Kasteparabel: Forskelle mellem versioner
Indhold slettet Indhold tilføjet
Inc (diskussion | bidrag) m Fjernede Kategori:Konvertering mellem potentiel energi og kinetisk energi; Tilføjede Kategori:Ballistik ved hjælp af Hotcat |
Inc (diskussion | bidrag) →Skråt kast: == Kildehenvisninger == {{reflist}} Tag: 2017-kilderedigering |
||
| (33 mellemliggende versioner af 3 andre brugere ikke vist) | |||
Linje 1:
{{ingen kilder|dato=april 2020}}
[[Fil:ParabolicWaterTrajectory.jpg|250px|thumb|right|[[Vand]]et i et [[springvand]] danner en parabel.]]
'''Kasteparablen''' er vejen, en genstand følger
==
For et legeme der skydes af sted fra startpunktet <math>(x_0,y_0)=(0,0)</math> med startfarten <math>v_0</math> og affyringsvinklen <math>\alpha</math> i forhold til vandret (<math>x</math>-retningen), er kasteparablen givet ved
:<math>y(x)=-\frac{g}{2 v_0^2 \cos^2(\alpha)}x^2 + \tan(\alpha) x</math>
hvor <math>g</math> er [[tyngdeacceleration]]en. Her bevæger legemet sig i <math>xy</math>-planet, og tyngdekraften virker modsat <math>y</math>-retningen.
== Udledning af parablen==
Når formlen for kasteparablen udledes, tages [[luftmodstand]]en ikke i betragtning, da den umuliggør både en parabel og den analytiske metode i det hele taget – se også afsnittet om det skrå kast ved luftmodstand. Dette er en god model, så længe luftmodstanden er meget lille i forhold til tyngdekraften.
Linje 29 ⟶ 25:
hvor <math>x_0</math> er positionen til tiden <math>t=0</math>.
Accelerationen i lodret plan er en konstant, negativ [[acceleration]] <math>-g</math> jf. [[Galileis faldlov]], og bevægelsen i [[y-akse]]ns retning er derfor:
:<math>v_y=-g t+v_0 \sin(\alpha)</math>
Linje 56 ⟶ 52:
y(x)& =-\frac{g}{2 v_0^2 \cos^2(\alpha)} (x-x_0)^2 + \tan(\alpha) (x-x_0) + y_0\end{align}</math>
Det ses, at leddene foran
Hvis bevægelsen starter i <math>(x_0,y_0)=(0,0)</math>, reducerer kasteparablen til
Linje 68 ⟶ 64:
|border colour = black
|background colour=white}}
og det bliver mere tydeligt, at det er en parabel.
== Rækkevidde ==
Kasteparablens praktiske styrke er, at den muliggør beregning af, hvor langt et projektil kan nå.
=== Kastelængde ===
[[Fil:Skraat kast.gif|alt=Kasteparabel ved forskellige vinkler|500px|thumb|right|Formen af kasteparablen ændrer sig med vinklen, der kastes med. Læg mærke til, at den vandrette afstand i affyringshøjden er størst ved en vinkel på 45°.]]
Ovenstående udtryk for kasteparablen giver al den nødvendige information til at beregne hvor langt og hvor højt et legeme vil bevæge sig. For enkelthedens skyld, antages det at startpositionen er <math>(x_0,y_0)=(0,0)</math>.
Linje 87 ⟶ 86:
x_{max}=\frac{2 v_0^2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)}{g}=\frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}
</math>
hvor det er brugt, at
:<math>2\sin(\alpha)\cos(\alpha)=\sin(2\alpha)</math> Hvis <math>x_\text{max}</math> skal være størst muligt, skal <math>\sin(2\alpha)=1</math>. Da <math>\sin(90^\circ)=1</math>, må den optimale kastevinkel være halvdelen af <math>90^\circ</math>:
Linje 99:
|background colour=white}}
Dette resultat ændrer sig, hvis genstanden lander i en anden højde, end den kastes fra, for eksempel i et spydkast eller kuglestød.
