Nothing Special   »   [go: up one dir, main page]
Wikipedia

Kasteparabel: Forskelle mellem versioner

Gennemse historikken interaktivt
← Gå til forrige forskel
Indhold slettet Indhold tilføjet
VisueltWikitekst
tilføjelse fra en:Envelope (mathematics)
Tag: 2017-kilderedigering
→Skråt kast: == Kildehenvisninger == {{reflist}}
Tag: 2017-kilderedigering
 
(21 mellemliggende versioner af 3 andre brugere ikke vist)
Linje 1:
{{ingen kilder|dato=april 2020}}
[[Fil:ParabolicWaterTrajectory.jpg|250px|thumb|right|[[Vand]]et i et [[springvand]] danner en parabel.]]
'''Kasteparablen''' er vejen, en genstand følger, nårtæt denpå bliver[[Jorden]]s kastetoverflade tæt- påfx jordensved overfladeet kast. [[Parabel|Parablen]] gælder, når kun [[Gravitation|tyngdekraften]] virker på genstanden, mens [[luftmodstand]] ignoreres. Problemet kaldes også for '''det skrå kast'''.
 
== Parablen ==
Linje 24 ⟶ 25:
hvor <math>x_0</math> er positionen til tiden <math>t=0</math>.
 
Accelerationen i lodret plan er en konstant, negativ [[acceleration]] <math>-g</math> jf. [[Galileis faldlov]], og bevægelsen i [[y-akse]]ns retning er derfor:
 
:<math>v_y=-g t+v_0 \sin(\alpha)</math>
Linje 51 ⟶ 52:
y(x)& =-\frac{g}{2 v_0^2 \cos^2(\alpha)} (x-x_0)^2 + \tan(\alpha) (x-x_0) + y_0\end{align}</math>
 
Det ses, at leddene foran "<math>(x-x_0)^2</math>" og "<math>(x-x_0)</math>" udelukkende består af konstanter, og dermed er udtrykket for en [[parabel]].
 
Hvis bevægelsen starter i <math>(x_0,y_0)=(0,0)</math>, reducerer kasteparablen til
Linje 63 ⟶ 64:
|border colour = black
|background colour=white}}
og det bliver mere tydeligt, at det er en parabel.
 
== Rækkevidde ==
Linje 85 ⟶ 86:
x_{max}=\frac{2 v_0^2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)}{g}=\frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}
</math>
hvor det er brugt, at
:<math>2\sin(\alpha)\cos(\alpha)=\sin(2\alpha)</math>.
 
Hvis <math>x_\text{max}</math> skal være størst muligt, skal <math>\sin(2\alpha)=1</math>. Da <math>\sin(90^\circ)=1</math>, må den optimale kastevinkel være halvdelen af <math>90^\circ</math>:
Linje 97 ⟶ 99:
|background colour=white}}
 
Dette resultat ændrer sig, hvis genstanden lander i en anden højde, end den kastes fra, for eksempel i et spydkast eller kuglestød.
 
=== Kastehøjde ===
Der, hvor legemet er højest over startpunktetoppe, kan findes ved at bruge symmetri. Parablen er symmetrisk omkring toppunktet, dvs. der hvor legemet vender retning og har opnået sin maksimale højde. Dette betyder, at x-værdien for toppunktet ligger midt mellem parablens skæringskæringer med x-aksen,
:<math>x_\text{top}=\frac{1}{2}x_\text{max} = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{2g}</math>
Herfra findes højden i dette punkt, ved at indsætte <math>x_\text{top}</math> i udtrykket for <math>y(x)</math>,
Linje 106 ⟶ 108:
y_\text{max}=& -\frac{v_0^2 \sin(\alpha)^2}{2g} +\frac{v_0^2 \sin(\alpha)^2}{g}\\
y_\text{max}(\alpha)=& \frac{v_0^2 \sin(\alpha)^2}{2g}\end{align}</math>
Heraf ses det, at den maksimale højde nås ved et lodret kast, dvs. med en affyringsvinkel på <math>\alpha=90^\circ</math>, da <math>\sin(90^\circ)=1</math>. Den maksimale højde er demda givet ved:
{{Equation box 1
|title=
Linje 115 ⟶ 117:
|border colour = black
|background colour=white}}
forhvor <math>y_0</math> liger medlagt nultil som en arbitrær starthøjde.
 
=== Generel rækkevidde ===
[[Fil:Envelope cast.svg|thumb|right|300px|Illustration af området som kan rammes af et projektil, hvis affyringsvinklen varieres. I illustrationen bruges <math>v_0=10 \text{ } \fractfrac{\text{m}}{\text{s}}</math> og <math>g=10 \text{ } \fractfrac{\text{m}}{\text{s}^2}</math>.]]
Hvis et projektil kan sendes afsted med en maksimal startfart, men med forskellige vinkler, er der et helt område i <math>xy</math>-planet, som kan rammes af projektilet. Dette område er afgrænset af kasteparablens [[indhyldningskurveindhylningskurve]].
 
