Kasteparabel

For et legeme der skydes af sted fra startpunktet ${\displaystyle (x_{0},y_{0})=(0,0)}$  med startfarten ${\displaystyle v_{0}}$  og affyringsvinklen ${\displaystyle \alpha }$  i forhold til vandret (${\displaystyle x}$ -retningen), er kasteparablen givet ved

${\displaystyle y(x)=-{\frac {g}{2v_{0}^{2}\cos ^{2}(\alpha )}}x^{2}+\tan(\alpha )x}$ 

hvor ${\displaystyle g}$  er tyngdeaccelerationen. Her bevæger legemet sig i ${\displaystyle xy}$ -planet, og tyngdekraften virker modsat ${\displaystyle y}$ -retningen.

Den maksimale kastelængde ${\displaystyle x_{\text{max}}}$  og kastehøjde ${\displaystyle y_{\text{max}}}$  er givet ved

${\displaystyle x_{\text{max}}={\frac {v_{0}^{2}\sin(2\alpha )}{g}}\qquad y_{\text{max}}={\frac {v_{0}^{2}\sin ^{2}(\alpha )}{2g}}\,,}$ 

og den optimale affyringsvinkel for at nå længst muligt er:

${\displaystyle \alpha _{\text{optimal}}=45^{\circ }}$ 

Når formlen for kasteparablen udledes, tages luftmodstanden ikke i betragtning, da den umuliggør både en parabel og den analytiske metode i det hele taget – se også afsnittet om det skrå kast ved luftmodstand. Dette er en god model, så længe luftmodstanden er meget lille i forhold til tyngdekraften.

Kasteparablen beskriver et legeme, der bliver sendt afsted uden luftmodstand ved en given vinkel, ${\displaystyle \alpha }$ , i forhold til vandret; denne vinkel kaldes elevationen. Legemet har en given starthastighed ${\displaystyle {\vec {v}}_{0}}$  givet ved

${\displaystyle {\vec {v}}_{0}={v_{0x} \choose v_{0y}}={v_{0}\cos(\alpha ) \choose v_{0}\sin(\alpha )}.}$ 

Så snart legemet er sendt af sted, er det ikke påvirket af andre kræfter end tyngdekraften. Tyngdeaccelerationen er lodret og nedadrettet. Derfor må hastigheden i x-aksens retning være konstant og givet ved

${\displaystyle v_{x}=v_{0x}=v_{0}\cos(\alpha )}$ 

På samme måde kan legemets position på et givent tidspunkt ${\displaystyle t}$  bestemmes:

${\displaystyle x=v_{0}\cos(\alpha )t+x_{0},}$ 

hvor ${\displaystyle x_{0}}$  er positionen til tiden ${\displaystyle t=0}$ .

Accelerationen i lodret plan er en konstant, negativ acceleration ${\displaystyle -g}$ , og bevægelsen i y-aksens retning er derfor:

${\displaystyle v_{y}=-gt+v_{0}\sin(\alpha )}$ 

og den tilsvarende position er:

${\displaystyle y=-{\frac {1}{2}}gt^{2}+v_{0}\sin(\alpha )t+y_{0}}$ 

hvor ${\displaystyle y_{0}}$  er positionen til tiden ${\displaystyle t=0}$ .

Den samlede hastighed som funktion af tiden er altså:

${\displaystyle {\vec {v}}(t)={v_{0}\cos(\alpha ) \choose -gt+v_{0}\sin(\alpha )}}$ 

og positionen ${\displaystyle {\vec {r}}}$  som funktion af tiden er:

${\displaystyle {\vec {r}}(t)={v_{0}\cos(\alpha )t+x_{0} \choose -{\frac {1}{2}}gt^{2}+v_{0}\sin(\alpha )t+y_{0}}}$ 

At kastebanen har form som en matematisk parabel kan ikke umiddelbart ses ud fra dette. For at genkende parablen, skal ${\displaystyle y}$ -koordinaten udtrykkes som funktion af ${\displaystyle x}$  i stedet for ${\displaystyle t}$ . Først kan ${\displaystyle t}$  isoleres i udtrykket for ${\displaystyle x}$ :

${\displaystyle t={\frac {x-x_{0}}{v_{0}\cos(\alpha )}}}$ 

Dette indsættes i formlen for ${\displaystyle y}$ -koordinaten:

${\displaystyle {\begin{aligned}y(x)&=-{\frac {1}{2}}g\left({\frac {x-x_{0}}{v_{0}\cos(\alpha )}}\right)^{2}+v_{0}\sin(\alpha ){\frac {x-x_{0}}{v_{0}\cos(\alpha )}}+y_{0}\\y(x)&=-{\frac {g}{2v_{0}^{2}\cos ^{2}(\alpha )}}(x-x_{0})^{2}+\tan(\alpha )(x-x_{0})+y_{0}\end{aligned}}}$ 

Det ses, at leddene foran "${\displaystyle (x-x_{0})^{2}}$ " og "${\displaystyle (x-x_{0})}$ " udelukkende består af konstanter, og dermed har vi et udtrykket for som en parabel.

Hvis bevægelsen starter i ${\displaystyle (x_{0},y_{0})=(0,0)}$ , reducerer kasteparablen til

og det bliver mere tydeligt, at det er en parabel.

 

Ovenstående udtryk for kasteparablen giver al den nødvendige information til at beregne hvor langt og hvor højt et legeme vil bevæge sig. For enkelthedens skyld, antages det at startpositionen er ${\displaystyle (x_{0},y_{0})=(0,0)}$ .

Det første man kan beregne er hvornår legemet rammer jorden. Denne situation svarer til at kasteparablen skærer x-aksen, dvs. ${\displaystyle y(x)=0}$ ,

${\displaystyle 0=-{\frac {g}{2v_{0}^{2}\cos ^{2}(\alpha )}}x^{2}+\tan(\alpha )x.}$ 

som løses ved brug af standardløsningsformlen for nulpunkter i et andengradspolynomium,

${\displaystyle {\begin{aligned}x=&{\frac {-\tan(\alpha )\pm {\sqrt {\tan(\alpha )^{2}-4\left(-{\frac {g}{2v_{0}^{2}\cos(\alpha )^{2}}}\right)0}}}{2\left(-{\frac {g}{2v_{0}^{2}\cos(\alpha )^{2}}}\right)}}\\x=&{\frac {-\tan(\alpha )\pm {\sqrt {\tan(\alpha )^{2}}}}{-{\frac {g}{v_{0}^{2}\cos(\alpha )^{2}}}}}\\x=&\left(\tan(\alpha )\mp \tan(\alpha )\right){\frac {v_{0}^{2}\cos(\alpha )^{2}}{g}}\\x=&0\quad {\text{eller}}\quad x={\frac {2v_{0}^{2}\tan(\alpha )\cos(\alpha )^{2}}{g}}={\frac {2v_{0}^{2}\sin(\alpha )\cos(\alpha )}{g}}\end{aligned}}}$ 

Løsningen ${\displaystyle x=0}$  giver bare skæringen med y-aksen i startpunktet ${\displaystyle (x_{0},y_{0})=(0,0)}$ , og er derfor ikke relevant. Den anden løsning giver derimod den maksimale kastelængde,

${\displaystyle x_{max}={\frac {2v_{0}^{2}\sin(\alpha )\cos(\alpha )}{g}}={\frac {v_{0}^{2}\sin(2\alpha )}{g}}}$ 

hvor det er brugt at ${\displaystyle 2\sin(\alpha )\cos(\alpha )=\sin(2\alpha )}$ .

Hvis ${\displaystyle x_{\text{max}}}$  skal være størst muligt, skal ${\displaystyle \sin(2\alpha )=1}$ . Da ${\displaystyle \sin(90^{\circ })=1}$ , må den optimale kastevinkel være halvdelen af ${\displaystyle 90^{\circ }}$ :

Dette resultat ændrer sig, hvis genstanden lander i en anden højde, end den kastes fra, for eksempel i et spydkast eller kuglestød.

