Spojitá funkce

O funkci ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$  řekneme, že je spojitá v bodě ${\displaystyle a}$ , pokud ke každému libovolně malému číslu ${\displaystyle \varepsilon >0}$  existuje takové číslo ${\displaystyle \delta >0}$ , že pro všechna ${\displaystyle x}$ , pro něž platí ${\displaystyle |x-a|<\delta }$ , platí také ${\displaystyle |f(x)-f(a)|<\varepsilon }$ . Velikost čísla ${\displaystyle \delta }$  může záviset nejen na volbě čísla ${\displaystyle \varepsilon }$ , ale i na volbě bodu ${\displaystyle a}$ .

Funkci ${\displaystyle f}$  označujeme jako spojitou zprava resp. zleva, pokud k libovolnému ${\displaystyle \varepsilon >0}$  existuje takové ${\displaystyle \delta >0}$ , že pro všechna ${\displaystyle x\in \langle a,a+\delta )}$  resp. ${\displaystyle x\in (a-\delta ,a\rangle }$ , tzn. pro všechna ${\displaystyle x}$  z pravého resp. levého okolí bodu ${\displaystyle a}$ , platí ${\displaystyle |f(x)-f(a)|<\varepsilon }$ . Funkce je spojitá tehdy, je-li spojitá zprava i zleva.

Uvedenou Cauchyho definici lze formulovat také pro funkci ${\displaystyle n}$  proměnných. O funkci ${\displaystyle f}$  o proměnných ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$  řekneme, že je spojitá v bodě ${\displaystyle A=[a_{1},a_{2},...,a_{n}]}$ , pokud ke každému libovolně malému číslu ${\displaystyle \varepsilon >0}$  existuje takové číslo ${\displaystyle \delta >0}$ , že pro všechny body ${\displaystyle X=[x_{1},x_{2},...,x_{n}]}$  z okolí bodu ${\displaystyle A}$ , tzn. pro body jejichž vzdálenost splňuje podmínku ${\displaystyle d(A,X)<\delta }$ , platí ${\displaystyle |f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})-f(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})|<\varepsilon }$ .

Funkce ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$  je stejnoměrně spojitá, jestliže obrazy ${\displaystyle f(x_{1})}$  a ${\displaystyle f(x_{2})}$  sobě dostatečně blízkých bodů ${\displaystyle x_{1}}$  a ${\displaystyle x_{2}}$  jsou si také dostatečně blízko a tato vlastnost nezávisí na volbě blízkých bodů, ale pouze na jejich (dostatečně malé) vzdálenosti.

• Nechť ${\displaystyle (X,\rho )}$  a ${\displaystyle (Y,\sigma )}$  jsou metrické prostory. Funkci ${\displaystyle f:X\to Y}$  nazveme stejnoměrně spojitou, pokud k libovolnému ${\displaystyle \varepsilon >0}$  existuje ${\displaystyle \delta >0}$  takové, že pro libovolné dva body ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$  platí, že pokud ${\displaystyle \rho (x_{1},x_{2})<\delta }$ , tak ${\displaystyle \sigma (f(x_{1}),f(x_{2}))<\varepsilon }$ .

• Mějme funkci ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$  definovanou na intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ , pro niž k libovolnému ${\displaystyle \varepsilon >0}$  existuje ${\displaystyle \delta >0}$  takové, že pro libovolné dva body ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$  z intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$  splňující podmínku ${\displaystyle |x_{1}-x_{2}|<\delta }$  platí ${\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon }$ . Pak říkáme, že funkce ${\displaystyle f}$  je stejnoměrně spojitá na intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ .

• Mějme funkci ${\displaystyle f:A\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$ , kde ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$  a ${\displaystyle \ n,m\in \mathbb {N} }$ , pak říkáme, že funkce ${\displaystyle f}$  je stejnoměrně spojitá, pokud pro každou dvojici reálných posloupností ${\displaystyle \{x_{n}\}}$  a ${\displaystyle \{y_{n}\}}$  splňujících podmínku ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }|x_{n}-y_{n}|=0\,}$  platí ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }|f(x_{n})-f(y_{n})|=0}$ .

Povšimněme si rozdílů oproti definici jen spojité funkce, konkrétně pořadí kvantifikátorů, u stejnoměrně spojité funkce hodnota ${\displaystyle \delta }$  závisí pouze na velikosti ${\displaystyle \varepsilon }$ , a nikoli na bodu ${\displaystyle x}$ .