En funktion <math>F</math> lig med nul kan opstilles:
:<math>F(x,y,\alpha)=-\frac{g}{2 v_0^2 \cos^2(\alpha)} x^2 + \tan(\alpha) x-y=0</math>
er denDen afledte med hensyn til <math>\alpha</math> er da:
:<math>\frac{\partial F}{\partial \alpha}=\frac{x}{\cos^2 (\alpha)} - \frac{gx^2 \tan (\alpha)}{v_0^2 \cos^2 (\alpha)} =0</math>
Dermed er <math>\alpha</math> givet ved:
Linje 129 ⟶ 131:
eller
:<math>\frac{1}{\cos^2 (\alpha)} =\frac{v_0^4}{g^2x^2}+1</math>
Dette indsættes i udtrukketudtrykket for <math>F</math>, og <math>y</math> isoleres:
:<math>y(x)=\frac{v_0^2}{2g}-\frac{g}{2v_0^2}x^2</math>
Dette er indhyldningskurvenindhylningskurven.
 
== Beregning af hastigheden ==
Linje 151 ⟶ 153:
=== Newtonsk tyngdekraft ===
{{Hovedartikel|Newtonsk gravitation}}
For kasteparablen antages det, at det kastede objekt er tæt på jordoverfladen, og at tyngdeaccelerationen derfor kan betragtes som konstant. For større afstande over jordoverfladen beskrives [[gravitionGravitation|gravitionen]] dog bedre af newtonsk tyngdekraft:
:<math>\vec{F}=-\frac{GMm}{r^2}\hat{r}</math>
hvor <math>G</math> er den [[universelle gravitationskonstant]], <math>M</math> er [[Jorden]]s masse, <math>r</math> er afstanden til Jordens centrum, og <math>\hat{r}</math> angiver retningen væk fra Jorden.
Linje 160 ⟶ 162:
 
==== Lodret kast ====
Betydningen af Newtonsk tyngdekraft er lettest at vise med et lodret kast. Ligning {{EquationNote|1}} kan udledes ved at sætte den [[Kinetisk energi|kinetiske energi]] i starten til at være lig ændringen i [[potentiel energi]] fra start til top. Derved fås:
:<math>\begin{align} mg \left(y_\text{max}-y_0\right) &= \frac{1}{2}mv_0^2\\
y_\text{max}-y_0 &= \frac{1}{2g}v_0^2\\
Linje 179 ⟶ 181:
 
[[File:Lodret kast med Galilei og Newton.svg|400px|thumb|right|Højden for at lodret kast som funktion af startfarten. Plottet sammenligner [[Galileis faldlov]] (kasteparablen) med [[Newtonsk tyngdekraft|Newtons tyngdekraft]]. Det ses, at de to modeller stemmer overens for små værdier af startfarten.]]
Dette udtryk kan forsimples lidt ved at dividere med <math>R^2</math> og indsætte tyngdeaccelerationetyngdeaccelerationen:
:<math>\begin{align}y_\text{max}&=\frac{(R+y_0)2\frac{GM}{R^2}R^2-2\frac{GM}{R^2}R^2R+ v_0^2R(R+y_0)}{2\frac{GM}{R^2}R^2- v_0^2(R+y_0)}\\
y_\text{max}&=\frac{(R+y_0)2gR^2-2gR^3+ v_0^2R(R+y_0)}{2gR^2- v_0^2(R+y_0)}\\
Linje 190 ⟶ 192:
For en lille startfart reducerer udtrykket til:
:<math>y_\text{max}=\frac{v_0^2}{2g}</math>
hvilket stemmer overens med kasteparablen. Højden divergerer dog, når nævneren går mod nul. Dette sker ved en fart <math>v_\text{esc}</math> givet ved:
:<math>\begin{align}\frac{2gR}{v_\text{esc}^2}-1=&0\\
\frac{2gR}{v_\text{esc}^2}=&1\\
Linje 197 ⟶ 199:
v_\text{esc}=&\sqrt{2gR}
\end{align}</math>
Dette er [[undvigelseshastighed]]en og er den lavest mulige fart, der skal til for at forlade jordenJorden. Da tyngdeaccelerationen ved kasteparablen er konstant, har den model ikke nogen undvigelseshastighed.
 
