Hausdorff-Maß

Zur Bestimmung des Flächeninhalts einer ${\displaystyle m}$-dimensionalen Fläche im ${\displaystyle n}$-dimensionalen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (mit ${\displaystyle m<n}$) gibt es in der Mathematik diverse Maße, die für alle Teilmengen des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ definiert sind und auf den „anständigen“ (nicht entarteten) ${\displaystyle m}$-dimensionalen Flächen deren heuristischen Flächeninhalt ergeben. (Zu den „anständigen“ Flächen gehören insbesondere die Untermannigfaltigkeiten des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.)

Das bekannteste dieser Maße ist das ${\displaystyle m}$-dimensionale Hausdorff-Maß ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$, benannt nach Felix Hausdorff; zur Veranschaulichung der Definition soll zunächst jedoch das ${\displaystyle m}$-dimensionale sphärische Maß ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{m}}$ erläutert werden.

Zu einer Teilmenge ${\displaystyle A}$ des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ betrachtet man die Größen

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{\varepsilon }^{m}(A)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }\alpha (m)\left({\frac {1}{2}}\,\operatorname {diam} (B_{i})\right)^{m}\right|\left.A\subset \bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i};\;B_{i}{\text{ Kugel im }}\mathbb {R} ^{n};\;\operatorname {diam} (B_{i})<\varepsilon \right\}}$

für ${\displaystyle \varepsilon >0}$, wobei das Infimum über alle Überdeckungen ${\displaystyle (B_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ von ${\displaystyle A}$ durch abzählbar viele ${\displaystyle n}$-dimensionale Kugeln ${\displaystyle B_{1},B_{2},}$… im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ mit Durchmessern (Diametern) ${\displaystyle \operatorname {diam} (B_{i})<\varepsilon }$ gebildet wird. Hierbei ist ${\displaystyle \alpha (m)}$ das Volumen der ${\displaystyle m}$-dimensionalen Einheitskugel (Kugel mit Radius 1) im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$, gleichbedeutend mit dem ${\displaystyle m}$-dimensionalen Flächeninhalt des ${\displaystyle m}$-dimensionalen Einheitskreises im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Der Formfaktor ${\displaystyle \alpha (m)}$ sorgt für die richtige „Normierung“ des resultierenden Flächenmaßes. Die Summanden ${\displaystyle \alpha (m)(\operatorname {diam} (B_{i})/2)^{m}}$ sind gerade die ${\displaystyle m}$-dimensionalen Flächeninhalte der Schnittmengen der Kugeln ${\displaystyle B_{i}}$ mit durch deren Mittelpunkt verlaufenden ${\displaystyle m}$-dimensionalen Ebenen im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Das ${\displaystyle m}$-dimensionale sphärische Maß von ${\displaystyle A}$ wird dann, vermöge zunehmender Kleinheit der Kugeln, definiert durch

${\displaystyle {\mathcal {S}}^{m}(A)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\mathcal {S}}_{\varepsilon }^{m}(A).}$

Die Verfeinerung der Kugelüberdeckungen durch gegen 0 gehende Durchmesser bewirkt eine zunehmende Annäherung der ${\displaystyle m}$-dimensionalen Äquatorialflächen der Kugeln an die Ausgangsfläche ${\displaystyle A}$.

Zur Definition des Hausdorff-Maßes ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$ gelangt man, wenn statt der Kugeln alle Teilmengen des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ bei den Überdeckungen zugelassen werden. Der Durchmesser von ${\displaystyle B\subset \mathbb {R} ^{m}}$ ist definiert durch

${\displaystyle \operatorname {diam} (B)=\sup \,\left\{|x-y|\,:\,x,y\in B\right\}}$

für ${\displaystyle B\neq \emptyset }$ und ${\displaystyle \operatorname {diam} (\emptyset )=0}$, und man setzt entsprechend für ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\varepsilon }^{m}(A)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }\alpha (m)\left({\frac {1}{2}}\operatorname {diam} (B_{i})\right)^{m}\right|\left.A\subset \bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i};\;B_{i}\subset \mathbb {R} ^{n};\;\operatorname {diam} (B_{i})<\varepsilon \right\},}$

wobei hier das Infimum gebildet wird über alle Überdeckungen ${\displaystyle (B_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ von ${\displaystyle A}$ durch abzählbar viele (beliebige) Teilmengen ${\displaystyle B_{1},B_{2},}$… des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ mit ${\displaystyle \operatorname {diam} (B_{i})<\varepsilon }$. Schließlich definiert man

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}(A)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\mathcal {H}}_{\varepsilon }^{m}(A)}$

das metrische äußere Maß ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$, das auch äußeres Hausdorff-Maß genannt wird. Die Einschränkung des Definitionsbereiches auf Carathéodory-messbare Mengen liefert das Maß ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$.