• Spojitost funkce je lokální vlastnost funkce; zkoumáme, zda funkce je, či není spojitá v každém jednotlivém bodě. Pokud řekneme, že funkce je spojitá na intervalu, pak tím myslíme, že je spojitá v každém bodě tohoto intervalu. Oproti tomu stejnoměrná spojitost je vlastnost globální.
• Každá stejnoměrně spojitá funkce je spojitá.
• Složení dvou stejnoměrně spojitých funkcí je stejnoměrně spojité.
• Lipschitzovská funkce je stejnoměrně spojitá.
• Spojitá funkce na kompaktu je stejnoměrně spojitá. Speciálně každá spojitá funkce na omezeném uzavřeném intervalu je stejnoměrně spojitá.
• Pokud je reálná funkce ${\displaystyle f}$  spojitá na intervalu ${\displaystyle \langle 0,\infty )}$  a existuje vlastní limita ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)}$ , pak je funkce na intervalu ${\displaystyle \langle 0,\infty )}$  stejnoměrně spojitá.

• Funkce ${\displaystyle f(x)=kx}$  je pro ${\displaystyle k\in \mathbb {R} }$  stejnoměrně spojitá na celé reálné ose.
• Exponenciální funkce ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$  je spojitá na celé reálné ose, ale není na ní stejnoměrně spojitá.
• Nechť ${\displaystyle (X,\rho )}$  je metrický prostor. Pak ${\displaystyle \rho :X\times X\to \mathbb {R} }$  je stejnoměrně spojitá funkce.

Absolutní spojitost funkce zesiluje stejnoměrnou spojitost. Na rozdíl od ní se ale neomezuje na jeden dostatečně malý interval a velikost jeho obrazu, nýbrž klade nároky i na systémy (malých) intervalů.

Funkce ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$  je absolutně spojitá na intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ , jestliže k libovolnému ${\displaystyle \varepsilon >0}$  existuje takové ${\displaystyle \delta >0}$ , že pro každý systém intervalů ${\displaystyle \langle a_{1},b_{1}\rangle ,\langle a_{2},b_{2}\rangle ,\ldots ,\langle a_{n},b_{n}\rangle }$ , pro který je ${\displaystyle a\leq a_{1}\leq b_{1}\leq a_{2}\leq b_{2}\leq \cdots \leq a_{n}\leq b_{n}\leq b}$  a ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left(b_{i}-a_{i}\right)<\delta }$  platí ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left|f\left(b_{i}\right)-f\left(a_{i}\right)\right|<\varepsilon }$ .

Funkce ${\displaystyle f}$  je absolutně spojitá na ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$  právě tehdy, když

• ${\displaystyle f\in L^{1}(a,b)}$  je rozdílem dvou neklesajících spojitých funkcí
• ${\displaystyle \exists g\in L^{1}(a,b)}$  taková, že ${\displaystyle f(x)=\int _{a}^{x}g(t)\mathrm {dt} {\mbox{ }}\forall x\in (a,b)}$ 
• ${\displaystyle \exists h\in L^{1}(a,b)}$  taková, že ${\displaystyle |f(d)-f(c)|\leq \int _{c}^{d}h(t)\mathrm {dt} {\mbox{ }}\forall \langle c,d\rangle \subset \langle a,b\rangle }$ .

Pokud ${\displaystyle f\in L^{1}(a,b)}$  a ${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\mathrm {dt} }$ , pak ${\displaystyle F}$  je absolutně spojitá na ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ .

• Je-li funkce ${\displaystyle f}$  absolutně spojitá na intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ , pak je na tomto intervalu spojitá.
• Každá absolutně spojitá funkce je stejnoměrně spojitá a tedy spojitá.
• Součet a rozdíl dvou absolutně spojitých funkcí je také absolutně spojitý.
• Lipschitzovská funkce je absolutně spojitá.
• Spojitost neimplikuje absolutní spojitost - Cantorova funkce je spojitá, ale není absolutně spojitá.
• Stejnoměrná spojitost neimplikuje absolutní spojitost - Cantorova funkce je stejnoměrně spojitá, ale není absolutně spojitá.
• Absolutně spojitá funkce ${\displaystyle f}$  má derivaci skoro všude a platí: ${\displaystyle f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}f'(t)\mathrm {dt} {\mbox{ }}\forall x\in \langle a,b\rangle }$ .