==== Skråt kast ====
Linje 203 ⟶ 205:
[[Fil:Newtonsmountainv=8000.gif|400px|thumb|right|Et projektil sendes af sted med en sådan fart, at det går i et elliptiske kredsløb omkring Jorden. Dette er ikke beskrevet af kasteparablen.]]
For et skråt kast generelt, hvor hastigheden ikke overstiger undvigelseshastigheden, er kasteparablen egentlig en approksimation af en del af et elliptisk kredsløb beskrevet med Keplers love.
 
Med andre ord er kasteparablen et [[Taylorpolynomium]] til anden orden. Dette kan vises ved at tage udgangspunkt i udtrykket for et elliptisk kredsløb:
:<math>r(\theta)=\frac{1}{k_1\cos(\theta)+\frac{1}{p}}</math>
hvor <math>r</math> er afstanden til Jordens centrum, <math>\theta</math> er [[vinkel|vinklen]], og <math>p</math> og <math>k</math> er konstanter. Den første konstant er givet ved:
:<math>p=\frac{L^2}{GMm^2}</math>
hvor <math>L</math> er [[impulsmoment]]et, <math>G</math> er [[den universelle gravitationskonstant]], <math>M</math> er Jordens [[Masse (fysik)|masse]], og <math>m</math> er den kastede genstands masse.<ref name="Brilliant">{{Kilde | efternavn1 = Kumar | fornavn1 = Anant | efternavn2 = Chakravarti | fornavn2 = Mohnish | efternavn3 = Mahajan | fornavn3 = Nihar | efternavn4 = et al. | titel = Deriving Kepler's Laws | værk = Brilliant | url = https://brilliant.org/wiki/deriving-keplers-laws/ | hentet = 29. juni 2019}}</ref>
Taylorpolynomiet af <math>r</math> er givet ved:
:<math>r(\theta)\approx r(\theta_0)+\left(\frac{\partial r}{\partial \theta}\right)_{\theta_0}(\theta-\theta_0)+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial^2 r}{\partial \theta^2}\right)_{\theta_0}(\theta-\theta_0)^2</math>
hvor <math>\theta_0</math> er startvinklen i forhold til Jordens centrum. Ved denne vinkel er afstanden til Jorden centrum blot lig med Jordens radius:
:<math>r(\theta_0)=R</math>
Størrelsen <math>\theta-\theta_0</math> er den rejste vinkel. Da en cirkels omkreds er radius gange <math>2\pi</math>, er den rejste afstand <math>x</math> ved jordoverfladen givet ved:
:<math>\mathrm{d}x=R\mathrm{d}\theta</math>
Så:
:<math>x=R(\theta-\theta_0)</math>
Højden <math>y</math> over jordoverfladen er derfor:
:<math>y(x)=r(\theta)-R\approx \left(\frac{\partial r}{\partial \theta}\right)_{\theta_0}\frac{x}{R}+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial^2 r}{\partial \theta^2}\right)_{\theta_0}\left(\frac{x}{R}\right)^2</math>
Den første og anden afledte til <math>y</math> skal altså findes. Den første afledte er:
:<math>\left(\frac{\partial r}{\partial \theta}\right)_{\theta_0}=\frac{1}{(k_1\cos(\theta_0)+\frac{1}{p})^2}k_1\sin(\theta_0)=r(\theta_0)^2k_1\sin(\theta_0)=R^2k_1\sin(\theta_0)</math>
Starthældningen skal være lig med tangens til affyringsvinklen:
:<math>\left(\frac{\partial r}{\partial x}\right)_{\theta_0}=\tan(\alpha)</math>
Jf. relationen mellem <math>x</math> og <math>\theta_0</math>:
:<math>\left(\frac{\partial r}{\partial \theta}\right)_{\theta_0}=R\tan(\alpha)</math>
Og for den anden afledte:
:<math>\begin{align}\left(\frac{\partial^2 r}{\partial \theta^2}\right)_{\theta_0}&=2r(\theta_0)\left(\frac{\partial r}{\partial \theta}\right)_{\theta_0}k_1\sin(\theta_0)+r(\theta_0)^2k_1\cos(\theta_0)\\
\left(\frac{\partial^2 r}{\partial \theta^2}\right)_{\theta_0}&=2\left(\frac{\partial r}{\partial \theta}\right)_{\theta_0}Rk_1\sin(\theta_0)+R^2k_1\cos(\theta_0)\\
\left(\frac{\partial^2 r}{\partial \theta^2}\right)_{\theta_0}&=\frac{2}{R}\left(\frac{\partial r}{\partial \theta}\right)_{\theta_0}R^2k_1\sin(\theta_0)+R^2k_1\cos(\theta_0)\\
\left(\frac{\partial^2 r}{\partial \theta^2}\right)_{\theta_0}&=\frac{2}{R}\left(\frac{\partial r}{\partial \theta}\right)^2_{\theta_0}+R^2k_1\cos(\theta_0)\end{align}</math>
Udtrykket for den første afledte indsættes:
:<math>\begin{align}\left(\frac{\partial^2 r}{\partial \theta^2}\right)_{\theta_0}&=\frac{2}{R}R^2\tan^2(\alpha)+R^2k_1\cos(\theta_0)\\
\left(\frac{\partial^2 r}{\partial \theta^2}\right)_{\theta_0}&=2R\tan^2(\alpha)+R^2k_1\cos(\theta_0)\end{align}</math>
Det andet led indeholder to konstanter, som helst skal udtrykkes ved andre størrelser for at stemme overens med kasteparablen. Pga. udtrykket for <math>r</math>, er konstanten <math>k_1</math> er givet ved:
:<math>\begin{align}R&=r(\theta_0)=\frac{1}{k_1\cos(\theta_0)+\frac{1}{p}}\\
k_1&=\frac{1-\frac{R}{p}}{R\cos(\theta_0)}\end{align}</math>
Dette indsættes til at starte med i den anden afledte:
:<math>\begin{align}\left(\frac{\partial^2 r}{\partial \theta^2}\right)_{\theta_0}&=2R\tan^2(\alpha)+R^2\frac{1-\frac{R}{p}}{R\cos(\theta_0)}\cos(\theta_0)\\
\left(\frac{\partial^2 r}{\partial \theta^2}\right)_{\theta_0}&=2R\tan^2(\alpha)+R-\frac{R^2}{p}\end{align}</math>
 
