Kasteparabel: Forskelle mellem versioner
Indhold slettet Indhold tilføjet
Inc (diskussion | bidrag) m internt link Tag: 2017-kilderedigering |
Inc (diskussion | bidrag) →Skråt kast: == Kildehenvisninger == {{reflist}} Tag: 2017-kilderedigering |
||
| (En mellemliggende version af den samme bruger vises ikke) | |||
Linje 205:
[[Fil:Newtonsmountainv=8000.gif|400px|thumb|right|Et projektil sendes af sted med en sådan fart, at det går i et elliptiske kredsløb omkring Jorden. Dette er ikke beskrevet af kasteparablen.]]
For et skråt kast generelt, hvor hastigheden ikke overstiger undvigelseshastigheden, er kasteparablen egentlig en approksimation af en del af et elliptisk kredsløb beskrevet med Keplers love.
Med andre ord er kasteparablen et [[Taylorpolynomium]] til anden orden. Dette kan vises ved at tage udgangspunkt i udtrykket for et elliptisk kredsløb:
:<math>r(\theta)=\frac{1}{k_1\cos(\theta)+\frac{1}{p}}</math>
hvor <math>r</math> er afstanden til Jordens centrum, <math>\theta</math> er [[vinkel|vinklen]], og <math>p</math> og <math>k</math> er konstanter. Den første konstant er givet ved:
:<math>p=\frac{L^2}{GMm^2}</math>
hvor <math>L</math> er [[impulsmoment]]et, <math>G</math> er [[den universelle gravitationskonstant]], <math>M</math> er Jordens [[Masse (fysik)|masse]], og <math>m</math> er den kastede genstands masse.<ref name="Brilliant">{{Kilde | efternavn1 = Kumar | fornavn1 = Anant | efternavn2 = Chakravarti | fornavn2 = Mohnish | efternavn3 = Mahajan | fornavn3 = Nihar | efternavn4 = et al. | titel = Deriving Kepler's Laws | værk = Brilliant | url = https://brilliant.org/wiki/deriving-keplers-laws/ | hentet = 29. juni 2019}}</ref>
Taylorpolynomiet af <math>r</math> er givet ved:
:<math>r(\theta)\approx r(\theta_0)+\left(\frac{\partial r}{\partial \theta}\right)_{\theta_0}(\theta-\theta_0)+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial^2 r}{\partial \theta^2}\right)_{\theta_0}(\theta-\theta_0)^2</math>
hvor <math>\theta_0</math> er startvinklen i forhold til Jordens centrum. Ved denne vinkel er afstanden til Jorden centrum blot lig med Jordens radius:
:<math>r(\theta_0)=R</math>
Størrelsen <math>\theta-\theta_0</math> er den rejste vinkel. Da en cirkels omkreds er radius gange <math>2\pi</math>, er den rejste afstand <math>x</math> ved jordoverfladen givet ved:
:<math>\mathrm{d}x=R\mathrm{d}\theta</math>
Så:
:<math>x=R(\theta-\theta_0)</math>
Højden <math>y</math> over jordoverfladen er derfor:
:<math>y(x)=r(\theta)-R\approx \left(\frac{\partial r}{\partial \theta}\right)_{\theta_0}\frac{x}{R}+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial^2 r}{\partial \theta^2}\right)_{\theta_0}\left(\frac{x}{R}\right)^2</math>
Den første og anden afledte til <math>y</math> skal altså findes. Den første afledte er:
:<math>\left(\frac{\partial r}{\partial \theta}\right)_{\theta_0}=\frac{1}{(k_1\cos(\theta_0)+\frac{1}{p})^2}k_1\sin(\theta_0)=r(\theta_0)^2k_1\sin(\theta_0)=R^2k_1\sin(\theta_0)</math>
Starthældningen skal være lig med tangens til affyringsvinklen:
:<math>\left(\frac{\partial r}{\partial x}\right)_{\theta_0}=\tan(\alpha)</math>
Jf. relationen mellem <math>x</math> og <math>\theta_0</math>:
:<math>\left(\frac{\partial r}{\partial \theta}\right)_{\theta_0}=R\tan(\alpha)</math>
Og for den anden afledte:
:<math>\begin{align}\left(\frac{\partial^2 r}{\partial \theta^2}\right)_{\theta_0}&=2r(\theta_0)\left(\frac{\partial r}{\partial \theta}\right)_{\theta_0}k_1\sin(\theta_0)+r(\theta_0)^2k_1\cos(\theta_0)\\
