„Frequenzgang“ – Bearbeiten

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Der '''Frequenzgang''' ist der Zusammenhang zwischen Ein- und Ausgangssignal eines [[LZI-System|linearen zeitinvarianten Systems]] (LZI-System) bei einer sinusförmigen Anregung bezüglich der Amplitude und der Phase. Er ist daher eine [[komplexe Funktion]] der [[Frequenz]].

Das Ausgangssignal hat wegen des linearen Verhaltens des Systems dieselbe Frequenz wie das Eingangssignal. Die beiden Signale unterscheiden sich jedoch in der [[Amplitude]] und in der [[Phase (Schwingung)|Phase]]. Das Verhältnis der Amplituden von Eingangssignal und Ausgangssignal in Abhängigkeit von der Frequenz ist der '''Amplitudengang''', bisweilen auch '''Betragsfrequenzgang''' genannt. Der Unterschied der Phase zwischen Eingangssignal und Ausgangssignal in Abhängigkeit von der Frequenz ist der [[Phasengang]].

Der Frequenzgang kann auch aus der [[Fourier-Transformierte]]n der [[Impulsantwort]] des Systems bestimmt werden.<ref>{{BibISBN|9783835101760}}</ref>

== Allgemeines ==
Der Frequenzgang beschreibt den Zusammenhang zwischen [[Sinus und Kosinus|sinusförmigen]] Schwingungen am Ein- und Ausgang eines Systems ([[Übertragungsglied]]es) als Funktion der Frequenz&nbsp;''f'' oder der [[Kreisfrequenz]]&nbsp;''ω''.

Das System hat dabei folgende Eigenschaften:

* [[Linearität]]
* [[Zeitinvarianz]]
* [[Stabilitätstheorie|Stabilität]] (die Ausgangs-Schwingung klingt bei gleichbleibender Eingangs-Anregung nicht auf, z.&nbsp;B. wegen Resonanz)

[[Datei:Tiefpass Frequenzantwort.svg|mini|Frequenzantwort eines [[PT1-Glied]]es:<br />Die Ausgangsamplitude ist bei höherer Frequenz kleiner.]]
[[Datei:Amplituden Phasengang.svg|mini| [[Bode-Diagramm]]:<br />Amplituden- und Phasen-Frequenzgang eines passiven [[Tiefpass]]es oder [[PT1-Glied]]es]]
[[Datei:OrtsTief.svg|mini| [[Ortskurve (Systemtheorie)|Ortskurve]] eines passiven [[Tiefpass]]es oder [[PT1-Glied|PT<sub>1</sub>-Glieds]]]]

Ein solches System hat bei harmonischem Eingangssignal
: <math>x(t) = \hat x \sin(\omega t + \phi_x)</math>

ein harmonisches Ausgangssignal:
: <math>y(t) = \hat y(\omega) \sin(\omega t + \phi_y(\omega))\;</math>.

Auf Grund der Linearität wird die Kreisfrequenz <math>\omega</math> nicht beeinflusst. Lediglich [[Amplitude]] <math>(\hat x \rightarrow \hat y)</math> und [[Zeigerdiagramm|Phase]] <math>(\phi_x \rightarrow \phi_y)</math> werden verändert.

Der Amplituden-Frequenzgang ist das Verhältnis
: <math>A(\omega) = \frac{\hat y(\omega)}{\hat x}</math>.

Der Phasen-Frequenzgang ist die Phasendifferenz

:<math>\phi(\omega) = \phi_y(\omega) - \phi_x\;</math>.

== Graphische Darstellung ==
=== Bode-Diagramm ===
Zur anschaulichen Darstellung des Frequenzgangs dient das [[Bode-Diagramm]] (siehe Abbildung). In je einem Graph ist der Amplituden-Frequenzgang und der Phasen-Frequenzgang dargestellt. Die Achsen sind mehrheitlich logarithmisch geteilt (außer der für die Phasenverschiebung), was den [[Bode-Diagramm#Veranschaulichung der Vorteile einer logarithmischen Darstellung|Gebrauch des Diagramms]] erleichtert. So ist zum Beispiel die Multiplikation zweier Frequenzgänge eine einfache Streckenaddition, und die Inversion eines Frequenzgangs ergibt sich durch Spiegelung an der ''f''- oder ''ω''-Achse im Diagramm.<ref>Winfried Oppelt: ''Kleines Handbuch technischer Regelvorgänge.'' Verlag Chemie, 1972, ISBN 3-527-25347-5, S. 60.</ref>

=== Ortskurve ===
Eine alternative anschauliche Darstellung des Frequenzgangs ist seine [[Ortskurve (Systemtheorie)|Ortskurve]]. Dieses [[Zeigermodell|Zeigerbild]] enthält im Gegensatz zum Bode-Diagramm beide Informationen: Die Zeigerlänge entspricht dem Amplitudenverhältnis, sein [[Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Argument]] ''φ'' ist die Phasenverschiebung.