 
For et objekt der kastes ved Jordens overflade, kan impulsmomentet udtrykkes vha. startfarten, og affyringsvinklen:
:<math>L=Rmv_0\cos(\alpha)</math>
hvor <math>R</math> er [[Jordens radius]]. Dermed er <math>p</math>:
:<math>p=\frac{R^2m^2v_0^2\cos^2(\alpha)}{GMm^2}=\frac{R^2v_0^2}{GM}\cos^2(\alpha)=\frac{v_0^2}{g}\cos^2(\alpha)</math>
fordi
:<math>g=\frac{GM}{R^2}</math>
 
Dette udtryk for <math>p</math> indsættes:
:<math>\begin{align}\left(\frac{\partial^2 r}{\partial \theta^2}\right)_{\theta_0}&=2R\tan^2(\alpha)+R-\frac{R^2}{\frac{v_0^2}{g}\cos^2(\alpha)}\\
\left(\frac{\partial^2 r}{\partial \theta^2}\right)_{\theta_0}&=2R\tan^2(\alpha)+R-\frac{R^2g}{v_0^2\cos^2(\alpha)}\end{align}</math>
Tangens-funktionen kan med fordel omskrives til cosinus:
:<math>\tan^2(\alpha)=\frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}=\frac{1-\cos^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}=\frac{1}{\cos^2(\alpha)}-1</math>
Den anden afledte bliver da:
:<math>\begin{align}\left(\frac{\partial^2 r}{\partial \theta^2}\right)_{\theta_0}&=2R\left(\frac{1}{\cos^2(\alpha)}-1\right)+R-\frac{R^2g}{v_0^2\cos^2(\alpha)}\\
\left(\frac{\partial^2 r}{\partial \theta^2}\right)_{\theta_0}&=\frac{2R}{\cos^2(\alpha)}-2R+R-\frac{R^2g}{v_0^2\cos^2(\alpha)}\\
\left(\frac{\partial^2 r}{\partial \theta^2}\right)_{\theta_0}&=\left(2R-\frac{R^2g}{v_0^2}\right)\frac{1}{\cos^2(\alpha)}-R\end{align}</math>
 
Endelig kan et udtryk for <math>y</math> opstilles:
:<math>\begin{align}y(x) &= \left(R\tan(\alpha)\right)\frac{x}{R}+\frac{1}{2}\left(\left(2R-\frac{R^2g}{v_0^2}\right)\frac{1}{\cos^2(\alpha)}-R\right)\left(\frac{x}{R}\right)^2\\
y(x) &= \tan(\alpha)x+\left(\left(\frac{1}{R}-\frac{g}{2v_0^2}\right)\frac{1}{\cos^2(\alpha)}-\frac{1}{R}\right)x^2\end{align}</math>
For små afstande meget mindre end Jordens radius
:<math>x\ll R</math>
er brøkerne med radiussen i nævneren tilnærmelsesvist 0:
:<math>y(x) = \tan(\alpha)x-\frac{g}{2v_0^2\cos^2(\alpha)}x^2</math>
Dermed er kasteparablen blevet udledt fra Keplers første lov.
 
== Kildehenvisninger ==
{{reflist}}
 
[[Kategori:Ballistik]]
Hentet fra "https://da.wikipedia.org/wiki/Kasteparabel"