=== Kastehøjde ===
Der, hvor legemet er højest oppe, kan findes ved at bruge symmetri. Parablen er symmetrisk omkring toppunktet, dvs. der hvor legemet vender retning og har opnået sin maksimale højde. Dette betyder, at x-værdien for toppunktet ligger midt mellem parablens skæringer med x-aksen,
:<math>x_\text{top}=\frac{1}{2}x_\text{max} = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{2g}</math>
Herfra findes højden i dette punkt, ved at indsætte <math>x_\text{top}</math> i udtrykket for <math>y(x)</math>,
:<math>\begin{align}y_\text{max}=&y(x_\text{top})=-\frac{g}{2 v_0^2 \cos^2(\alpha)} \left(\frac{v_0^2 \sin(\alpha)\cos(\alpha)}{g}\right)^2 + \tan(\alpha)\frac{v_0^2\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{g}\\
y_\text{max}=& -\frac{v_0^2 \sin(\alpha)^2}{2g} +\frac{v_0^2 \sin(\alpha)^2}{g}\\
y_\text{max}(\alpha)=& \frac{v_0^2 \sin(\alpha)^2}{2g}\end{align}</math>
Heraf ses det, at den maksimale højde nås ved et lodret kast, dvs. med en affyringsvinkel på <math>\alpha=90^\circ</math>, da <math>\sin(90^\circ)=1</math>. Den maksimale højde er da givet ved:
{{Equation box 1
|title=
|indent=:
|equation={{NumBlk|:|<math>y_\text{max}(90^\circ)= y_0 + \frac{v_0^2}{2g}</math>|{{EquationRef|1}}}}
|cellpadding = 6
|border = 1
|border colour = black
|background colour=white}}
hvor <math>y_0</math> er lagt til som en arbitrær starthøjde.
=== Generel rækkevidde ===
[[Fil:Envelope cast.svg|thumb|right|300px|Illustration af området som kan rammes af et projektil, hvis affyringsvinklen varieres. I illustrationen bruges <math>v_0=10 \text{ } \tfrac{\text{m}}{\text{s}}</math> og <math>g=10 \text{ } \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}</math>.]]
Hvis et projektil kan sendes afsted med en maksimal startfart, men med forskellige vinkler, er der et helt område i <math>xy</math>-planet, som kan rammes af projektilet. Dette område er afgrænset af kasteparablens [[indhylningskurve]].
En funktion <math>F</math> lig med nul kan opstilles:
:<math>F(x,y,\alpha)=-\frac{g}{2 v_0^2 \cos^2(\alpha)} x^2 + \tan(\alpha) x-y=0</math>
Den afledte med hensyn til <math>\alpha</math> er da:
:<math>\frac{\partial F}{\partial \alpha}=\frac{x}{\cos^2 (\alpha)} - \frac{gx^2 \tan (\alpha)}{v_0^2 \cos^2 (\alpha)} =0</math>
Dermed er <math>\alpha</math> givet ved:
:<math>\tan (\alpha) =\frac{v_0^2}{gx}</math>
eller
:<math>\frac{1}{\cos^2 (\alpha)} =\frac{v_0^4}{g^2x^2}+1</math>
Dette indsættes i udtrykket for <math>F</math>, og <math>y</math> isoleres:
:<math>y(x)=\frac{v_0^2}{2g}-\frac{g}{2v_0^2}x^2</math>
Dette er indhylningskurven.
Den resulterende hastighed kan beregnes ud fra x-hastigheden og y-hastigheden.
Da der er tale om vektorer, kan man tegne [[kræfternes parallelogram]], der dog ikke har noget med kræfter at gøre i denne anvendelse.