Der hvor legemet er højest over startpunktet kan findes ved at bruge symmetri. Parablen er symmetrisk omkring toppunktet, dvs. der hvor legemet vender retning og har opnået sin maksimale højde. Dette betyder at x-værdien for toppunktet ligger midt mellem parablens skæring med x-aksen,

${\displaystyle x_{\text{top}}={\frac {1}{2}}x_{\text{max}}={\frac {v_{0}^{2}\sin(2\alpha )}{2g}}}$ 

Herfra findes højden i dette punkt, ved at indsætte ${\displaystyle x_{\text{top}}}$  i udtrykket for ${\displaystyle y(x)}$ ,

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{\text{max}}=&y(x_{\text{top}})=-{\frac {g}{2v_{0}^{2}\cos ^{2}(\alpha )}}\left({\frac {v_{0}^{2}\sin(\alpha )\cos(\alpha )}{g}}\right)^{2}+\tan(\alpha ){\frac {v_{0}^{2}\sin(\alpha )\cos(\alpha )}{g}}\\y_{\text{max}}=&-{\frac {v_{0}^{2}\sin(\alpha )^{2}}{2g}}+{\frac {v_{0}^{2}\sin(\alpha )^{2}}{g}}\\y_{\text{max}}=&{\frac {v_{0}^{2}\sin(\alpha )^{2}}{2g}}\end{aligned}}}$ 

Heraf ses det, at den maksimale højde nås ved et lodret kast, dvs. med en affyringsvinkel på ${\displaystyle \alpha =90^{\circ }}$ , da ${\displaystyle \sin(90^{\circ })=1}$ .

Den resulterende hastighed kan beregnes ud fra x-hastigheden og y-hastigheden. Da der er tale om vektorer, kan man tegne kræfternes parallelogram, der dog ikke har noget med kræfter at gøre i denne anvendelse.

Da hastighederne har en x-retning og en y-retning, må de være vinkelret på hinanden. Dermed danner de med den resulterende hastighed en retvinklet trekant, hvor x-hastigheden er den ene katete, y-hastigheden er den anden katete, og den resulterende hastighed er hypotenusen. Ifølge den pythagoræiske læresætning har man at

${\displaystyle v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}}$ 

Med de tidligere fundne udtryk for x-hastigheden og y-hastigheden har man:

${\displaystyle v={\sqrt {(v_{0}\cos(\alpha ))^{2}+(-gt+v_{0}\sin(\alpha ))^{2}}}.\,}$ 

I tilfælde af at objektet kastes lodret op, dvs. med vinklen ${\displaystyle \alpha =90^{\circ }}$ , bliver højden kun en funktion af tiden

${\displaystyle y(t)=-{\frac {1}{2}}gt^{2}+v_{0}t+y_{0},}$ 

og den maksimale højde er givet ved

Kasteparablen er en simpel model og kan forbedres ved at ændre antagelserne. Det følgende præsenterer korrektioner til kasteparablen.

  Hovedartikel: Luftmodstand.

En af de meste praktiske korrektion er inklusion af luftmodstand.

  Hovedartikel: Newtonsk tyngdekraft.

For kasteparablen antages det, at det kastede objekt er tæt på jordoverfladen, og at tyngdeaccelerationen derfor kan betragtes som konstant. For større afstande over jordoverfladen beskrives gravition dog bedre af newtonsk tyngdekraft:

${\displaystyle {\vec {F}}=-{\frac {GMm}{r^{2}}}{\hat {r}}}$ 

hvor ${\displaystyle G}$  er den universelle gravitationskonstant, ${\displaystyle M}$  er Jordens masse, ${\displaystyle r}$  er afstanden til Jordens centrum, og ${\displaystyle {\hat {r}}}$  angiver retningen væk fra Jorden. Tilsvarende er den potentielle energi:

${\displaystyle V(r)=-{\frac {GMm}{r}}}$ 

Hvis ${\displaystyle R}$  er Jordens radius, er tyngdeaccelerationen i kasteparablen givet ved:

${\displaystyle g={\frac {GM}{R^{2}}}}$ 

For et lodret kast kan højden beregnes med Newtonsk tyngdekraft. Ligning 1 kan udledes ved at sætte den kinetiske energi i starten til at være lig ændringen i potentiel energi fra start til top. Derved fås:

${\displaystyle {\begin{aligned}mg\left(y_{\text{max}}-y_{0}\right)&={\frac {1}{2}}mv_{0}^{2}\\y_{\text{max}}-y_{0}&={\frac {1}{2g}}v_{0}^{2}\\y_{\text{max}}&={\frac {v_{0}^{2}}{2g}}+y_{0}\end{aligned}}}$ 

Tilsvarende udledning er mulig med potentialet i Newtonsk tyngdekraft. Ændringen i potentiel energi er da:

${\displaystyle \Delta V=GMm\left({\frac {1}{R+y_{0}}}-{\frac {1}{R+y_{\text{max}}}}\right)}$ 

hvor ${\displaystyle y}$  er målt for jordoverfladen, og ${\displaystyle R}$  er Jordens radius.