• Funkce ${\displaystyle f(x)=x}$  je absolutně spojitá.

Přesněji polospojitost shora a polospojitost zdola jsou pojmy používané v matematické analýze. Jsou to vlastnosti reálných funkcí, které jsou slabší než spojitost, nicméně dány dohromady již spojitost implikují. Každá z nich je tedy sama o sobě jen „půl spojitosti“. Funkce ${\displaystyle f}$  je shora polospojitá v bodě ${\displaystyle x}$ , pokud pro body ${\displaystyle y}$  blízké bodu ${\displaystyle x}$  není ${\displaystyle f(y)}$  o moc větší než ${\displaystyle f(x)}$ . Funkce ${\displaystyle f}$  je zdola polospojitá v bodě ${\displaystyle x}$ , pokud pro body ${\displaystyle y}$  blízké bodu ${\displaystyle x}$  není ${\displaystyle f(y)}$  o moc menší než ${\displaystyle f(x)}$ .

 

• Funkce ${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} }$ , kde ${\displaystyle X}$  je topologický prostor, je shora polospojitá v bodě ${\displaystyle x\in X}$ , pokud pro každé ${\displaystyle \varepsilon >0}$  existuje okolí ${\displaystyle U}$  bodu ${\displaystyle x}$  tak, že pro každé ${\displaystyle y\in U}$  platí ${\displaystyle f(y)<f(x)+\varepsilon }$ .

• Funkce ${\displaystyle f}$  je shora polospojitá v ${\displaystyle X}$  , jestliže je shora polospojitá v každém bodě ${\displaystyle x\in X}$ . Je to právě tehdy, když jsou všechny množiny tvaru ${\displaystyle \{x\in X:f(x)<\varepsilon \}}$  otevřené.

Ekvivalentně můžeme říci, že ${\displaystyle f}$  je shora polospojitá v bodě ${\displaystyle x}$ , pokud ${\displaystyle \limsup _{y\to x}f(y)\leq f(x)}$ .

 

• Funkce ${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} }$ , kde ${\displaystyle X}$  je topologický prostor, je zdola polospojitá v bodě ${\displaystyle x\in X}$ , pokud pro každé ${\displaystyle \varepsilon >0}$  existuje okolí ${\displaystyle U}$  bodu ${\displaystyle x}$  tak, že pro každé ${\displaystyle y\in U}$  platí ${\displaystyle f(y)>f(x)-\varepsilon }$ .

• Funkce ${\displaystyle f}$  je zdola polospojitá v ${\displaystyle X}$  , jestliže je zdola polospojitá v každém bodě ${\displaystyle x\in X}$ . Je to právě tehdy, když jsou všechny množiny tvaru ${\displaystyle \{x\in X:f(x)>\varepsilon \}}$  otevřené.

Ekvivalentně můžeme říci, že ${\displaystyle f}$  je zdola polospojitá v bodě ${\displaystyle x}$ , pokud ${\displaystyle \liminf _{y\to x}f(y)\geq f(x)}$ .