Linje 118 ⟶ 144:
:<math> v = \sqrt{(v_0\cos(\alpha))^2 + (-g t+v_0 \sin(\alpha))^2}. \,</math>
== Korrektioner ==
Kasteparablen er en simpel model og kan forbedres ved at ændre antagelserne. Det følgende præsenterer korrektioner til kasteparablen.
=== Luftmodstand ===
{{Hovedartikel|Luftmodstand}}
En af de meste praktiske korrektioner er inklusion af luftmodstand, der generelt gør et projektils rækkevidde kortere.
=== Newtonsk tyngdekraft ===
{{Hovedartikel|Newtonsk gravitation}}
For kasteparablen antages det, at det kastede objekt er tæt på jordoverfladen, og at tyngdeaccelerationen derfor kan betragtes som konstant. For større afstande over jordoverfladen beskrives [[Gravitation|gravitionen]] dog bedre af newtonsk tyngdekraft:
:<math>\vec{F}=-\frac{GMm}{r^2}\hat{r}</math>
hvor <math>G</math> er den [[universelle gravitationskonstant]], <math>M</math> er [[Jorden]]s masse, <math>r</math> er afstanden til Jordens centrum, og <math>\hat{r}</math> angiver retningen væk fra Jorden.
Tilsvarende er den potentielle energi:
:<math>V(r)=-\frac{GMm}{r}</math>
Hvis <math>R</math> er Jordens radius, er tyngdeaccelerationen i kasteparablen givet ved:
:<math>g=\frac{GM}{R^2}</math>
==== Lodret kast ====
Betydningen af Newtonsk tyngdekraft er lettest at vise med et lodret kast. Ligning {{EquationNote|1}} kan udledes ved at sætte den [[Kinetisk energi|kinetiske energi]] i starten til at være lig ændringen i [[potentiel energi]] fra start til top. Derved fås:
:<math>\begin{align} mg \left(y_\text{max}-y_0\right) &= \frac{1}{2}mv_0^2\\
y_\text{max}-y_0 &= \frac{1}{2g}v_0^2\\
y_\text{max}&= \frac{v_0^2}{2g}+y_0 \end{align}</math>
Tilsvarende udledning er mulig med potentialet i Newtonsk tyngdekraft. Ændringen i potentiel energi er da:
:<math>\Delta V=GMm \left( \frac{1}{R+y_0}-\frac{1}{R+y_\text{max}} \right)</math>
hvor <math>y</math> er målt for jordoverfladen, og <math>R</math> er Jordens radius.
Dette sættes lig den kinetiske energi, og <math>y_\text{max}</math> isoleres:
:<math>\begin{align} GMm \left( \frac{1}{R+y_0}-\frac{1}{R+y_\text{max}} \right) &= \frac{1}{2}mv_0^2\\
\frac{1}{R+y_0}-\frac{1}{R+y_\text{max}} &= \frac{v_0^2}{2GM}\\
\frac{1}{R+y_\text{max}} &=\frac{1}{R+y_0}- \frac{v_0^2}{2GM}\\
R+y_\text{max}&=\frac{1}{\frac{1}{R+y_0}- \frac{v_0^2}{2GM}}\\
R+y_\text{max}&=\frac{(R+y_0)2GM}{2GM- v_0^2(R+y_0)}\\
y_\text{max}&=\frac{(R+y_0)2GM}{2GM- v_0^2(R+y_0)}-R\\
y_\text{max}&=\frac{(R+y_0)2GM-2GMR+ v_0^2R(R+y_0)}{2GM- v_0^2(R+y_0)}\end{align}</math>
[[File:Lodret kast med Galilei og Newton.svg|400px|thumb|right|Højden for at lodret kast som funktion af startfarten. Plottet sammenligner [[Galileis faldlov]] (kasteparablen) med [[Newtonsk tyngdekraft|Newtons tyngdekraft]]. Det ses, at de to modeller stemmer overens for små værdier af startfarten.]]