Dette sættes lig den kinetiske energi, og ${\displaystyle y_{\text{max}}}$  isoleres:

${\displaystyle {\begin{aligned}GMm\left({\frac {1}{R+y_{0}}}-{\frac {1}{R+y_{\text{max}}}}\right)&={\frac {1}{2}}mv_{0}^{2}\\{\frac {1}{R+y_{0}}}-{\frac {1}{R+y_{\text{max}}}}&={\frac {v_{0}^{2}}{2GM}}\\{\frac {1}{R+y_{\text{max}}}}&={\frac {1}{R+y_{0}}}-{\frac {v_{0}^{2}}{2GM}}\\R+y_{\text{max}}&={\frac {1}{{\frac {1}{R+y_{0}}}-{\frac {v_{0}^{2}}{2GM}}}}\\R+y_{\text{max}}&={\frac {(R+y_{0})2GM}{2GM-v_{0}^{2}(R+y_{0})}}\\y_{\text{max}}&={\frac {(R+y_{0})2GM}{2GM-v_{0}^{2}(R+y_{0})}}-R\\y_{\text{max}}&={\frac {(R+y_{0})2GM-2GMR+v_{0}^{2}R(R+y_{0})}{2GM-v_{0}^{2}(R+y_{0})}}\end{aligned}}}$ 

Dette udtryk kan forsimples lidt ved at dividere med ${\displaystyle R^{2}}$  og indsætte tyngdeacceleratione:

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{\text{max}}&={\frac {(R+y_{0})2{\frac {GM}{R^{2}}}R^{2}-2{\frac {GM}{R^{2}}}R^{2}R+v_{0}^{2}R(R+y_{0})}{2{\frac {GM}{R^{2}}}R^{2}-v_{0}^{2}(R+y_{0})}}\\y_{\text{max}}&={\frac {(R+y_{0})2gR^{2}-2gR^{3}+v_{0}^{2}R(R+y_{0})}{2gR^{2}-v_{0}^{2}(R+y_{0})}}\\y_{\text{max}}&={\frac {2gR^{3}+2gR^{2}y_{0}-2gR^{3}+v_{0}^{2}R^{2}+v_{0}^{2}Ry_{0}}{2gR^{2}-v_{0}^{2}R-v_{0}^{2}y_{0}}}\\y_{\text{max}}&={\frac {v_{0}^{2}R^{2}+(2gR+v_{0}^{2})Ry_{0}}{2gR^{2}-v_{0}^{2}R-v_{0}^{2}y_{0}}}\end{aligned}}}$ 

Hvis ${\displaystyle y_{0}}$  er nul, bliver udtrykket simplere:

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{\text{max}}&={\frac {v_{0}^{2}R^{2}}{2gR^{2}-v_{0}^{2}R}}\\y_{\text{max}}&={\frac {R}{{\frac {2gR}{v_{0}^{2}}}-1}}\end{aligned}}}$ 

For en lille startfart reducerer udtrykket til:

${\displaystyle y_{\text{max}}={\frac {v_{0}^{2}}{2g}}}$ 

hvilket stemmer overens med kasteparablen. Højden divergerer dog, når nævneren går mod nul:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {2gR}{v_{\text{esc}}^{2}}}-1=&0\\{\frac {2gR}{v_{\text{esc}}^{2}}}=&1\\{\frac {v_{\text{esc}}2}{2gR}}=&1\\v_{\text{esc}}^{2}=&2gR\\v_{\text{esc}}=&{\sqrt {2gR}}\end{aligned}}}$ 

Dette er undvigelseshastigheden og er den lavest mulige fart, der skal til for at forlade jorden. Da tyngdeaccelerationen ved kasteparablen er konstant, har den model ikke nogen undvigelseshastighed.

  Hovedartikel: Keplers love.

For et skråt kast generel hvor hastigheden ikke overstiger undvigelseshastigheden, er kasteparablen egentlig en approksimation af en del af et elliptisk kredsløb beskrevet af Keplers love.