Diese Ortskurve wird auch [[Nyquist-Diagramm]] genannt. Mit der Vorstellung, dass in der (komplexen) Ebene lediglich die Spitzen eingefrorener Zeiger zur Ortskurve verbunden sind, kann der Frequenzgang ohne Kenntnis der komplexen Mathematik und der mathematischen Transformationen aus dem Zeit- in den Frequenzbereich anschaulich gemacht werden.

== Fourier-Transformation ==
LZI-Systeme mit endlich vielen inneren Freiheitsgraden werden durch die lineare [[Differentialgleichung]] n-ter Ordnung im Zeitbereich (Zeit als Variable) beschrieben:
:<math> y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \ldots + a_{1}y^{(1)} + a_{0}y = b_{m}x^{(m)} + \ldots + b_{1}x^{(1)} + b_{0}x</math>.

Die Anwendung der [[Fourier-Transformation]] auf die Differentialgleichung führt zum Frequenzgang als Bild-Funktion in der komplexen Zahlenebene.

Frequenzgang <math>H(\mathrm j\omega)</math> ist der Quotient aus den Fouriertransformierten <math>Y(\mathrm j\omega)</math> des Ausgangs-Signals und <math>X(\mathrm j\omega)</math> des Eingangs-Signals:
: <math>H(\mathrm j\omega) = \frac{Y(\mathrm j\omega)}{X(\mathrm j\omega)} = \frac{b_{m}(\mathrm j\omega)^{m} + \ldots + b_1(\mathrm j\omega) + b_0}{(\mathrm j\omega)^{n} + a_{n-1}(\mathrm j\omega)^{n-1} + \ldots + a_1(\mathrm j\omega) + a_0} </math>.

Fourier-Rücktransformierte des Frequenzganges ist die [[Gewichtsfunktion]] oder Impulsantwort:
: <math>g(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty H(\mathrm j\omega) e^{\mathrm j\omega t} \mathrm d\omega</math>.

Schreibweisen des Frequenzgangs:
* mit Real- und Imaginärteil
: <math>H(\mathrm j\omega) = \operatorname{Re} H(\mathrm j\omega) + \mathrm j\,\operatorname{Im} H(\mathrm j\omega)</math> .

* mit Betrag und Phase
: <math>H(\mathrm j\omega) = \left|H(\mathrm j\omega)\right|e^{\mathrm j\varphi(\mathrm j\omega)}</math>.

: <math>\left|H(\mathrm j\omega)\right| = \sqrt{(\operatorname{Re} H(\mathrm j\omega))^2 + (\operatorname{Im} H(\mathrm j\omega))^2}</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Betrag

: <math>\varphi(\mathrm j\omega) = \arctan\left(\frac{\operatorname{Im} H(\mathrm j\omega)}{\operatorname{Re} H(\mathrm j\omega)}\right)</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Phase

== Zusammenhang mit der Übertragungsfunktion ==
siehe ''Hauptartikel: [[Übertragungsfunktion]]''

Mit <math>\sigma=0</math> in <math>s=\sigma+j\omega</math> geht die Laplace-Übertragungsfunktion <math>F(s)</math> in den Frequenzgang <math>F(\omega)</math> über.

Der Frequenzgang beschreibt daher keine Übergangsvorgänge (Einschwingvorgänge durch Zeitkonstanten). Und er ist auch nicht geeignet zur Beschreibung von instabilen aufklingenden Systemen.

Die Laplace-Übertragungsfunktion ist in diesen Aspekten durch den zusätzlichen Parameter <math>\sigma</math> allgemeiner.

== Experimentelle Bestimmung ==
Die Bedeutung des Frequenzgangs für LZI-Systeme beruht auf der Einfachheit seiner experimentellen Gewinnung. Dazu wird das System mit einem [[Signalgenerator]] mit verschiedenen Frequenzen angeregt und die Systemantwort gemessen.

Bei Systemen mit einem schnellen Einschwingverhalten nach einer (kleinen) Frequenzänderung kann die Messung mittels eines [[Wobbelgenerator|Wobbelgenerators]] erfolgen, wie zum Beispiel in der [[Nachrichtentechnik]]. Der Wobbelgenerator ist ein spezieller Signalgenerator, der seine Ausgangs-Frequenz kontinuierlich ändert. 
[[Datei:Frequenzgang-Bestimmung durch synchrone Messung.png|mini|Frequenzgang-Bestimmung mit Signalgenerator und zeitsynchroner Messung]]
Falls jedoch nach jeder Frequenzanregung zunächst eine gewisse Zeit abgewartet werden muss, bis sich die Amplitude der Systemantwort nicht mehr ändert, dann ist der Prozess mit Hilfe eines Signalgenerators zeitaufwändiger.<ref>[[Günther Schmidt (Ingenieur)|Günther Schmidt]]: ''Grundlagen der Regelungstechnik''. Springer Verlag, 1987, ISBN 3-540-17112-6</ref>

In diesem Fall ist es einfacher das System mit allen interessierenden Frequenzen gleichzeitig anzuregen und den Frequenzgang beispielsweise über die Messung der [[Impulsantwort]] zu bestimmen.