Dette udtryk kan forsimples lidt ved at dividere med <math>R^2</math> og indsætte tyngdeaccelerationen:
:<math>\begin{align}y_\text{max}&=\frac{(R+y_0)2\frac{GM}{R^2}R^2-2\frac{GM}{R^2}R^2R+ v_0^2R(R+y_0)}{2\frac{GM}{R^2}R^2- v_0^2(R+y_0)}\\
y_\text{max}&=\frac{(R+y_0)2gR^2-2gR^3+ v_0^2R(R+y_0)}{2gR^2- v_0^2(R+y_0)}\\
y_\text{max}&=\frac{2gR^3+2gR^2y_0-2gR^3+v_0^2R^2+v_0^2Ry_0}{2gR^2- v_0^2R-v_0^2y_0}\\
y_\text{max}&=\frac{v_0^2R^2+(2gR+v_0^2)Ry_0}{2gR^2- v_0^2R-v_0^2y_0}\end{align}</math>
Hvis <math>y_0</math> er nul, bliver udtrykket simplere:
:<math>\begin{align}y_\text{max}&=\frac{v_0^2R^2}{2gR^2- v_0^2R}\\
y_\text{max}&=\frac{R}{\frac{2gR}{v_0^2}-1}\end{align}</math>
For en lille startfart reducerer udtrykket til:
:<math>y_\text{max}=\frac{v_0^2}{2g}</math>
hvilket stemmer overens med kasteparablen. Højden divergerer dog, når nævneren går mod nul. Dette sker ved en fart <math>v_\text{esc}</math> givet ved:
:<math>\begin{align}\frac{2gR}{v_\text{esc}^2}-1=&0\\
\frac{2gR}{v_\text{esc}^2}=&1\\
\frac{v_\text{esc}^2}{2gR}=&1\\
v_\text{esc}^2=&2gR\\
v_\text{esc}=&\sqrt{2gR}
\end{align}</math>
Dette er [[undvigelseshastighed]]en og er den lavest mulige fart, der skal til for at forlade Jorden. Da tyngdeaccelerationen ved kasteparablen er konstant, har den model ikke nogen undvigelseshastighed.
==== Skråt kast ====
{{Hovedartikel|Keplers love}}
[[Fil:Newtonsmountainv=8000.gif|400px|thumb|right|Et projektil sendes af sted med en sådan fart, at det går i et elliptiske kredsløb omkring Jorden. Dette er ikke beskrevet af kasteparablen.]]
For et skråt kast generelt, hvor hastigheden ikke overstiger undvigelseshastigheden, er kasteparablen egentlig en approksimation af en del af et elliptisk kredsløb beskrevet med Keplers love.
Med andre ord er kasteparablen et [[Taylorpolynomium]] til anden orden. Dette kan vises ved at tage udgangspunkt i udtrykket for et elliptisk kredsløb:
:<math>r(\theta)=\frac{1}{k_1\cos(\theta)+\frac{1}{p}}</math>
hvor <math>r</math> er afstanden til Jordens centrum, <math>\theta</math> er [[vinkel|vinklen]], og <math>p</math> og <math>k</math> er konstanter. Den første konstant er givet ved:
:<math>p=\frac{L^2}{GMm^2}</math>
hvor <math>L</math> er [[impulsmoment]]et, <math>G</math> er [[den universelle gravitationskonstant]], <math>M</math> er Jordens [[Masse (fysik)|masse]], og <math>m</math> er den kastede genstands masse.<ref name="Brilliant">{{Kilde | efternavn1 = Kumar | fornavn1 = Anant | efternavn2 = Chakravarti | fornavn2 = Mohnish | efternavn3 = Mahajan | fornavn3 = Nihar | efternavn4 = et al. | titel = Deriving Kepler's Laws | værk = Brilliant | url = https://brilliant.org/wiki/deriving-keplers-laws/ | hentet = 29. juni 2019}}</ref>
