Kasteparabel

Når formlen for kasteparablen udledes, tages luftmodstanden ikke i betragtning, da den umuliggør både en parabel og den analystiske metode i det hele taget – se også afsnittet om det skrå kast ved luftmodstand. Kasteparablen beskriver derved et legeme, der bliver sendt af sted uden luftmodstand ved en given vinkel, ${\displaystyle \alpha }$ , i forhold til vandret; denne vinkel kaldes elevationen. Legemet har en given starthastighed, ${\displaystyle {\vec {v}}_{0}}$ . Hastigheden betragtes som en vektor, hvis koordinater

${\displaystyle {\vec {v}}_{0}={v_{0}\cdot \cos(\alpha ) \choose v_{0}\cdot \sin(\alpha )}.}$ 

Så snart legement er sendt af sted, er det ikke påvirket af andre kræfter end tyngdekraften. Tyngdeaccelerationen er lodret og nedadrettet. Derfor må hastigheden i x-aksens retning være konstant og givet ved

${\displaystyle v_{x}=v_{0}\cdot \cos(\alpha ).}$ 

På samme måde kan vi bestemme stedet, hvor legemet befinder sig på et givent tidpunkt ved bevægelse med konstant hastighed ved

${\displaystyle x=v_{0}\cdot \cos(\alpha )\cdot t+x_{0},}$ 

hvor ${\displaystyle x_{0}}$  er positionen til tiden ${\displaystyle t=0}$ .

Accelerationen i lodret plan er en jævn acceleration, og er lig −g, da legemet påvirkes af den lodret virkende og konstante tyngdekraft. Det negative fortegn giver accelerationen retningen nedad. Der benyttes derfor bevægelse med konstant acceleration til at beskrive bevægelsen i y-aksens retning. Denne bliver derfor

${\displaystyle v_{y}=-g\cdot t+v_{0}\cdot \sin(\alpha ),}$ 

og y-koordinaten på et givent tidpunkt kan udledes ved stedformlen for bevægelse med konstant acceleration og dermed beskrives som

${\displaystyle y=-{\frac {1}{2}}\cdot g\cdot t^{2}+v_{0}\cdot \sin(\alpha )\cdot t+y_{0},}$ 

hvor ${\displaystyle y_{0}}$  er positionen til tiden ${\displaystyle t=0}$ .

At kastebanen har form som en matematisk parabel kan ikke umiddelbart ses ud fra dette. Dette skal vises. Der ses – ud fra udtrykket for x-koordinaten – at man kan bestemme det tidspunkt, hvor bolden har en given hastighed og x-koordinat ved

${\displaystyle x=v_{0}\cdot \cos(\alpha )\cdot t+x_{0}}$ ,

${\displaystyle t={\frac {x-x_{0}}{v_{0}\cdot \cos(\alpha )}}.}$ 

For hvert tidspunkt og x-koordinat, må der være en tilhørende y-koordinat. Overstående "tids-formel" kan derfor indsættes i y-koordinat-formlen

${\displaystyle y=-{\frac {1}{2}}\cdot g\cdot \left({\frac {x-x_{0}}{v_{0}\cdot \cos(\alpha )}}\right)^{2}+v_{0}\cdot \sin(\alpha )\cdot {\frac {x-x_{0}}{v_{0}\cdot \cos(\alpha )}}+y_{0}=-{\frac {g}{2\cdot v_{0}^{2}\cdot \cos ^{2}(\alpha )}}\cdot (x-x_{0})^{2}+\tan(\alpha )\cdot (x-x_{0})+y_{0}.}$ 

Dermed ses det, at leddene foran "${\displaystyle (x-x_{0})^{2}}$ " og "${\displaystyle (x-x_{0})}$ " udelukkende består af konstanter.

Hvis man starter bevægelsen i ${\displaystyle (x_{0},y_{0})=(0,0)}$  reduceres kasteparablen til

${\displaystyle y=-{\frac {g}{2\cdot v_{0}^{2}\cdot \cos ^{2}(\alpha )}}\cdot x^{2}+\tan(\alpha )\cdot x.}$ 

Den resulterende hastighed kan beregnes ud fra x-hastigheden og y-hastigheden. Da der er tale om vektorer, kan man tegne kræfternes parallellogram, der dog ikke har noget med kræfter at gøre i denne anvendelse.

Da hastighederne har en x-retning og en y-retning, må de være vinkelret på hinanden. Dermed danner de med den resulterende hastighed en retvinklet trekant, hvor x-hastigheden er den ene katete, y-hastigheden er den anden katete, og den resulterende hastighed er hypotenusen. Ifølge den pythagoræiske læresætning har man at

${\displaystyle v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}.\,}$ 

Med de tidligere fundne udtryk for x-hastigheden og y-hastigheden har man:

${\displaystyle v={\sqrt {(v_{0}\cdot \cos(\alpha ))^{2}+(-g\cdot t+v_{0}\cdot \sin(\alpha ))^{2}}}.\,}$ 

Inkluderes luftmodstand i beregninger for at skrå kast, kan man ikke længere opstille en model analytisk, dvs. som en funktion, og der er ikke længere tale om en parabel. I stedet er man nødt til at beregne legemets bane numerisk. To forskellige metoder til dette er Eulers metode og Runge-Kutta-metoden.

Spire Denne naturvidenskabsartikel er en spire som bør udbygges. Du er velkommen til at hjælpe Wikipedia ved at udvide den.