In jedem Fall benötigt die experimentelle Frequenzgang-Bestimmung eine zeitsynchrone Messung des Eingangssignals <math>x</math> und des Ausgangssignal <math>y</math> des Systems.

== Wortbedeutung im weiteren Sinn ==
In einem allgemeineren Sinn kann mit „Frequenzgang“ auch eine andere frequenzabhängige Eigenschaft eines physikalischen Systems gemeint sein, wie zum Beispiel die Leistungsaufnahme, die Temperatur oder die Strahlungsleistung als Funktion der Frequenz.<ref>[https://brockhaus.de/info/ Die Brockhaus Enzyklopädie-Online.] Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus; abgerufen am 22. Juni 2010. Der einleitende Text definiert den Begriff Frequenzgang folgendermaßen: „Physik, Technik: allgemein der Verlauf einer physikalischen Größe als Funktion der Frequenz (der Kreisfrequenz ω), auch Bezeichnung für diese Funktion selbst; im engeren Sinn Bezeichnung für eine komplexe Funktion, die das Zeitverhalten zeitinvarianter linearer Übertragungsglieder der Nachrichten- oder Regelungstechnik kennzeichnet“</ref><ref>Kurt Magnus, Karl Popp: ''Schwingungen – Eine Einführung in die physikalischen Grundlagen und die theoretische Behandlung von Schwingungsproblemen.'' Teubner, ISBN 3-519-52301-9, S. 30 ({{Google Buch |BuchID=B0fEFQenMgcC |Seite=30 |Hervorhebung=Frequenzgang des}}).</ref> Gebräuchlicher als z.&nbsp;B. „Frequenzgang einer Leistung“ ist allerdings die Ausdrucksweise „Frequenzabhängigkeit einer Leistung“. Einer Quelle zufolge bezeichnet „Frequenzgang“ im Sprachgebrauch der Regelungstechniker auch das bekannte [[Frequenzspektrum]] von speziellen nichtperiodischen Anregungssignalen.<ref>[[Kurt Reinschke]]: ''Lineare Regelungs- und Steuerungstheorie''. Springer-Verlag, S. 44 ({{Google Buch|BuchID=La45x1BsG2QC|Seite=44|Hervorhebung=Frequenzgang des Signals}})</ref>

== Literatur ==
* Heinz Unbehauen: ''Regelungstechnik I.'' Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, 1997, ISBN 3-528-83332-7.
* {{Literatur
   |Autor=Jan Lunze
   |Titel=Regelungstechnik 1
   |Auflage=6
   |Verlag=Springer Verlag
   |Ort=Berlin
   |Datum=2007
   |ISBN=978-3-540-70790-5}}
* Wilfried Weißgerber: ''Elektrotechnik für Ingenieure 2.'' Vieweg, 2007, ISBN 978-3-8348-0191-3.
* [[Günther Schmidt (Ingenieur)|Günther Schmidt]]: ''Grundlagen der Regelungstechnik''. Springer Verlag, 1987, ISBN 3-540-17112-6.

== Weblinks ==
* [http://www.sengpielaudio.com/KennenSieDenFrequenzgangGehoer.pdf Kennen Sie den Frequenzgang des Gehörs?] (PDF; 112&nbsp;kB)

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Signalverarbeitung]]
[[Kategorie:Systemdarstellung]]

Zusammenfassung und Quellen:

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Abgerufen von „https://de.wikipedia.org/wiki/Frequenzgang“

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 Bei Systemen mit einem schnellen Einschwingverhalten nach einer (kleinen) Frequenzänderung kann die Messung mittels eines [[Wobbelgenerator|Wobbelgenerators]] erfolgen, wie zum Beispiel in der [[Nachrichtentechnik]]. Der Wobbelgenerator ist ein spezieller Signalgenerator, der seine Ausgangs-Frequenz kontinuierlich ändert.
 [[Datei:Frequenzgang-Bestimmung durch synchrone Messung.png|mini|Frequenzgang-Bestimmung mit Signalgenerator und zeitsynchroner Messung]]
-Falls jedoch nach jeder Frequenzanregung zunächst eine gewisse Zeit abgewartet werden muss, bis sich die Amplitude der Systemantwort nicht mehr ändert, dann ist der Prozess mit Hilfe eines Signalgenerators zeitaufwendiger.<ref>[[Günther Schmidt (Ingenieur)|Günther Schmidt]]: ''Grundlagen der Regelungstechnik''. Springer Verlag, 1987, ISBN 3-540-17112-6</ref>
+Falls jedoch nach jeder Frequenzanregung zunächst eine gewisse Zeit abgewartet werden muss, bis sich die Amplitude der Systemantwort nicht mehr ändert, dann ist der Prozess mit Hilfe eines Signalgenerators zeitaufwändiger.<ref>[[Günther Schmidt (Ingenieur)|Günther Schmidt]]: ''Grundlagen der Regelungstechnik''. Springer Verlag, 1987, ISBN 3-540-17112-6</ref>
 In diesem Fall ist es einfacher das System mit allen interessierenden Frequenzen gleichzeitig anzuregen und den Frequenzgang beispielsweise über die Messung der [[Impulsantwort]] zu bestimmen.

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