Die Ausdrücke ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{\varepsilon }^{m}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\varepsilon }^{m}}$ sind selbst äußere Maße und haben durchaus bei gewissen Mengen verschiedene Werte – der Unterschied verschwindet in einigen „pathologischen“ Fällen auch nicht beim Grenzübergang ${\displaystyle \varepsilon }$ gegen 0 –, jedoch liefern die beiden Maße ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{m}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$ bei den rektifizierbaren (den „anständigen“) ${\displaystyle m}$-dimensionalen Mengen denselben Wert. Allgemein gilt die Ungleichung

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}\leq {\mathcal {S}}^{m}\leq [2n/(n+1)]^{m/2}{\mathcal {H}}^{m}.}$

Zur expliziten Berechnung des Hausdorff-Maßes einer parametrisierten Fläche ${\displaystyle A=f(G)}$ mit einem Gebiet ${\displaystyle G\subset \mathbb {R} ^{m}}$ und einer injektiven differenzierbaren Funktion ${\displaystyle f\colon G\to \mathbb {R} ^{n}}$ findet die Flächenformel Anwendung:

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}(A)=\int _{G}{\sqrt {\det(Df\,^{t}Df)}}\,\mathrm {d} {\mathcal {L}}^{m}.}$

Dabei ist ${\displaystyle {\sqrt {\det(Df\,^{t}Df)}}}$ die verallgemeinerte Jacobi-Determinante (Gramsche Determinante) von ${\displaystyle f}$, und ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{m}}$ bezeichnet das ${\displaystyle m}$-dimensionale Lebesgue-Maß (Volumenmaß) im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$.

1. Analog verwendet man für „nicht-ganzzahlige Dimensionen“ ${\displaystyle m}$ die obigen Definitionen von ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{m}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$ mit ${\displaystyle \alpha (m)=\Gamma (1/2)^{m}/\Gamma (1+m/2)}$, wobei ${\displaystyle \Gamma }$ die Gamma-Funktion bezeichnet. Die Hausdorff-Dimension einer Teilmenge ${\displaystyle A}$ des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ist dann diejenige (eindeutig bestimmte) Zahl ${\displaystyle m}$ mit ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}(A)=\infty }$ für alle ${\displaystyle s<m}$ und ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}(A)=0}$ für alle ${\displaystyle s>m}$. Wegen der oben genannten Ungleichung spielt der Unterschied zwischen ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{m}}$ bei der Bestimmung der Hausdorff-Dimension keine Rolle.
   In den letzten Jahrzehnten kamen Fraktale in den Blickpunkt von populärwissenschaftlichen Medien. Fraktale sind Teilmengen des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ mit gebrochener („fraktaler“) Hausdorff-Dimension; in der Öffentlichkeit werden Fraktale überwiegend als Mengen wahrgenommen, die sich neben ihrer fraktalen Dimension noch durch gewisse Selbstähnlichkeiten auszeichnen.
2. Die Definition des ${\displaystyle m}$-dimensionalen Hausdorff-Maßes bleibt ohne wesentliche Veränderungen gültig in jedem metrischen Raum anstelle des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$; das Gleiche gilt für das ${\displaystyle m}$-dimensionale sphärische Maß. Dafür wird nur die Betragsfunktion in der Definition des Durchmessers durch die zugrundeliegende Metrik ${\displaystyle d}$ ersetzt. Das heißt, aus ${\displaystyle |x-y|}$ wird ${\displaystyle d(x,y)}$.

• Herbert Federer: Geometric Measure Theory (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 153). Springer, 1969, ISBN 3-540-60656-4, ISSN 0072-7830 (Nachdruck ebenda 1996).