• Nerovnost ${\displaystyle \limsup _{y\to x}f(y)\leq f(x)\leq \liminf _{y\to x}f(y)}$  ukazuje, že pokud je ${\displaystyle f}$  v bodě ${\displaystyle x}$  polospojitá shora i zdola, je již v bodě ${\displaystyle x}$  spojitá.
• Nerovnost ${\displaystyle \limsup _{y\to x}f(y)\geq f(x)\geq \liminf _{y\to x}f(y)}$  ukazuje, že pokud je ${\displaystyle f}$  v bodě ${\displaystyle x}$  polospojitá shora i zdola, je již v bodě ${\displaystyle x}$  spojitá.
• Funkce ${\displaystyle f}$ , která je shora polospojitá na kompaktním prostoru ${\displaystyle X}$ , je již nutně shora omezená na ${\displaystyle X}$  a má na ${\displaystyle X}$  maximum.
• Funkce ${\displaystyle f}$ , která je zdola polospojitá na kompaktním prostoru ${\displaystyle X}$ , je již nutně zdola omezená na ${\displaystyle X}$  a má na ${\displaystyle X}$  minimum.
• Protože ${\displaystyle \{\sup _{f\in {\mathcal {F}}}f>a\}=\bigcup _{f\in {\mathcal {F}}}\{f>a\}}$ , je supremum libovolného systému zdola polospojitých funkcí ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$  opět zdola polospojité.
• Protože ${\displaystyle \{\sup _{f\in {\mathcal {F}}}f>a\}=\bigcup _{f\in {\mathcal {F}}}\{f>a\}}$ , je infimum libovolného systému shora polospojitých funkcí ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$  opět zdola polospojité.
• Naopak supremum shora polospojitých (nebo dokonce spojitých) funkcí nemusí být shora polospojité, jak ukazuje příklad ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{\arctan(n\cdot ):n\in \mathbb {N} \}}$ .
• Norma na Banachově prostoru ${\displaystyle X}$  je slabě polospojitá zdola (tedy zdola polospojitá na topologickém prostoru ${\displaystyle (X,w)}$ ). Je-li dimenze ${\displaystyle X}$  nekonečná, norma nemůže být slabě polospojitá shora, tedy ani slabě spojitá.

• Charakteristická funkce otevřené množiny je zdola polospojitá.
• Charakteristická funkce uzavřené množiny je shora polospojitá.

Komplexní funkce ${\displaystyle f:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$  je spojitá v bodě ${\displaystyle z_{0}}$  části komplexní roviny ${\displaystyle \mathbf {\Omega } }$ , na které je definovaná, jestliže platí:

${\displaystyle \lim _{z\rightarrow z_{0}}f(z)=f(z_{0})}$ .

Je-li funkce ${\displaystyle f(z)}$  spojitá v každém bodě oblasti ${\displaystyle \mathbf {\Omega } }$ , pak říkáme, že je spojitá na oblasti ${\displaystyle \mathbf {\Omega } }$ .

• Heineho věta říká, že funkce ${\displaystyle f}$  definovaná na prstencovém okolí bodu ${\displaystyle a}$  je v bodě ${\displaystyle a}$  spojitá, právě když pro každou posloupnost čísel ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$  z uvedeného okolí bodu ${\displaystyle a}$  takovou, že ${\displaystyle x_{n}\neq a}$  a ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a}$  platí ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f(a)}$ .
• Weierstrassova věta říká, že je-li funkce ${\displaystyle f}$  spojitá na uzavřeném intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ , pak na intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$  existuje alespoň jeden bod ${\displaystyle x_{1}\in \langle a,b\rangle }$  takový, že ${\displaystyle f(x_{1})\geq f(x)}$  pro všechna ${\displaystyle x\in \langle a,b\rangle }$ . Jedná se o maximum funkce ${\displaystyle f}$  na intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ . Současně také existuje alespoň jeden bod ${\displaystyle x_{2}\in \langle a,b\rangle }$  takový, že ${\displaystyle f(x_{2})\leq f(x)}$  pro všechna ${\displaystyle x\in \langle a,b\rangle }$ . Jedná se o minimum funkce ${\displaystyle f}$  na intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ . Funkce spojitá na uzavřeném intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$  je tedy na tomto intervalu také ohraničená.
• Weierstrassova aproximační věta říká, že máme-li funkci ${\displaystyle f}$  spojitou na intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ , pak pro každé ${\displaystyle \varepsilon >0}$  existuje polynom ${\displaystyle P}$  takový, že ${\displaystyle |f(x)-P(x)|<\varepsilon }$  pro všechna ${\displaystyle x\in \langle a,b\rangle }$ .
• Bolzanova věta říká, že je-li funkce ${\displaystyle f}$  spojitá na uzavřeném intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$  a splňuje-li podmínku ${\displaystyle f(a)f(b)<0}$ , pak existuje alespoň jeden bod ${\displaystyle c\in \langle a,b\rangle }$  takový, že ${\displaystyle f(c)=0}$ .
• Darbouxova věta říká, že je-li funkce ${\displaystyle f}$  spojitá na uzavřeném intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ , pak pro ${\displaystyle m=\min\{f(x)|x\in \langle a,b\rangle \}}$  a ${\displaystyle M=\max\{f(x)|x\in \langle a,b\rangle \}}$  platí ${\displaystyle f(\langle a,b\rangle )=\langle m,M\rangle }$ , tj. ke každému ${\displaystyle y_{0}\in \langle m,M\rangle }$  existuje ${\displaystyle x_{0}\in \langle a,b\rangle }$  tak, že ${\displaystyle f(x_{0})=y_{0}}$ .

