Euklids Elementer

Elementerne består af 13 bind eller bøger. I første bog defineres grundlæggende begreber i geometrien som punkt, linje, vinkel og så videre. Parallelle linjer blev defineret som to linjer, som ikke skærer hinanden. En linje er vinkelret (perpendikulær) til en anden, hvis de to nabovinkler på samme side er lige store og defineres som en ret vinkel.

Alt dette svarer til, hvad man kan tegne i sandet eller på et stykke papir. Som platoniker mente Euklid, at disse geometriske begreber er enkle udgaver af modsvarende objekter i en mere ideel og abstrakt verden. Deres egenskaber kan derfor ikke bevises, men må accepteres som intuitivt sande og logisk oplagte. For eksempel, så er det hele større end en del. Eller ting, som er lig samme ting, er også lig hinanden. Disse logisk oplagte sandheder tog Euklid som sine aksiomer.

Endvidere formulerede Euklid fem postulater, som siger hvordan, disse begreber kan benyttes i geometrien:

1. Et linjestykke kan trækkes fra et punkt til et andet.
2. Et linjestykke kan forlænges til en vilkårlig lang linje.
3. Omkring hvert punkt kan beskrives en cirkel med en vilkårlig stor radius.
4. Alle rette vinkler er lige store.
5. Hvis en lige linje skærer to lige linjer således, at summen af de indre vinkler på samme side er mindre end to rette vinkler, så kommer de to rette linjer til at skære hinanden på den side, hvor de indre vinkler befinder sig, når linjerne forlænges vilkårlig langt.

Disse er ikke længere oplagte sandheder, men kan heller ikke bevises fra de mere generelle aksiomer. Baseret på disse antagelser og nye definitioner, kunne han så i de følgende bøger ved deduktiv logik udlede en stor mængde teoremer eller sætninger inden for geometrien og aritmetikken.

 

De første bøger omhandler meget af det, som var kendt fra Pythagoras og hans elever, blandt andet Pythagoras’ læresætning. Videre bevises Thales' teorem og mange egenskaber ved cirkler. Fra betragtninger omkring korder og tangenter, udledes det, som i dag kaldes potensen til et punkt. I fjerde bog diskuteres egenskaber ved mangekanter.

Selv om Elementerne hovedsagelig omhandler geometri, behandles her også talteori, brøker og proportioner. I syvende bog viser Euklid, at antallet af primtal er uendelig. Her udvikles også hans algoritme for at beregne største fælles divisor for to heltal. Videre omtales perfekte tal og hvordan disse kan findes. Også geometriske rækker og deres summation bliver behandlet. I den tiende bog diskuteres inkommensurable størrelser, og det bliver vist, at √2 er et irrationalt tal.

I de tre sidste bøger omtales linjer, vinkler og plan i rummet. Dette benyttes til at udlede egenskaber ved parallellepipeder, cylindre og kegler. Euklid viser, at volumet for en kegle er en tredjedel af volumet af den tilsvarende cylinder, mens volumet for en kugle øges med tredje potens af dens radius. Dette afsluttes i den trettende bog med omtale af de platoniske legemer, og han beviser, at der kun kan være fem sådanne. Han beregner til sidst deres sidekanter.

 

Det blev tidligt klart, at Euklids aksiomer ikke kunne være absolutte sandheder. Specielt det femte aksiom var omstridt. Mange mente, at det måtte kunne udledes fra de fire første og derfor ikke var at betragte som et fundamentalt aksiom. De første 28 teoremer, som Euklid beviste, var også uafhængigt af dette. Euklid selv havde forgæves forsøgt at bevise det. Man kunne derfor tænke sig geometrier, hvor dette ikke længere behøvedes. En sådan geometri fik senere navnet neutral geometri eller absolut geometri. I midten af 1800-tallet viste Bolyai og Lobatjevskij, at dette leder til hyperbolsk geometri.

Linjer i planet, som ikke skærer hinanden, var af Euklid defineret at være parallelle. Det femte aksiom angår derfor eksistensen af sådanne parallelle linjer og har derfor fået navnet parallelaksiomet. Antages det at holde, er det ækvivalent med at summen af vinklerne i en trekant er lig to rette vinkler. Det er ensbetydende med, at to linjer er parallelle, når de har konstant afstand til hinanden eller andre, ækvivalente formuleringer.

Måske den bedste formulering af dette aksiom blev givet af den skotske matematiker John Playfair. Han definerede Euklidisk geometri ved at gennem et punkt uden for en lige linje er der kun én parallel linje. I midten af 1800-tallet blev det klart, at dette åbnede for ikke-euklidiske geometrier, hvor der ikke findes nogen parallelle linjer eller mere end én gennem et sådant punkt. I det første tilfælde taler man da om sfærisk geometri, mens i det sidste tilfælde har man hyperbolsk geometri. Denne nye indsigt førte til en rig opblomstring af geometri og moderne matematik.

• Euklids postulater

• M. Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press, New York (1972). ISBN 0-19-506135-7.

• Netudgave af Byrne’s Euclid fra 1847 Arkiveret 30. november 2020 hos Wayback Machine (engelsk)
• Euklids Elementer på græsk Arkiveret 1. marts 2012 hos Wayback Machine
• Euklids Elementer i engelsk oversættelse Arkiveret 18. juni 2017 hos Wayback Machine
• Euklids Elementer i svensk oversættelse Arkiveret 23. februar 2020 hos Wayback Machine
• Omfattende side om Euklids Elementer – engelsk Arkiveret 18. juni 2017 hos Wayback Machine

•   Wikimedia Commons har flere filer relateret til Euklids Elementer