liefern die beiden Maße ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{m}}$  und ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$  bei den rektifizierbaren (den „anständigen“) ${\displaystyle m}$ -dimensionalen Mengen denselben Wert. Allgemein gilt die Ungleichung

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}\leq {\mathcal {S}}^{m}\leq [2n/(n+1)]^{m/2}{\mathcal {H}}^{m}.}$ 

Zur expliziten Berechnung des Hausdorff-Maßes einer parametrisierten Fläche ${\displaystyle A=f(G)}$  mit einem Gebiet ${\displaystyle G\subset \mathbb {R} ^{m}}$  und einer injektiven differenzierbaren Funktion ${\displaystyle f\colon G\to \mathbb {R} ^{n}}$  findet die Flächenformel Anwendung:

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}(A)=\int _{G}{\sqrt {\det(Df\,^{t}Df)}}\,\mathrm {d} {\mathcal {L}}^{m}.}$ 

Dabei ist ${\displaystyle {\sqrt {\det(Df\,^{t}Df)}}}$  die verallgemeinerte Jacobi-Determinante (Gramsche Determinante) von ${\displaystyle f}$ , und ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{m}}$  bezeichnet das ${\displaystyle m}$ -dimensionale Lebesgue-Maß (Volumenmaß) im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ .

1. Analog verwendet man für „nicht-ganzzahlige Dimensionen“ ${\displaystyle m}$  die obigen Definitionen von ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{m}}$  und ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$  mit ${\displaystyle \alpha (m)=\Gamma (1/2)^{m}/\Gamma (1+m/2)}$ , wobei ${\displaystyle \Gamma }$  die Gamma-Funktion bezeichnet. Die Hausdorff-Dimension einer Teilmenge ${\displaystyle A}$  des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  ist dann diejenige (eindeutig bestimmte) Zahl ${\displaystyle m}$  mit ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}(A)=\infty }$  für alle ${\displaystyle s<m}$  und ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}(A)=0}$  für alle ${\displaystyle s>m}$ . Wegen der oben genannten Ungleichung spielt der Unterschied zwischen ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$  und ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{m}}$  bei der Bestimmung der Hausdorff-Dimension keine Rolle.
   In den letzten Jahrzehnten kamen Fraktale in den Blickpunkt von populärwissenschaftlichen Medien. Fraktale sind Teilmengen des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  mit gebrochener („fraktaler“) Hausdorff-Dimension; in der Öffentlichkeit werden Fraktale überwiegend als Mengen wahrgenommen, die sich neben ihrer fraktalen Dimension noch durch gewisse Selbstähnlichkeiten auszeichnen.
2. Die Definition des ${\displaystyle m}$ -dimensionalen Hausdorff-Maßes bleibt ohne wesentliche Veränderungen gültig in jedem metrischen Raum anstelle des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ; das Gleiche gilt für das ${\displaystyle m}$ -dimensionale sphärische Maß. Dafür wird nur die Betragsfunktion in der Definition des Durchmessers durch die zugrundeliegende Metrik ${\displaystyle d}$  ersetzt. Das heißt, aus ${\displaystyle |x-y|}$  wird ${\displaystyle d(x,y)}$ .

• Herbert Federer: Geometric Measure Theory (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 153). Springer, 1969, ISBN 3-540-60656-4, ISSN 0072-7830 (Nachdruck ebenda 1996).