Taylorpolynomiet af <math>r</math> er givet ved:
:<math>r(\theta)\approx r(\theta_0)+\left(\frac{\partial r}{\partial \theta}\right)_{\theta_0}(\theta-\theta_0)+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial^2 r}{\partial \theta^2}\right)_{\theta_0}(\theta-\theta_0)^2</math>
hvor <math>\theta_0</math> er startvinklen i forhold til Jordens centrum. Ved denne vinkel er afstanden til Jorden centrum blot lig med Jordens radius:
:<math>r(\theta_0)=R</math>
Størrelsen <math>\theta-\theta_0</math> er den rejste vinkel. Da en cirkels omkreds er radius gange <math>2\pi</math>, er den rejste afstand <math>x</math> ved jordoverfladen givet ved:
:<math>\mathrm{d}x=R\mathrm{d}\theta</math>
Så:
:<math>x=R(\theta-\theta_0)</math>
Højden <math>y</math> over jordoverfladen er derfor:
:<math>y(x)=r(\theta)-R\approx \left(\frac{\partial r}{\partial \theta}\right)_{\theta_0}\frac{x}{R}+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial^2 r}{\partial \theta^2}\right)_{\theta_0}\left(\frac{x}{R}\right)^2</math>
Den første og anden afledte til <math>y</math> skal altså findes. Den første afledte er:
:<math>\left(\frac{\partial r}{\partial \theta}\right)_{\theta_0}=\frac{1}{(k_1\cos(\theta_0)+\frac{1}{p})^2}k_1\sin(\theta_0)=r(\theta_0)^2k_1\sin(\theta_0)=R^2k_1\sin(\theta_0)</math>
Starthældningen skal være lig med tangens til affyringsvinklen:
:<math>\left(\frac{\partial r}{\partial x}\right)_{\theta_0}=\tan(\alpha)</math>
Jf. relationen mellem <math>x</math> og <math>\theta_0</math>:
:<math>\left(\frac{\partial r}{\partial \theta}\right)_{\theta_0}=R\tan(\alpha)</math>
Og for den anden afledte:
:<math>\begin{align}\left(\frac{\partial^2 r}{\partial \theta^2}\right)_{\theta_0}&=2r(\theta_0)\left(\frac{\partial r}{\partial \theta}\right)_{\theta_0}k_1\sin(\theta_0)+r(\theta_0)^2k_1\cos(\theta_0)\\
\left(\frac{\partial^2 r}{\partial \theta^2}\right)_{\theta_0}&=2\left(\frac{\partial r}{\partial \theta}\right)_{\theta_0}Rk_1\sin(\theta_0)+R^2k_1\cos(\theta_0)\\
\left(\frac{\partial^2 r}{\partial \theta^2}\right)_{\theta_0}&=\frac{2}{R}\left(\frac{\partial r}{\partial \theta}\right)_{\theta_0}R^2k_1\sin(\theta_0)+R^2k_1\cos(\theta_0)\\
\left(\frac{\partial^2 r}{\partial \theta^2}\right)_{\theta_0}&=\frac{2}{R}\left(\frac{\partial r}{\partial \theta}\right)^2_{\theta_0}+R^2k_1\cos(\theta_0)\end{align}</math>
Udtrykket for den første afledte indsættes:
:<math>\begin{align}\left(\frac{\partial^2 r}{\partial \theta^2}\right)_{\theta_0}&=\frac{2}{R}R^2\tan^2(\alpha)+R^2k_1\cos(\theta_0)\\
\left(\frac{\partial^2 r}{\partial \theta^2}\right)_{\theta_0}&=2R\tan^2(\alpha)+R^2k_1\cos(\theta_0)\end{align}</math>