Poznamenejme, že v anglické a francouzské matematické literatuře se pod pojmem Darbouxova věta rozumí většinou věta říkající, že derivace diferencovatelné funkce na otevřeném intervalu má tzv. vlastnost nabývání mezihodnot. V části ruské matematické literatury se pod pojmem Darbouxova věta rozumí věta uvedená v předchozím odstavci.

Body, v nichž daná funkce není spojitá, označujeme jako body nespojitosti:

Pokud v bodě ${\displaystyle a}$  existuje vlastní oboustranná limita, avšak je různá od funkční hodnoty v bodě ${\displaystyle a}$ , tj. ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)\neq f(a)}$ , pak v bodě ${\displaystyle a}$  nastává odstranitelná nespojitost funkce ${\displaystyle f}$ , funkci lze v bodě ${\displaystyle a}$  předefinovat.

Bod nespojitosti prvního druhu funkce ${\displaystyle f}$  - takový bod ${\displaystyle a}$ , v němž existují obě vlastní limity zprava i zleva, avšak tyto limity mají rozdílné hodnoty, tj. ${\displaystyle \lim _{x\to a+}f(x)\neq \lim _{x\to a-}f(x)}$ . Rozdíl mezi těmito čísly, tj. ${\displaystyle |\lim _{x\to a+}f(x)-\lim _{x\to a-}f(x)|}$ , nazýváme skokem funkce v bodě ${\displaystyle a}$ .

Bod nespojitosti druhého druhu funkce ${\displaystyle f}$  - takový bod ${\displaystyle a}$ , v němž neexistuje alespoň jedna z vlastních jednostranných limit.

Funkci, která je definována na intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ , označíme jako po částech spojitou, je-li spojitá ve všech bodech intervalu s výjimkou konečného počtu bodů, v nichž má nespojitost prvního druhu.

• Má-li funkce ${\displaystyle f(x)}$  v bodě ${\displaystyle a}$  konečnou derivaci, pak je v bodě ${\displaystyle a}$  také spojitá.
• Pokud je funkce ${\displaystyle f(x)}$  spojitá v bodě ${\displaystyle a}$  a funkce ${\displaystyle g(y)}$  spojitá v bodě ${\displaystyle b=f(a)}$ , pak složená funkce ${\displaystyle g(f(x))}$  je spojitá v bodě ${\displaystyle a}$ .

 

• Všechny polynomické funkce, exponenciální funkce, sinus a kosinus a funkce absolutní hodnota jsou spojité v celém oboru reálných čísel.
• Racionální funkce, logaritmy, tangens a kotangens jsou spojité na svém definičním oboru (ale nejsou definované pro všechna reálná čísla). Obecněji, všechny elementární funkce jsou spojité v každém bodě svého definičního oboru.
• Funkce signum (znaménko) je nespojitá v bodě x = 0. I velmi malá změna hodnoty kolem tohoto bodu způsobí velkou změnu hodnoty: sgn −0,001 = −1, ale sgn 0,001 = 1. V tomto bodě je bod nespojitosti prvního druhu. Funkce má skok o velikosti 2.
• Funkce pro získání nejbližšího menšího celého čísla je nespojitá v každém celém čísle. V každém z těchto bodů je bod nespojitosti prvního druhu se skokem o velikosti 1.
• Extrémním příkladem je tzv. Dirichletova funkce, která je definovaná pro všechna reálná čísla, ale v žádném bodě není spojitá. Tato funkce má v každém bodě bod nespojitosti druhého druhu.
• Funkce ${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}}$  není definovaná v bodě ${\displaystyle x=0}$  a má zde konečnou limitu ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1.}$  Jedná se tedy o odstranitelnou nespojitost. Spojitým dodefinováním funkční hodnoty v počátku vznikne funkce sinc.

• BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 4. vyd. Praha: Academia, 1994. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. 

• JARNÍK, Vojtěch. Diferenciální počet I. 7. vyd. Praha: Academia, 1984. 392 s. 

• Funkce
• Komplexní funkce
• Spojité zobrazení
• Okolí