Sierpiński-Konstante

Die Sierpiński-Konstante ist eine mathematische Konstante, benannt nach dem polnischen Mathematiker Wacław Sierpiński. Sie kann unter anderem durch den folgenden Ausdruck definiert werden:

${\displaystyle K=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {r_{2}(k)}{k}}-\pi \ln n\right),}$

wobei ${\displaystyle r_{2}(k)}$ die Anzahl der Darstellungen von ${\displaystyle k}$ in der Form ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ mit ganzen Zahlen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ unter Beachtung der Reihenfolge, ${\displaystyle \pi }$ die Kreiszahl und ${\displaystyle \ln }$ der natürliche Logarithmus ist.

Ein expliziter Ausdruck für die Sierpiński-Konstante ${\displaystyle K}$ ist

${\displaystyle K=\pi \left(2\gamma +\ln {\frac {4\pi ^{3}}{\Gamma (1/4)^{4}}}\right)}$

mit der Euler-Mascheroni-Konstante ${\displaystyle \gamma }$ und der Gammafunktion ${\displaystyle \Gamma }$. Aufgrund der Relation

${\displaystyle \Gamma (1/4)={\frac {\pi {\sqrt {2}}}{\Gamma (3/4)}}}$

ergibt sich die alternative Darstellung

${\displaystyle K=\pi \left(2\gamma +4\ln \Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)-\ln \pi \right).}$

Die Dezimalentwicklung von ${\displaystyle K}$ ist

${\displaystyle K=2{,}58498\ 17595\ 79253\ 21706\ 58935\ 87383\ 17116\ 00880\ 51651\ 85263\ \dots }$ (Folge A062089 in OEIS)

${\displaystyle k}$	${\displaystyle r_{2}(k)}$
0	1
1	4
2	4
3	0
4	4
5	8
6	0
7	0
…	…
25	12
…	…
65	16
…	…

(Folge A004018 in OEIS).

Die Sierpiński-Konstante tritt bei der Untersuchung der Asymptotik der Quadratsummen-Funktion (im Englischen als Sum of Squares bezeichnet)

${\displaystyle r_{n}(k)={\bigl |}{\bigl \{}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\in \mathbb {Z} ^{n}\mid a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots +a_{n}^{2}=k{\bigr \}}{\bigr |}}$

für den Fall ${\displaystyle n=2}$ auf (etwa um den Fall ${\displaystyle n=4}$ geht es beim Satz von Jacobi).

Beispielsweise ist ${\displaystyle r_{2}(3)}$ = 0, da sich die Zahl 3 nicht als Summe aus zwei Quadratzahlen darstellen lässt, während ${\displaystyle r_{2}(13)}$ = 8, denn 13 kann als Summe der Quadratzahlen 9 und 4 in zwei verschiedenen Reihenfolgen, ${\displaystyle (\pm 3)^{2}+(\pm 2)^{2}}$ und ${\displaystyle (\pm 2)^{2}+(\pm 3)^{2}}$, jeweils in vier Vorzeichenkonstellationen gebildet werden.

• Wacław Sierpiński: O sumowaniu szeregu ${\displaystyle \textstyle \sum _{n>a}^{n\leq b}\tau (n)f(n)}$, gdzie τ(n) oznacza liczbę rozkładów liczby n na sumę kwadratów dwóch liczb całkowitych (Über die Summierung der Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{n>a}^{n\leq b}\tau (n)f(n)}$, wo τ(n) die Anzahl der Darstellungen von n als Summe von zwei Quadraten bezeichnet), Prace matematyczno-fizyczne 18, 1907, S. 1–60 (polnisch; im Internet-Archiv; „K=2,5849817596“ auf S. 27; Jahrbuch-Bericht)
• Steven R. Finch: Sierpinski’s constant, Kapitel 2.10 in Mathematical constants, Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, S. 122–125 (englisch; Finchs Webseite zum Buch mit Errata und Addenda: Mathematical Constants.)

• Eric W. Weisstein: Sierpiński Constant. In: MathWorld (englisch).
• Eric W. Weisstein: Sum of Squares Function. In: MathWorld (englisch).
• Folge A062083 in OEIS (Kettenbruchentwicklung von K)
• Folge A108905 in OEIS (Engel-Entwicklung von K)