Det andet led indeholder to konstanter, som helst skal udtrykkes ved andre størrelser for at stemme overens med kasteparablen. Pga. udtrykket for <math>r</math>, er konstanten <math>k_1</math> er givet ved:
:<math>\begin{align}R&=r(\theta_0)=\frac{1}{k_1\cos(\theta_0)+\frac{1}{p}}\\
k_1&=\frac{1-\frac{R}{p}}{R\cos(\theta_0)}\end{align}</math>
Dette indsættes til at starte med i den anden afledte:
:<math>\begin{align}\left(\frac{\partial^2 r}{\partial \theta^2}\right)_{\theta_0}&=2R\tan^2(\alpha)+R^2\frac{1-\frac{R}{p}}{R\cos(\theta_0)}\cos(\theta_0)\\
\left(\frac{\partial^2 r}{\partial \theta^2}\right)_{\theta_0}&=2R\tan^2(\alpha)+R-\frac{R^2}{p}\end{align}</math>
For et objekt der kastes ved Jordens overflade, kan impulsmomentet udtrykkes vha. startfarten, og affyringsvinklen:
:<math>L=Rmv_0\cos(\alpha)</math>
hvor <math>R</math> er [[Jordens radius]]. Dermed er <math>p</math>:
:<math>p=\frac{R^2m^2v_0^2\cos^2(\alpha)}{GMm^2}=\frac{R^2v_0^2}{GM}\cos^2(\alpha)=\frac{v_0^2}{g}\cos^2(\alpha)</math>
fordi
:<math>g=\frac{GM}{R^2}</math>
Dette udtryk for <math>p</math> indsættes:
:<math>\begin{align}\left(\frac{\partial^2 r}{\partial \theta^2}\right)_{\theta_0}&=2R\tan^2(\alpha)+R-\frac{R^2}{\frac{v_0^2}{g}\cos^2(\alpha)}\\
\left(\frac{\partial^2 r}{\partial \theta^2}\right)_{\theta_0}&=2R\tan^2(\alpha)+R-\frac{R^2g}{v_0^2\cos^2(\alpha)}\end{align}</math>
Tangens-funktionen kan med fordel omskrives til cosinus:
:<math>\tan^2(\alpha)=\frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}=\frac{1-\cos^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}=\frac{1}{\cos^2(\alpha)}-1</math>
Den anden afledte bliver da:
:<math>\begin{align}\left(\frac{\partial^2 r}{\partial \theta^2}\right)_{\theta_0}&=2R\left(\frac{1}{\cos^2(\alpha)}-1\right)+R-\frac{R^2g}{v_0^2\cos^2(\alpha)}\\
\left(\frac{\partial^2 r}{\partial \theta^2}\right)_{\theta_0}&=\frac{2R}{\cos^2(\alpha)}-2R+R-\frac{R^2g}{v_0^2\cos^2(\alpha)}\\
\left(\frac{\partial^2 r}{\partial \theta^2}\right)_{\theta_0}&=\left(2R-\frac{R^2g}{v_0^2}\right)\frac{1}{\cos^2(\alpha)}-R\end{align}</math>
Endelig kan et udtryk for <math>y</math> opstilles:
:<math>\begin{align}y(x) &= \left(R\tan(\alpha)\right)\frac{x}{R}+\frac{1}{2}\left(\left(2R-\frac{R^2g}{v_0^2}\right)\frac{1}{\cos^2(\alpha)}-R\right)\left(\frac{x}{R}\right)^2\\
y(x) &= \tan(\alpha)x+\left(\left(\frac{1}{R}-\frac{g}{2v_0^2}\right)\frac{1}{\cos^2(\alpha)}-\frac{1}{R}\right)x^2\end{align}</math>
For små afstande meget mindre end Jordens radius
:<math>x\ll R</math>
er brøkerne med radiussen i nævneren tilnærmelsesvist 0:
:<math>y(x) = \tan(\alpha)x-\frac{g}{2v_0^2\cos^2(\alpha)}x^2</math>
Dermed er kasteparablen blevet udledt fra Keplers første lov.
== Kildehenvisninger ==
{{reflist}}
[[Kategori:Ballistik]]
[[Kategori:Klassisk mekanik]]
| |||