Snellův zákon

 

Uvažujme dvě různá prostředí, jejichž rozhraní je rovinné. Jsou-li indexy lomu těchto dvou prostředí n₁ resp. n₂ a označíme-li úhly dopadajícího resp. lomeného svazku α₁ resp. α₂ (měřeno ke kolmici rozhraní), pak podle Snellova zákona platí

${\displaystyle n_{1}\sin \alpha _{1}=n_{2}\sin \alpha _{2}}$ ,

nebo také v jiném tvaru (v₁ a v₂ jsou rychlosti šíření vlnění v daném prostředí)

${\displaystyle {\frac {\sin \alpha _{1}}{\sin \alpha _{2}}}={\frac {v_{1}}{v_{2}}}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}}$ .

Úhly se vždy měří od normály, tj. při kolmém dopadu je ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}=0}$ . Paprsky se šíří vždy přímočaře.

 

 

Odvození Snellova zákona lze provést pomocí dopadu rovinné vlny na rovinné rozhraní dvou prostředí.

V místě dopadajícího paprsku vlnění vztyčíme kolmici, tzv. kolmici dopadu (obecně jde o normálu k ploše rozhraní). Úhel mezi kolmicí dopadu a dopadajícím paprskem se nazývá úhel dopadu. Rovina, která je určena kolmicí dopadu a paprskem dopadajícího vlnění, se nazývá rovina dopadu.

Z obrázku je vidět, že vlnění, které dopadá z prostředí 1 na rozhraní s prostředím 2 pod úhlem dopadu ${\displaystyle \alpha _{1}}$ , dospěje nejdříve do bodu ${\displaystyle A}$  a postupně do dalších bodů až po bod ${\displaystyle C}$ . Tyto body se podle Huygensova principu stávají zdroji elementárních vlnění, které se šíří do prostředí 2. Dochází k lomu vlnění. Vlnění, které se v prostředí 1 šířilo fázovou rychlostí ${\displaystyle v_{1}}$ , se bude v prostředí 2 šířit fázovou rychlostí ${\displaystyle v_{2}}$ , která je obecně různá od rychlosti ${\displaystyle v_{1}}$  a závisí na vlastnostech prostředí, v němž se vlnění šíří. Čelo dopadající rovinné vlny (tedy vlnoplocha) je představováno úsečkou ${\displaystyle AB}$ , čelo lomené vlny je představováno úsečkou ${\displaystyle CD}$ . Pro poměr sinů úhlu dopadu ${\displaystyle \alpha _{1}}$  a lomu ${\displaystyle \alpha _{2}}$  platí podle obrázku vztah

${\displaystyle {\frac {\sin \alpha _{1}}{\sin \alpha _{2}}}={\frac {\frac {|BC|}{|AC|}}{\frac {|AD|}{|AC|}}}={\frac {|BC|}{|AD|}}={\frac {v_{1}t}{v_{2}t}}={\frac {v_{1}}{v_{2}}}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}=n_{21}}$ ,

kde ${\displaystyle |...|}$  označuje délku úsečky, ${\displaystyle v_{1}}$  a ${\displaystyle v_{2}}$  jsou fázové rychlosti vlnění v prostředí 1 a 2, ${\displaystyle v_{1}t}$  je vzdálenost, kterou vlnění urazí v prostředí 1 za čas ${\displaystyle t}$  a ${\displaystyle v_{2}t}$  je vzdálenost, kterou vlnění urazí za čas ${\displaystyle t}$  v prostředí 2, ${\displaystyle n_{1}}$  a ${\displaystyle n_{2}}$  jsou absolutní indexy lomu v prostředí 1 a 2 a ${\displaystyle n_{21}}$  je relativní index lomu.

Úhel ${\displaystyle \alpha _{2}}$  se nazývá úhel lomu. Rovina určená kolmicí dopadu a lomeným paprskem se nazývá rovina lomu. Podle Huygensova principu splývá rovina lomu s rovinou dopadu.

Slovně lze Snellův zákon formulovat takto:

Poměr sinů úhlu dopadu a lomu je pro určitá dvě prostředí stálý a rovný poměru velikosti rychlosti vlnění v jednotlivých prostředích.

Snellův zákon platí nejen pro rovinné vlnění, ale v obecném případě pro libovolné vlnění dopadající na rozhraní libovolného tvaru.

Ze Snellova zákona plyne, vyjádřeno slovy, že:

• Při šíření záření z prostředí opticky řidšího do opticky hustšího prostředí se paprsky lámou směrem ke kolmici (tzv. lom ke kolmici).
• Při šíření záření z prostředí opticky hustšího do opticky řidšího prostředí se paprsky lámou směrem od kolmice (tzv. lom od kolmice).

Opticky hustším, resp. řidším prostředím je míněno prostředí s vyšším, resp. nižším indexem lomu.

• Pokud fázová rychlost závisí na frekvenci vlnění (viz disperze (vlnění)), pak pro složené vlnění dochází při lomu k závislosti úhlu lomu na frekvenci. To se projevuje např. v optice rozkladem světla na jednotlivé barevné složky (v přírodě se tento jev projevuje např. vznikem duhy).

Šíří-li se paprsky z opticky hustšího prostředí (tedy v případě lomu od kolmice) může nastat, že úhel lomu je roven pravému úhlu, tzn. ${\displaystyle \alpha _{2}={\frac {\pi }{2}}}$ . V takovém případě je ${\displaystyle \sin \alpha _{2}=1}$ , a zákon lomu má tvar

${\displaystyle \sin \alpha _{\rm {m}}=\sin \alpha _{1}={\frac {v_{1}}{v_{2}}}}$ ,

kde ${\displaystyle \alpha _{\rm {m}}}$  označuje tzv. mezní úhel. Mezní úhel je největší úhel dopadu, při kterém ještě nastává lom vlnění. Je-li úhel dopadu větší než mezní úhel, tzn. ${\displaystyle \alpha _{1}>\alpha _{\rm {m}}}$ , dochází k tzv. totálnímu (úplnému) odrazu, při kterém se vlnění do druhého prostředí vůbec nedostane a odráží se zpět do prostředí původního.

Hodnotu mezního úhlu lze určit ze vztahu

${\displaystyle \alpha _{\rm {m}}=\arcsin \left({\frac {n_{2}}{n_{1}}}\right)}$ 

• Brewsterův úhel
• Disperze vlnění
• Disperze světla
• Evanescentní vlna
• Huygensův princip
• Lom vlnění
• Fresnelovy rovnice

•   Obrázky, zvuky či videa k tématu Snellův zákon na Wikimedia Commons
• en: Animace Snellova zákona
• cz: Animace Snellova zákona

• Fuka, Havelka: Optika Archivováno 7. 1. 2007 na Wayback Machine.
• Havelka: Geometrická optika I Archivováno 7. 1. 2007 na Wayback Machine.
• Vlnové vlastnosti světla: http://www.sweb.cz/radek.jandora/f19.htm Archivováno 30. 1. 2009 na Wayback Machine.