\left(\frac{\partial^2 r}{\partial \theta^2}\right)_{\theta_0}&=2\left(\frac{\partial r}{\partial \theta}\right)_{\theta_0}Rk_1\sin(\theta_0)+R^2k_1\cos(\theta_0)\\
\left(\frac{\partial^2 r}{\partial \theta^2}\right)_{\theta_0}&=\frac{2}{R}\left(\frac{\partial r}{\partial \theta}\right)_{\theta_0}R^2k_1\sin(\theta_0)+R^2k_1\cos(\theta_0)\\
\left(\frac{\partial^2 r}{\partial \theta^2}\right)_{\theta_0}&=\frac{2}{R}\left(\frac{\partial r}{\partial \theta}\right)^2_{\theta_0}+R^2k_1\cos(\theta_0)\end{align}</math>
Udtrykket for den første afledte indsættes:
:<math>\begin{align}\left(\frac{\partial^2 r}{\partial \theta^2}\right)_{\theta_0}&=\frac{2}{R}R^2\tan^2(\alpha)+R^2k_1\cos(\theta_0)\\
\left(\frac{\partial^2 r}{\partial \theta^2}\right)_{\theta_0}&=2R\tan^2(\alpha)+R^2k_1\cos(\theta_0)\end{align}</math>
Det andet led indeholder to konstanter, som helst skal udtrykkes ved andre størrelser for at stemme overens med kasteparablen. Pga. udtrykket for <math>r</math>, er konstanten <math>k_1</math> er givet ved:
:<math>\begin{align}R&=r(\theta_0)=\frac{1}{k_1\cos(\theta_0)+\frac{1}{p}}\\
k_1&=\frac{1-\frac{R}{p}}{R\cos(\theta_0)}\end{align}</math>
Dette indsættes til at starte med i den anden afledte:
:<math>\begin{align}\left(\frac{\partial^2 r}{\partial \theta^2}\right)_{\theta_0}&=2R\tan^2(\alpha)+R^2\frac{1-\frac{R}{p}}{R\cos(\theta_0)}\cos(\theta_0)\\
\left(\frac{\partial^2 r}{\partial \theta^2}\right)_{\theta_0}&=2R\tan^2(\alpha)+R-\frac{R^2}{p}\end{align}</math>
For et objekt der kastes ved Jordens overflade, kan impulsmomentet udtrykkes vha. startfarten, og affyringsvinklen:
:<math>L=Rmv_0\cos(\alpha)</math>
hvor <math>R</math> er [[Jordens radius]]. Dermed er <math>p</math>:
:<math>p=\frac{R^2m^2v_0^2\cos^2(\alpha)}{GMm^2}=\frac{R^2v_0^2}{GM}\cos^2(\alpha)=\frac{v_0^2}{g}\cos^2(\alpha)</math>
fordi
:<math>g=\frac{GM}{R^2}</math>
Dette udtryk for <math>p</math> indsættes:
:<math>\begin{align}\left(\frac{\partial^2 r}{\partial \theta^2}\right)_{\theta_0}&=2R\tan^2(\alpha)+R-\frac{R^2}{\frac{v_0^2}{g}\cos^2(\alpha)}\\
\left(\frac{\partial^2 r}{\partial \theta^2}\right)_{\theta_0}&=2R\tan^2(\alpha)+R-\frac{R^2g}{v_0^2\cos^2(\alpha)}\end{align}</math>
Tangens-funktionen kan med fordel omskrives til cosinus:
:<math>\tan^2(\alpha)=\frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}=\frac{1-\cos^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}=\frac{1}{\cos^2(\alpha)}-1</math>
Den anden afledte bliver da:
:<math>\begin{align}\left(\frac{\partial^2 r}{\partial \theta^2}\right)_{\theta_0}&=2R\left(\frac{1}{\cos^2(\alpha)}-1\right)+R-\frac{R^2g}{v_0^2\cos^2(\alpha)}\\
\left(\frac{\partial^2 r}{\partial \theta^2}\right)_{\theta_0}&=\frac{2R}{\cos^2(\alpha)}-2R+R-\frac{R^2g}{v_0^2\cos^2(\alpha)}\\
\left(\frac{\partial^2 r}{\partial \theta^2}\right)_{\theta_0}&=\left(2R-\frac{R^2g}{v_0^2}\right)\frac{1}{\cos^2(\alpha)}-R\end{align}</math>
Endelig kan et udtryk for <math>y</math> opstilles:
:<math>\begin{align}y(x) &= \left(R\tan(\alpha)\right)\frac{x}{R}+\frac{1}{2}\left(\left(2R-\frac{R^2g}{v_0^2}\right)\frac{1}{\cos^2(\alpha)}-R\right)\left(\frac{x}{R}\right)^2\\
y(x) &= \tan(\alpha)x+\left(\left(\frac{1}{R}-\frac{g}{2v_0^2}\right)\frac{1}{\cos^2(\alpha)}-\frac{1}{R}\right)x^2\end{align}</math>
For små afstande meget mindre end Jordens radius
:<math>x\ll R</math>
er brøkerne med radiussen i nævneren tilnærmelsesvist 0:
:<math>y(x) = \tan(\alpha)x-\frac{g}{2v_0^2\cos^2(\alpha)}x^2</math>
Dermed er kasteparablen blevet udledt fra Keplers første lov.
== Kildehenvisninger ==
{{reflist}}
[[Kategori:Ballistik]]
| |||